高中数学一轮难题复习 计数原理与概率统计典型解答题 （教师版）

1、试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页一轮难题复习 计数原理与概率统计典型解答题1分类加法计数原理完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，在第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种方法(也称加法原理)2分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种方法(也称乘法原理)3排列(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列

2、(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用Aeq oal(m,n)表示(3)排列数公式：Aeq oal(m,n)n(n1)(n2)(nm1)(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，Aeq oal(n,n)n(n1)(n2)21n！.排列数公式写成阶乘的形式为Aeq oal(m,n)eq f(n！,nm！)，这里规定0！1.4组合(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元

3、素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用Ceq oal(m,n)表示(3)组合数的计算公式：Ceq oal(m,n)eq f(Aoal(m,n),Aoal(m,m)eq f(n！,m！nm！)eq f(nn1n2nm1,m！)，由于0！1，所以Ceq oal(0,n)1.(4)组合数的性质：Ceq oal(m,n)Ceq oal(nm,n)；Ceq oal(m,n1)Ceq oal(m,n)Ceq oal(m1,n).5二项式定理(ab)nCeq oal(0,n)anCeq oal(1,n)an1b1Ceq oal(k,n)ankbkCeq oal(n,n)bn(n

4、N*)这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中各项的系数Ceq oal(k,n)(k0,1,2，n)叫做二项式系数式中的Ceq oal(k,n)ankbk叫做二项展开式的通项，用Tk1表示，即展开式的第k1项：Tk1Ceq oal(k,n)ankbk.6二项展开式形式上的特点(1)项数为n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从Ceq oal(0,n)，Ceq oal(1,n)，一直到Ceq oal(n1

5、,n)，Ceq oal(n,n).7二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Ceq oal(m,n)Ceq oal(nm,n).(2)增减性与最大值：二项式系数Ceq oal(k,n)，当keq f(n1,2)时，二项式系数是递减的当n是偶数时，那么其展开式中间一项的二项式系数最大当n是奇数时，那么其展开式中间两项和的二项式系数相等且最大(3)各二项式系数的和(ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即Ceq oal(0,n)Ceq oal(1,n)Ceq oal(2,n)Ceq oal(k,n)Ceq oal(n,n)2n.二项展开式中，偶数项的二项式

6、系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Ceq oal(1,n)Ceq oal(3,n)Ceq oal(5,n)Ceq oal(0,n)Ceq oal(2,n)Ceq oal(4,n)2n1.8概率的计算公式(1)古典概型的概率计算公式P(A)eq f(事件A包含的基本事件数m,基本事件总数n).(2)互斥事件的概率计算公式P(AB)P(A)P(B)(3)对立事件的概率计算公式P(eq xto(A)1P(A)9条件概率（1）条件概率定义一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)0)，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件概率表示P(A|B)计算公式P(A|B)eq f(PAB,PB

7、)（2）条件概率的性质(1)0P(B|A)1；(2)P(A|A)1；(3)如果B与C互斥，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)10全概率公式(1)P(B)P(A)P(B|A)P(eq o(A,sup6()P(B|eq o(A,sup6()；(2)定理1若样本空间中的事件A1，A2，An满足：任意两个事件均互斥，即AiAj，i，j1,2，n，ij；A1A2An；P(Ai)0，i1,2，n.则对中的任意事件B，都有BBA1BA2BAn，且P(B)eq o(o(,sup8(n),sdo6(i1)PBAi)eq o(o(,sup8(n),sdo6(i1)PAiPB|Ai).11贝叶斯公式(1)一般

8、地，当0P(A)1且P(B)0时，有P(A|B)eq f(PAPB|A,PB)eq f(PAPB|A,PAPB|APo(A,sup6()PB|o(A,sup6().(2)定理2若样本空间中的事件A1，A2，An满足：任意两个事件均互斥，即AiAj，i，j1,2，n，ij；A1A2An；1P(Ai)0，i1,2，n.则对中的任意概率非零的事件B，有P(Aj|B)eq f(PAjPB|Aj,PB)eq o(f(PAjPB|Aj,o(,sup8(n),sdo6(i1)PAiPB|Ai).12离散型随机变量(1)离散型随机变量的分布列的两个性质pi0(i1,2，n)；p1p2pn1.(2)期望公式E(

9、X)x1p1x2p2xnpn.(3)期望的性质E(aXb)aE(X)b；若XB(n，p)，则E(X)np；若X服从两点分布，则E(X)p.(4)方差公式D(X)x1E(X)2p1x2E(X)2p2xnE(X)2pn，标准差为eq r(DX).(5)方差的性质D(aXb)a2D(X)；若XB(n，p)，则D(X)np(1p)；若X服从两点分布，则D(X)p(1p)(6)相互独立事件同时发生的概率计算公式P(AB)P(A)P(B)(7)独立重复试验的概率计算公式P(Xk)Ceq oal(k,n)pk(1p)nk，k0,1,2，n.例题1已知函数.（1）指出的单调区间；（不要求证明）（2）若满足，且

10、，求证：；（3）证明：当时，不等式对任意恒成立.【答案】（1）当时，在，上分别递增，在，上分别递减；当时，在，上分别递减；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）函数的定义域为且，分类讨论时，在，上分别递减，时，在，上分别递减，时为对号函数，写出单调区间即可.（2）由题意可知，中至少有两个大于，不妨设，分情况讨论，当时，证明即可；当时，证明即可.（3）设，由题意可知为偶函数，则需证明时，即证明即可，利用二项展开式，变形整理为，根据以及，证明即可.【详解】（1）函数的定义域为且，当时，在，上分别递减.当时在，上分别递减.当时为对号函数.则在，上分别递增，在，上分别递减.综上所述：当时，在，上分别递增，在，上分别递减；当时，在，上分别递减.（2）满足，且中至少有两个大于不妨设当时，函数在单调递增所以即当时，若使得成立，则需因为函数在单调递增所以因为所以即综上所述：（3）设，则关于原点对称为偶函数则只需证明时，不等式恒成立.则即综上所述：当时，不等式对任意恒成立.【点睛】本题考查函数的单调性，利用对号函数证明不等式，