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文档简介

1、Newton牛顿插值第二节 Newton插值法插值法Newton插值法的基本思路Newton插值法的构造差商以及Newton插值多项式差分以及Newton前插、后插公式思考题 一、牛顿插值公式的基本思路 二、牛顿插值多项式的构造 引入记号：牛顿插值多项式的构造 不难看出牛顿插值多项式的构造.,)()()(,20000的一阶差商 （差商也称为均差）关于点为函数称定义kkkkxxxfxxxfxfxxf-= 三、新概念差商及其性质特别地差商及其性质差商的基本性质1差商具有线性性2差商可表示为函数值的线性组合，即差商的基本性质其余可用数学归纳法证明此性质也说明差商与节点的排列顺序无关差商的基本性质3差

2、商具有对称性建议记忆此形式由k阶差商的定义及性质2可得：差商的基本性质根据差商定义，可以得出满足插值条件的插值多项式 四、牛顿插值公式 将各式逐次代入前一公式，可得 可知， 是满足插值条件的n次多项式，称为牛顿插值多项式，牛顿插值公式特别地, 二次插值的余项为根据满足给定插值条件的插值多项式之存在唯一性可知 由此可得差商的另一性质：牛顿插值公式 说明每增加一个结点，Newton插值多项式只增加一项，克服了 Lagrange插值的缺点。实际计算时可利用差商表。 牛顿插值公式与拉格朗日插值公式的比较牛顿插值公式差商计算表一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商牛顿插值公式例2.2解析一阶差商二阶差商三阶差

3、商四阶差商五阶差商1.116001.186000.280001.275730.358930.197331.384100.433480.213000.031341.515330.524920.228630.03126-0.00012一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商五阶差商0.400.410750.550.578150.650.696750.800.888110.901.026521.050.25382牛顿插值公式定义 五、差 分向前差分算子，差 分二阶中心差分为差 分性质1各阶差分可用函数值表示性质2差 分差分与导数的关系：差 分 六、等距节点插值公式此公式为牛顿向前插值公式，其余项为等距节点插

4、值公式计算各阶差分，可列表进行等距节点插值公式类似有牛顿向后插值公式等距节点插值公式等距节点插值公式:牛顿向前插值公式、牛顿向后插值公式。等距节点插值公式 已知f(x)=sinx的函数表如下，分别用Newton向前、向后插值公式求sin0.57891的近似值。 x 0.4 0.5 0.6 0.7Sinx 0.38942 0.47943 0.56464 0.64422例2.4等距节点插值公式解:Newton向前插值公式为等距节点插值公式Newton向后插值公式为等距节点插值公式 当插值点x接近数据表头时，一般用向前插值公式，而当插值点x接近数据表尾时，则采用向后插值公式。 为何结果会有不同呢？难道不是由n+1个点的函数值确

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