(京津鲁琼专用)2020版高考数学第二部分专题五解析几何第2讲圆锥曲线的定义方程与性质练习

1、(京津鲁琼专用)2020版高考数学第二部分专题五解析几何第2讲圆锥曲线的定义、方程与性质练习(京津鲁琼专用)2020版高考数学第二部分专题五解析几何第2讲圆锥曲线的定义、方程与性质练习19/19(京津鲁琼专用)2020版高考数学第二部分专题五解析几何第2讲圆锥曲线的定义、方程与性质练习第2讲圆锥曲线的定义、方程与性质做真题题型一圆锥曲线的定义与方程1(2019高考全国卷)已知椭圆C的焦点为1(1，0)，2(1，0)，过2的直线与CFFF交于A，B两点，若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为()x22x2y2A2y1B321x2y2x2y2C431D541解析：选B.由题意设椭

2、圆的方程为x2y2122a2b21(ab0)，连接FA，令|FB|m，则|AF|2m，|BF|3m.由椭圆的定义知，4m2a，得m2，故|FA|a|FA|，则点A为椭圆C的1a21上极点或下极点令2(O为坐标原点)，则sin11中，cos2.在等腰三角形OAFaABFa12x2y2211222223a3，所以312a，得a3.又c1，所以bac2，椭圆C的方程为3221.应选B.2(2019高考全国卷)若抛物线22px(p0)的焦点是椭圆x2y2的一个焦点，y31pp则p()A2B3C4D8解析：选D.由题意，知抛物线的焦点坐标为p，椭圆的焦点坐标为(2p，0)，所，02p以22p，解得p8，

3、应选D.x2y23(一题多解)(2017高考全国卷)已知双曲线C：a2b21(a0，b0)的一条渐近5x2y2线方程为y2x，且与椭圆1231有公共焦点，则C的方程为()Ax2y21Bx2y2181045x2y2x2y2C541D431解析：选B.法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x2y2x2y245k(k0)，即45kkx2y24k5k123，解得k1，故双曲线C1，因为双曲线与椭圆1231有公共焦点，所以的方程为x2y2应选B.1.45x2y2x2y2法二：因为椭圆1231的焦点为(3，0)，双曲线与椭圆1231有公共焦点，所2225b5以ab(3)9，因为双曲线的一条渐近线为y2

4、x，所以a2，联立可解22x2y2得a4，b5，所以双曲线C的方程为451.4(2017高考全国卷)已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_解析：法一：依题意，抛物线：28的焦点(2，0)，准线2，因为是C上一CyxFxM点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b0)，所以a1，b22，所以N(0，42)，|FN|4326.法二：依题意，抛物线C：y28x的焦点F(2，0)，准线x2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，则点M的横坐标为1，所以|MF|1(2)3，|FN|2|MF|6.

5、答案：6题型二圆锥曲线的几何性质1(2018高考全国卷)已知1，2是椭圆x2y20)的左、右焦点，A是C：221(FFCabab3的左极点，点P在过A且斜率为6的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()21A3B211C3D4解析：选D.由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如下列图，设|F1F2|2c，因为PF1F2为等腰三角形，且F1F2P120，所以|PF2|F1F2|2c，所以|OF2|c，所以点P坐标为(c2ccos60，2csin60)，即点P(2c，3c)因为点P在过点A，且斜率为33c3c16的直线上，所以2ca6，解得a4，1所以e4，应选D.x2y22(

6、一题多解)(2019高考全国卷)已知双曲线C：a2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为1，2，过1的直线与C的两条渐近线分别交于，两点若1，120，FFFABFAABFBFB则C的离心率为_解析：通解：因为F1BF2B0，所以F1BF2B，如图所以|OF|OB|，所以BFOFBO，所以BOF2BFO.因为FAAB，所以点A为111211F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OABF2，所以F1BOA，因为直线OA，OB为双曲线Cabb的两条渐近线，所以tanBF1Ob，tanBOF2a.因为tanBOF2tan(2BF1O)，所以aa2b22222ca2，所以b3a，所以ca3a，即2a

7、c，所以双曲线的离心率ea2.1b优解：因为F1BF2B0，所以F1BF2B，在RtF1BF2中，|OB|OF2|，所以OBF2OF2B，A为F1B的中点，所以OAF2B，所以F1OAOF2B.又F1OABOF2，所又F1AAB，所以以2为等边三角形由2(c，0)可得c3c，因为点B在直线yb上，所以3OBFFB2，2ax2cbcb3，所以1b2，所以22.a2aea答案：23(一题多解)(2018高考全国卷)已知点(1，1)和抛物线：24x，过C的焦点MCy且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k_解析：法一：由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y

8、yk（x1），222222k(x1)(k0)，由y24x，消去y得k(x1)4x，即kx(2k4)xk0，2k24yk（x1），21设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2k2，x1x21.由y24x，消去x得y4ky1，244即yky40，则y1y2k，y1y24，由AMB90，得MAMB(x11，y11)(x222441，y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2)10，将x1x2k，x1x21与y1y2k，k2y1y24代入，得k2.y2x1，122法二：设抛物线的焦点为F，A(x，y24)，1)，B(x，y)，则所以yy4(xx1221212y24x2，yy24则k1，取AB

9、的中点M(x0，y0)，分别过点A，B作准线x1的垂线，垂足x1x2y1y21分别为A，B，又AMB90，点M在准线x1上，所以|MM|2|AB|112(|AF|BF|)2(|AA|BB|)又M为AB的中点，所以MM平行于x轴，且y01，所以y1y22，所以k2.答案：2山东省学习指导建议1认识圆锥曲线的实际背景，感觉圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用2掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质3认识抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质圆锥曲线的定义与标准方程典型例题22(1)椭圆xy1的左焦点为，直线x与椭圆相交于点，当的周长54FmMNFMN最大时，FMN

10、的面积是()565A5B58545C5D5x2y2(2)设F1，F2分别是双曲线C：a2b21(a0，b0)的左、右焦点，P是C上一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2最小内角的大小为30，则双曲线C的渐近线方程是()A2xy0Bx2y0Cx2y0D2xy0【解析】(1)如图，设椭圆的右焦点为F，连接MF，NF.因为|MF|NF|MF|NF|MF|NF|MN|，所以当直线xm过椭圆的右焦点时，FMN的周长最大此时|2b285ca2b2541，所以此时，又MNa58585FMN的面积S2255.应选C.(2)不妨设P为双曲线C右支上一点，由双曲线的定义，可得|PF1|PF2|2a.又|PF

11、1|PF2|6a，解得|PF1|4a，|PF2|2a，又|F1F2|2c，则|PF2|2a最小，所以PF1F230.|PF1|2|F1F2|2|PF2|216a24c24a23在PF1F2中，由余弦定理，可得cos302|1|12|2422，PFFFac整理得c23a223ac，解得c3a，所以bc2a22a.所以双曲线C的渐近线方程为y2x.应选A.【答案】(1)C(2)A圆锥曲线的定义椭圆：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)双曲线：|MF1|MF2|2a(2a0，n0)2为mxny1(mn0)对点训练221(2019福州模拟)已知双曲线C：x2y21(a0，b0)的右焦点为F，点B

12、是虚轴的ab一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点，则双曲线C的方程A，若BA2AF，且|BF|4为()x2y2x2y2A651B8121x2y2x2y2C841D4612cb解析：选D.不妨设B(0，b)，由BA2AF，F(c，0)，可得A3，代入双曲线C的方34c21程可得9a291，b23所以a22.又|BF|2b（2222c）4，cab，所以a22b216.由可得，a24，b26，x2y2所以双曲线C的方程为461.2(2019陕西渭南期末改编)已知方程x2y2k的4k1，若该方程表示双曲线，则k2取值范围是_，若该方程表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是_x2y2解析：方程4k

13、k21表示双曲线，若焦点在x轴上，则4k0，k20，解得k2；若焦点在y轴上，则4k0，解得k4，则k的取值范围是(，2)(4，)若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则420，即2k0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|2|BF|6，则p_p解析：设直线AB的方程为x，(1，1)，(2，2)，且x12，将直线AB的方程my2AxyBxyx代入抛物线方程得22122122设抛物线的准线为l，过A作y2pmyp0，所以yyp，4xxp.，垂足为，过B作，垂足为，因为|2|6，根据抛物线的定义知，|AClCBDlDAFBFAF|p|px123，129，所以(x1216，|23，所以2)ACx2

14、BFBDx2xxxpx122122(xx)4xxp，即18p720，解得p4.答案：4圆锥曲线的性质典型例题x2y2(1)(2019高考全国卷)设F为双曲线C：a2b21(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以为直径的圆与圆x2y22交于，两点若|，则的离心率为()OFaPQPQOFCA2B3C2D5x2y2(2)(2019济南市模拟考试)设F1，F2分别是椭圆E：a2b21(ab0)的左、右焦点，过2的直线交椭圆于，两点，且1E的离心率为()20，222，则椭圆FABAFAFAFFB23AB3457C3D4c22c222【解析】(1)如图，由题意，知以OF为直径的圆的方程为xy4，将xy22

15、a2222a记为式，得xc，则以OF为直径的圆与圆xya的相交弦所在直线的方程a22a222a22422为xc，所以|PQ|2ac.由|PQ|OF|，得2acc，整理得c4ac440，即44240，解得e2，应选A.aee(2)设|BF2|m，则|AF2|2m.连接BF1，由椭圆的定义可知|AF1|2a2m，|BF1|2a222am.由AFAF0知AFAF，故在RtABF中，(2a2m)(3m)(2am)，整理得m3.121211214a22a2a24a225故在RtAFF中，|AF|3，|AF|3，故334c，解得e3.【答案】(1)A(2)C椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲

16、线的离心率或离心率的范围，重点是根据已知条件确定a，b，c的等量关c系或不等关系，然后把b用a，c代换，求a的值双曲线的渐近线的求法及用法求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得a用法：(i)可得a或b的值利用渐近线方程设所求双曲线的方程对点训练2x2y21(2019广州市调研测试)已知抛物线y2px(p0)与双曲线a2b21(a0，b0)有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AFx轴，则双曲线的离心率为()A21B31C51D22解析：选A.如图，结合题意画出图形，p，0，所以由题设知双曲线的右焦点的坐标为p，所以因为抛物线的焦点坐标为，0222pab4.AFxA(A因为轴

17、，所以由点在抛物线上可得A2取在22p，pb222b44422第一象限)，又点A在双曲线上，所以pa.将代入得ab4a2，即b4a4ab，a4a2a2212c22122所以4b4b10，所以b2，进而ea221(21)，故e21.应选A.2(2019济南一模改编)抛物线y28x的焦点到双曲线x2y21渐近线的距离为169_，双曲线右焦点到抛物线准线的距离为_2x2y23解析：抛物线y8x的焦点F(2，0)，双曲线1691的一条渐近线方程为y4x，即3x4y0，则点F(2，0)到渐近线3x4y0的距离为|3240|632425.双曲线右焦点的坐标为(5，0)，抛物线的准线方程为x2，所以双曲线右

18、焦点到抛物线准线的距离为7.67答案：5直线与圆锥曲线的地址关系典型例题命题角度一地址关系的判断及应用在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.|OH|求|ON|；除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明原因【解】(1)由已知得(0，)，t2，t.MtP2pt2p22又N为M关于点P的对称点，故Np，t，ON的方程为ytx，代入y2px，整理得px2122t22t22tx0，解得x0，xp.因此Hp，2t.|OH所以N为OH的中点，即|ON|2.直线MH与C除H以外没有其他公共点原因如下：

19、p2t直线MH的方程为yt2tx，即xp(yt)代入y22得y24ty4t20，解得y122t，即直线与C只有一个公共点，所pxyMH以除H以外直线MH与C没有其他公共点直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判断平时的方法是直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后获得一元二次方程，其0；另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可经过判断直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小获得直线与圆锥曲线只有一个公共点的结论直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切命题角度二弦长问题(2019高考全国卷)已知抛物线：23x的焦点为，斜率

20、为3的直线l与C的CyF2交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|BF|4，求l的方程；(2)若AP3PB，求|AB|.3【解】设直线l：y2xt，A(x1，y1)，B(x2，y2)3123125，0(1)由题设得F4，故|AF|BF|xx2，由题设可得xx2.312（1）由yxt，可得9x212(t1)x4t220，则x1x2t.y23x912（t1）57进而92，得t8.7所以l的方程为y2x8.由AP3PB可得y13y2.3由y2xt，可得y22y2t0.y23x所以y1y22.进而3y2y22，故y21，y13.1代入C的方程得x13，x2.3413故|AB|3.直线与圆锥曲线

21、的相交弦弦长的求法解决直线与圆锥曲线的相交弦问题的通法是将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y或x后获得一元二次方程，当0时，直线与圆锥曲线有两个交点，设为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系求出xx，xx或yy，yy，则弦长|AB|2（xx21k）1212121212221121k（x1x2）4x1x21k2|y1y2|1k2（y1y2）4y1y2(k为直线的斜率且k0)，当A，B两点坐标易求时也可以直接用|AB|（x1x2）2（y1y2）2求之命题角度三定比、定点问题已知椭圆C的两个焦点为1(1，0)，2(1，0)，且经过点3.FFE3，2求椭圆C的方程；(2)过点F1的直线

22、l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若AF1F1B，且23，求直线l的斜率k的取值范围12a2，2a|EF|EF|4，【解】(1)由a2b2c2，解得c1，c1，3，bx2y2所以椭圆C的方程为431.由题意得直线l的方程为yk(x1)(k0)，yk（x1），36144联立方程，得x2y2整理得21440，k24yy90，k2431，k6k9k2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y234k2，y1y234k2，又11，所以y1y2，所以122(y1y2)2，AFFByy（1）（1）2414则342，234k2，k114因为23，所以223，1445即234k23，且k0，解

23、得0k2.故直线l的斜率k的取值范围是0，5.2关于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解在使用“根与系数的关系”时，要注意使用条件0；在用“点差法”时，要查验直线与圆锥曲线是否相交(2)圆锥曲线以(0，0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率分别是kb2x0 x2y22(椭圆22Pxyay0ab20 x2y2p221bx(双曲线，kyy(x1x2)，(x1，y1)，1)，k2221)(抛物线y2px)，其中kay0aby0 x2x1(x2，y2)为弦端点的坐标对点训练x211(2019高考全国卷)已知曲线C：y2，D为直线y2上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.证明：直

24、线AB过定点；5(2)若以E0，2为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积解：证明：设1，1，1，则21(1)Dt，A(xx1.2y)2y1y1由于y，所以切线的斜率为x1，故21.xDAx1tx整理得2tx2y10.11设(2，2)，同理可得222y210.Bxytx故直线AB的方程为2tx2y10.所以直线AB过定点0，12.1(2)由(1)得直线AB的方程为tx1ytx2，x210.由x2可得2y2txy2于是x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，|AB|1t2|x1x2|1t2（x1x2）24x1x22(t21)设d1，d2分别为点

25、D，E到直线AB的距离，则d122t1，d22.t1因此，四边形1|AB|(d22ADBE的面积S2d)(t3)t1.121设M为线段AB的中点，则Mt，t2.由于，而(t，t22)，与向量(1，)平行，所以t(t22)t0.EMABEMABt解得t0或t1.当t0时，3；当t1时，42.SS因此，四边形ADBE的面积为3或42.x2y22(2019湖南长沙模拟)已知椭圆C：a2b21(ab0)的右焦点为(3，0)，且经过点1，3，点是轴上的一点，过点的直线l与椭圆C交于，两点(点A在x轴的上2MxMAB方)求椭圆C的方程；(2)若2，且直线l与圆：224相切于点，求|.AMMBOxy7NMN

26、a2b2c23，解：(1)由题意知2（1）232a2b21，222222x22得(a4)(4a3)0，又a3b3，故a4，则b1，所以椭圆C的方程为4y1.(2)设(，0)，直线l：ty，(1，1)，(2，2)，由2，得y122.MmxmAxyBxyAMMBy2x21，得(由4yt24)y22tmy240，mxtym22tmm4则y1y2t24，y1y2t24.2由y1y22y2，y1y22y2y2y2，22得y1y22(y1y2)2(y1y2)，22tm2m4所以t242t24，化简得(24)(t24)822.mtm易知原点O到直线l的距离d|m|2，1（t）224又直线l与圆O：xy7相切

27、，|4272m7，即t所以1（t）24m1.（24）（t24）822，mtm由272t4m1，2得21m16m160，2即(3m4)(7m4)0，2424解得m3，此时t3，知足0，23所以M，0.3在RtOMN中，|MN|444213721.一、选择题x2y21已知双曲线a2b21(a0，b0)的焦点到渐近线的距离为3，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为()A1B3C2D23bc解析：选C.由题意知双曲线的焦点(c，0)到渐近线bxay0的距离为a2b2b3，即c2a23，又ec2，所以a1，该双曲线的实轴的长为2a2.a2若抛物线y24x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则OF

28、P的面积为()1A2B13D2C2241，解得解析：选B.设P(x0，y0)，依题意可得|PF|x012，解得x01，故y01y02，不妨取P(1，2)，则OFP的面积为2121.3(2019高考全国卷)双曲线x2y2C：1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，42O为坐标原点若|，则的面积为()POPFPFO3232A4B2C22D32解析：选A.不妨设点P在第一象限，根据题意可知c26，所以|OF|6.又tanb2的高62313，所以等腰三角形，所以PFO62POFa2POFh222S2324.x2y24(2019昆明模拟)已知F1，F2为椭圆C：a2b21(ab0)的左、右焦点，B为C的

29、短轴的一个端点，直线12|AF1|BF与C的另一个交点为A，若BAF为等腰三角形，则()|AF|211A3B22C3D3解析：选A.如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF1|BF2|2a，|AF1|AF2|2a，由题意知|AB|AF2|，所以|BF1|BF2|a，a3|1|1aAF|AF1|2，|AF2|2.所以|AF2|3.应选A.5(2019湖南湘东六校联考x2y22倍，)已知椭圆：221(0)的长轴长是短轴长的abab过右焦点F且斜率为(k0)的直线与相交于，B两点若3，则k()kAAFFBA1B2C3D2解析：选D.设(1，y1)，(2，y2)，因为3，所以y132

30、.因为椭圆的长轴AxBxAFFBy，所以x22长是短轴长的2倍，所以2b，设b，则2，故c3t2y21.设直线ABatat4tt的方程为xsy3，代入上述椭圆方程，得(24)y22320，所以y1y2tsstyt23stt223st2t221s24，y1y2s24，即2y2s24，3y2s24，得s2，k2，应选D.6(多项选择)设抛物线：22(p0)的焦点为，准线为l，A为上一点，以F为圆心，CypxFC|FA|为半径的圆交l于B，D两点若ABD90，且ABF的面积为93，则()AABF是等边三角形B|BF|3C点F到准线的距离为3D抛物线C的方程为y26x解析：选ACD.因为以F为圆心，|

31、FA|为半径的圆交l于B，D两点，ABD90，由抛物线的定义可得|，所以ABF是等边三角形，所以30.因为ABFABAFBFFBD32的面积为4|BF|93，所以|BF|6.又点F到准线的距离为|BF|sin303p，则该抛物线的方程为y26x.二、填空题x2y27已知P(1，3)是双曲线C：a2b21(a0，b0)渐近线上的点，则双曲线C的离心率是_解析：双曲线C的一条渐近线的方程为yb，(1，3)是双曲线渐近线上的点，则baxPCaca2b2b23，所以离心率eaa21a22.答案：2x2y28(2019高考全国卷)设F1，F2为椭圆C：36201的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若MF

32、1F2为等腰三角形，则M的坐标为_解析：不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c36204.因为MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|2c8，所以|F2M|2a84.设M(x，y)，x2y236201，则|F1M|2（x4）2y264，得x3，x0，y15，y0，所以的坐标为(3，15)M答案：(3，15)2x29(2019湖南师大附中月考改编)抛物线x2py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线3y231相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_，抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为_pp解析：抛物线的焦点坐标为0，2，准线方程为y2，准线方程与双曲线方程联立可22233得

33、xp1，解得x3p.因为ABF为等边三角形，所以|AB|p，即31242223p2p，解得p6.则抛物线焦点坐标为(0，3)，双曲线渐近线方程为yx，则抛4332物线的焦点到双曲线渐近线的距离为22.32答案：62三、解答题x2y210(2019高考天津卷)设椭圆a2b21(ab0)的左焦点为F，上极点为B.已知椭圆的5短轴长为4，离心率为.5求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下极点，点为直线与x轴的交点，点N在yMPB轴的负半轴上，若|ON|OF|(O为原点)，且OPMN，求直线PB的斜率c5222解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b4，a5，又abc，可得a5，b2，c1.x2y2所以，椭圆的方程为541.由题意，设P(xp，yp)(xp0)，M(xM，0)设直线PB的斜率为k(k0)，ykx2，又B(0，2)，则直线PB的方程为ykx2，与椭圆方程联立22整理得(422xy5k)x1，5420kx0，20k可得xp45k2，代入ykx2得810k2yp2，45