2019-2020学年高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式本讲达标测试新人教A版选修4-5

1、 PAGE PAGE 7第三讲 柯西不等式与排序不等式(本卷满分150分，考试时间120分钟)一、选择题(每小题5分，共60分)1.设a0，b0，则以下不等式中，不恒成立的是A.(ab)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(1,b)4B.a3b32ab2C.a2b222a2b D.eq r(|ab|)eq r(a)eq r(b)答案B2.已知3x22y21，则3x2y的取值范围是A.0，eq r(5) B.eq r(5)，0C.eq r(5)，eq r(5) D.5，5解析|3x2y|eq r(3x22y2)eq r(（r(3)）2（r(2)）2)eq r(5).所以eq

2、r(5)3x2yeq r(5).答案C3.已知a，b，c是正实数，则a3b3c3与a2bb2cc2a的大小关系是A.a3b3c3a2bb2cc2aB.a3b3c3a2bb2cc2aC.a3b3c30，则a2b2c20.由排序不等式，顺序和乱序和，有a3b3c3a2bb2cc2a.答案B4.已知a，b，x1，x2为互不相等的正数，y1eq f(ax1bx2,ab)，y2eq f(bx1ax2,ab)，则y1与y2的大小关系为A.y1y2 B.y1y2C.y1y2 D.不能确定答案D5.设m，n为正整数，m1，n1，且log3mlog3n4，则mn的最小值是A.15B.16C.17D.18答案D6

3、.已知x，y，z都是正数，且xyz1，则eq f(x2,y)eq f(y2,z)eq f(z2,x)的最小值为A.1 B.2 C.eq f(1,2) D.8解析不妨设xyz0，则eq f(1,z)eq f(1,y)eq f(1,x)0，且x2y2z20，由排序不等式，得eq f(y2,z)eq f(x2,y)eq f(z2,y)eq f(1,z)z2eq f(1,y)y2eq f(1,x)x2xyz.又xyz1，所以eq f(x2,y)eq f(y2,z)eq f(z2,x)1，当且仅当xyzeq f(1,3)时，等号成立.答案A7.已知a，b是给定的正数，则eq f(4a2,sin2)eq

4、f(b2,cos2)的最小值为A.2a2b2 B.2abC.(2ab)2 D.4ab解析eq f(4a2,sin2)eq f(b2,cos2)(sin2cos2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4a2,sin2)f(b2,cos2)eq blc(rc)(avs4alco1(sin f(2a,sin )cos f(b,cos )eq sup12(2)(2ab)2，当且仅当sin eq f(b,cos )cos eq f(2a,sin )时，等号成立.故eq f(4a2,sin2)eq f(b2,cos2)的最小值为(2ab)2.答案C8.设a，b，c为正数，ab4c1，则eq r(

5、a)eq r(b)2eq r(c)的最大值是A.eq r(5) B.eq r(3) C.2eq r(3) D.eq f(r(3),2)答案B9.设实数x1，x2，xn的算术平均值是x，ax(aR)，并记p(x1x)2(xnx)2，q(x1a)2(xna)2，则p与q的大小关系是A.pq B.p0，且Ma3(a1)3(a2)3，Na2(a1)(a1)2(a2)a(a2)2，则M与N的大小关系是A.MN B.MN C.MN D.MN.答案B12.设P为ABC内一点，D，E，F分别为P到BC，CA，AB所引垂线的垂足，如图.若ABC的周长为l，面积为S，则eq f(BC,PD)eq f(CA,PE)

6、eq f(AB,PF)的最小值为A.eq f(l2,2S) B.eq f(l2,S) C.eq f(l2,4S) D.eq f(2l2,S)解析设ABa1，ACa2，BCa3，PFb1，PEb2，PDb3，则a1b1a2b2a3b32S.eq blc(rc)(avs4alco1(f(a3,b3)f(a2,b2)f(a1,b1)(a3b3a2b2a1b1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(a3),r(b3)r(a3b3)f(r(a2),r(b2)r(a2b2)f(r(a1),r(b1)r(a1b1)eq sup12(2)(a3a2a1)2l2，eq f(a3,b3)eq f(a2

7、,b2)eq f(a1,b1)eq f(l2,2S)，当且仅当b1b2b3，即PEPFPD时，等号成立.答案A二、填空题(每小题5分，共20分)13.已知a，b，m，n均为正数，且ab1，mn2，则(ambn)(bman)的最小值为_.解析(ambn)(bman)abm2(a2b2)mnabn2ab(m2n2)2(a2b2)2abmn2(a2b2)4ab2(a2b2)2(a22abb2)2(ab)22(当且仅当mneq r(2)时等号成立).答案214.已知x，y，z为正数，且xyz(xyz)1，则(xy)(yz)的最小值为_.答案215.若ab0，则aeq f(1,（ab）b)的最小值为_.

8、答案316.边长为a，b，c的三角形，其面积为eq f(1,4)，外接圆半径为1，若seq r(a)eq r(b)eq r(c)，teq f(1,a)eq f(1,b)eq f(1,c)，则s与t的大小关系是_.解析三角形的面积Seq f(abc,4R)eq f(abc,4)eq f(1,4)，即abc1，所以tabbcca，t2(abbcca)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(1,b)f(1,c)(eq r(a)eq r(b)eq r(c)2s2，又a，b，c0，所以st.答案st三、解答题(共70分)17.(10分)已知xyz1，求2x23y2z2的最小值.解析利用

9、柯西不等式由(2x23y2z2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,3)1)(xyz)2，得2x23y2z2eq f(（xyz）2,f(11,6)eq f(6,11)，所以，2x23y2z2的最小值为eq f(6,11).18.(12分)已知定义在R上的函数f(x)|x1|x2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足pqra，求证p2q2r23.解析(1)因为|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当1x2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a3.(2)由(1)知pqr3，因为p，q，r是正实数，所以(p2q2r2)(121212)

10、(p1q1r1)2(pqr)29，即p2q2r23(当且仅当pqr1时，等号成立).19.(12分)设f(x)lgeq f(1x2x（n1）xanx,n)，若0a1，nN且n2，求证：f(2x)2f(x).证明f(2x)lgeq f(12x22x（n1）2xan2x,n)，要证f(2x)2f(x)，只要证lgeq f(12x22x（n1）2xan2x,n)2lgeq f(1x2x（n1）xanx,n)，即证eq f(12x22x（n1）2xan2x,n)eq blcrc(avs4alco1(f(1x2x（n1）xanx,n)eq sup12(2)也即证n12x22x(n1)2xan2x1x2x

11、(n1)xanx2，(*)0a1，aa2，根据柯西不等式得n12x22x(n1)2xan2x(121212,sdo4(n个)(1x)2(2x)2(n1)x2(anx)21x2x(n1)xanx2，即(*)式显然成立，故原不等式成立.20.(12分)设x1，x2，xnR，求证：eq f(xeq oal(2,1),x2)eq f(xeq oal(2,2),x3)eq f(xeq oal(2,n1),xn)eq f(xeq oal(2,n),x1)x1x2xn.证明x1，x2，xn0，故由柯西不等式，得(x2x3xnx1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(xeq oal(2,1),x2)

12、f(xeq oal(2,2),x3)f(xeq oal(2,n1),xn)f(xeq oal(2,n),x1)eq blc(rc)(avs4alco1(r(x2)f(x1,r(x2)r(x3)f(x2,r(x3)r(xn)f(xn1,r(xn)r(x1)f(xn,r(x1)eq sup12(2)(x1x2xn1xn)2.eq f(xeq oal(2,1),x2)eq f(xeq oal(2,2),x3)eq f(xeq oal(2,n1),xn)eq f(xeq oal(2,n),x1)x1x2xn.21.(12分)设a、b、cR，且满足abc1，试证明：eq f(1,a3（bc）)eq f(

13、1,b3（ac）)eq f(1,c3（ab）)eq f(3,2).证明abc1，原式即为eq f(b2c2,abac)eq f(a2c2,babc)eq f(a2b2,acbc)eq f(3,2).又(abbcca)2eq blc(avs4alco1(f(ab,r(acbc)r(acbc)f(bc,r(abac)r(abac)eq blc rc)(avs4alco1(f(ac,r(babc)r(babc)eq sup12(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a2b2,acbc)f(b2c2,abac)f(a2c2,babc)(acbc)(abac)(babc)，eq f(a2b2

14、,acbc)eq f(b2c2,abac)eq f(a2c2,babc)eq f(1,2)(acbcab)eq f(1,2)3eq r(3,a2b2c2)eq f(3,2).原不等式得证.22.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，1)，B点在直线y3上，M点满足eq o(MB,sup6()eq o(OA,sup6()，eq o(MA,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(MB,sup6()eq o(BA,sup6()，M点的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值.解析(1)设M(x，y)，由已知得B(x，3)，A(0，1).所以eq o(MA,sup6()(x，1y)，eq o(MB,sup6()(0，3y)，eq o(AB,sup6()(x，2).再由题意可知(eq o(MA,sup6()eq o(MB,sup6()eq o(AB,sup6()0，即(x，42y)(x，2)0.所以曲线C的方程为yeq f(1,4)x22.(2)设P(x0，y0)为曲线C：yeq f(1,4)x22上一点，因为yeq f(1,2)x，所以l的斜率为eq f(1,2)x0.因此直线l的方程为yy0eq f(1,2)x0(xx0)，即x0