课件ch6.3状态方程的求解

1、6-3状态方程的求解一、 矢量的微积分不拉氏变换设有时间矢量(t)，是一个列矢量。则t d1 (t) 1 ( )ddt (t) d2 (t)t1 ( )dt d dt(t) (t) 2 (t) ( )d2dt(t) N d(t) Nt ( )d dtNSignals & Systems1/24 (t)e stdt1 0 (s)1 2 (t )edt st 2 (s)(s) (t) (t)edt 0 st0 (s) N(t)estdt N 0 (0 ) (s)11 2 (s) 2 (0) ds(s) (0)(t) s dt (s) N(0)NSignals & Systems2/24二、 状态方

2、程的拉氏变换解法1、状态方程不输出方程的解d(t) A(t) Bx(t)dty(t) C(t) Dx(t)方程两边同求拉氏变换s(s) (0 ) A(s) BX(s)Y(s) C(s) DX(s)其中状态变量的拉氏变换s(s) A(s) (0 ) BX(s)(sI A)(s) (0 ) BX(s)(s) (sI A)1(0 ) (sI A)1BX(s)Signals & Systems3/246.3 状态方程的求解其中输出变量的拉氏变换Y(s) C(s) DX(s)1(0 ) (sI A)1BX(s) DX(s)1(0 ) )1B DX(s)亍是(t) -1(s) -1 (sI A)1(0 )

3、 (sI A)1BX(s) -1 (sI A)1(0 ) -1 (sI A)1B x(t)零输入分量零状态分量)1B DX(s)y(t) -1Y(s) -1)1(0 ) )1(0 ) -1 )1B D x(t) -1零输入响应-系统的特征矩阵零状态响应-系统的特征行列式大连海事大学信息科学技术学院Signals & Systems4/24例如：已知系统方程的系数矩阵、起始条件和输入，试求状态变量。1 1 10A B 0(0 ) 2x(t) u(t) 31解：首先求系统的特征矩阵 s 30s 111 s s 101001 (sI A)1 s 1 s 11 3 1s 30 0s 3 s 3010s

4、 11 s 1 11(s 1)(s 3) (s 1)(s 3)s 3 Signals & Systems5/24状态变量的零输入分量11 10s 1s 1 (s) (sI A)1(0 ) 2s 111 2zi (s 1)(s 3)s 3 (s 1)(s 3) 状态变量的零状态分量11101s1s 1s 1(s) (sI A) 1BX(s) 0111zs ss 3 (s 1)(s 3) (s 1)(s 3) 1s(s 1) 1 s(s 1)(s 3) Signals & Systems6/24亍是1 1 s(s 1)s 1 2s 1 1 (s) zi (s) zs (s) (s 1)(s 3)

5、s(s 1)(s 3) 1 1121 ss 1ss 1211s 1171 1 17 3 6 44 4 ss 1s 3 s s 1s 3 44 s 1s 3 1 2et(t) u(t)3t1111e et326Signals & Systems7/242、 状态转移矩阵(Se transition matrix)由前面的分析知道，系统的状态变量(s) (sI A)1(0 ) BX(s)(t) -1 (s) -1 (sI A)1 -1(0 ) BX(s)状态转移（过渡）矩阵等亍系统特征矩阵的拉氏反变换。它把系统的起始状态和激励的作用，转换成系统在t0后的任意时刻的状态。d 2 y(t) dy(t)

6、 dx(t) 例如：设系统的输入输出方程为32 y(t)3x(t)dt 2dtdt试列出其状态方程，并求其状态转移矩阵。Signals & Systems8/24(t) -1 (sI A)1解：根据相变量法，可列出一种状态方程。方程中的系数矩阵为 001A 2 3B 1 s 3 s 311 2s 2s11 s (sI A) 21s 31s2 3s 2s2s 3s 312111 s2 3s 2 s 1s 2 3s 2s 22s 11s2 2 2s2 3s 2 3s 2 s 1s 2s 1s 2 s2s22et e2tet e2t et 2e2t(t) -1 (sI A)1 u(t) 2et 2e

7、2tSignals & Systems9/24比较以上系统方程不求解状态转移矩阵对应的特征行列式1s s2 3s 22s 3这正好是系统方程对应的特征多项式，一般情况下也是系统函数的分母多项式，它的根是系统的特征根。3、系统（转移）函数矩阵由前面分析知道，系统的输出矢量的拉氏变换为Y(s) 其中零状态分量是)1(0 ) )1B DX(s)Y (s) )1B DX(s) H(s)X(s)zsSignals & Systems10/24H(s) )1B D对亍有 m个输入，l个输出的系统，H(s) 是一个lm的矩阵。)1B Dd 2 y(t) dy(t) dx(t) 例如：设系统的输入输出方程为3

8、2 y(t)3x(t)dt 2dtdt试列出其输出方程，并求其系统转移函数矩阵。解：根据相变量法，可列出其输出方程。方程中的系数矩阵为C b0b1 31D 0由上例知道，状态方程的系数矩阵不系统的特征矩阵是s 31 s2 3s 2 0 3s 2s2 2B 11(sI A)s s2 3s 2 3s 2 s2Signals & Systems11/24所以s 31 0 3s 2 2 3s 2 )1B D 31 s22s 0H(s) s1 s2 3s 2s2 3s 2 1 s2 3s 2 s 3 31s 3s 2s2 s2 3s 2 因为系统是单输入单输出的，所以系统函数矩阵就是原系统函数。例如：上

9、节例题所示电路如图，设L 1H,C 1F, R1 R2 1iLR2L试求系统的转移函数矩阵。x1y2vcx2Cy1R解：由上节已知1Signals & Systems12/24R1 R110 11 10LLA 1 L0B 1 01 111C C CRR22 R1100 R1 100C 1D 110100 0系统的特征矩阵 s 11 s 11 s 11 s 1s 1 s 11 s 11111 (sI A)1 s 11s 111s 2s 212 1s 1s 1s 1s 11 s2 2s 2 2s 2s2 s 11 s2 2s 2 2s 2 s2Signals & Systems13/24亍是，系统

10、转移函数矩阵s 110 s2 2s 2 11010 2s 2s211s 1 0)B D 0 101H(s) 1 s2 2s 2s2 2s 2 (s 1)1 s2 2s 2 1010 2s 2s2 1s 1 0 101 s2 2s 2 2s 2s2 s 1s21 (s 1)110 s 2s 222 2s 2s 2s 2 2s 2 s2s2 0 s 1s 1s2111 2s 2 2s 2 s2 2s 2s2 2s 2 s2s2Signals & Systems14/24三、 状态方程的时域解法1、 一阶标量方程的时域解d(t) a(t) bx(t)d(t) a(t) bx(t)设有一阶标量方程为o

11、rdtdtd(t) ed eeatbx(t)bx(t)dtdt上式两边同取由0-到时间t的积分，亍是teat(t) (0 ) ea bx( )d0t0 )bx( )d(t) e(t) ebu(t) x(t)u(t)Signals & Systems15/242、 一阶矢量方程的时域解由前面拉氏变换解中已知，状态方程的解为(t) -1 (sI A)1(0 ) -1 (sI A)1B x(t)式中的状态转移矩阵表示为矩阵指数亍是以上状态方程的解不以上标量方程的解，形式上相同。显然，求解以上结果的关键是求状态转移矩阵。而状态转移矩阵可以由拉氏变换求得，下面介绍时域求解方法。Signals & Sys

12、tems16/24(t) eAt(0 ) eAtB x(t)(t) -1 (sI A)1 eAt3、状态转移矩阵的时域求解在标量情况下，不自然数为底的指数 1 (at)kea)kk!2!k!k 0在矢量情况下，定义矩阵指数。设矩阵A为方阵1k!11k 0e 1 (At) (At)2! k!(At)kkAt2kA t亍是，矩阵指数有以下的性质：d eAtdteAteAt IeAt eAt 1 AeAt eAt A(1)(3)(2)下面根据指数矩阵的时域求法。定理，当A是一N阶方阵，则有Signals & Systems17/24N 1(k N ) iAN 1Ak b I b A b A2 bb

13、AiN 1012i0亍是，对不 N阶方阵A，对应的指数矩阵AN 1eAt c I c A c A2 cN 1012具体求解的方法不步骤如下：解矩阵A的特征方程，求特征根；I A 0根据特征根，列方程组；若以上特征根均为单根，则eit c c (i 1,2,N )N 1201若有特征根1为m重根，则对应的m个方程为e1tdet d c c c cN 21N 1101121 t c1 2c21 (N 1)c teN 2| 1N 111Signals & Systems18/24m1 tde1 tm te|1 1d m1(m 1)!(N 1)! m!c c (m 1)!cN m2cm1m11N 11

14、m1(N m)!2!解方程，求出ci；最后做矩阵运算，求出AN 1 c I c A c A2 ceAtN 101201A 2 3例如：已知矩阵A，试求状态转移矩阵。解： 求矩阵的特征根：210 01I A0 2 3 3 2 3 2 0 1, 212Signals & Systems19/24 有以下方程：ete2t c c et e2tc011 c 2cc 2ete2t010 解以上方程，得到： 状态转移矩阵为： 2et e2t010e2te c0I c1A (e e2t )Att2et 2 30 2et e2tet e2t0e2t0t 2e2t 2et 3et 3e2t2e02ete2t 2

15、e2tetete2t 2e2t u(t)t2eSignals & Systems20/244、输出方程的时域求解)1B D (t)I x(t)1(0 ) y(t) CeAt(0 ) CeAtB D (t)I x(t)上式中当有L个输出，矩阵(t)I是一个L阶对角阵 (t) 0 (t)I 0 (t)例如：已知状态方程不输出方程的系数矩阵，且输入x(t)=(t)，试解输出方程。 0 001C 31(0 ) 1D 0A B 1 2 3Signals & Systems21/24解：由上例已知系统的状态转移矩阵2et e2tet e2t et 2e2t u(t)eAtt 2e2t2ey(t) CeAt(0 ) CeAtB D (t)I x(t)002et e2tet e2t2et e2tet e2ty(t) 31 31 (t)t2tt2tt2tt2t 2e 2ee2e 2e2ee2e1 1 et e2t et e2t 31 31 (t)et 2e2tet 2e2t (2et e2t ) (2et e2t ) (t) 2(2et e2t )u(t)Signals & Systems22/24练：已知系统状态不输出方程的系数矩阵如下： 001C 11A 6 5B 1D 0系统的起始状态不输入为： (0 ) 0