统计学课件(第三章 数据描述的综合指标)

1、第三章 数据描述的综合指标第一节 总量指标第二节 相对指标第三节 平均指标第四节 变异指标第五节 偏态与峰度第一节 总量指标 反映现象总体规模或水平的综合指标，即数量指标，也称为绝对数。一、总量指标概述是反映一个国家的国情和国力，一个地区或一个单位人力、物力、财力的基本数据，是认识社会经济现象的起点；（一）总量指标（二）总量指标的意义 是计算其它综合指标的基础，相对指标和平均指标一般是由两个有联系的总量指标对比而形成的。是加强社会经济管理，平衡供求关系，保证国民经济协调发展，全面提高社会经济效益的重要工具。是实现宏观经济调控和企业经营管理的基本指标。二、总量指标的分类（一）按时间特征分类按反映

2、的时间状况不同分为：时期指标时点指标1.时点指标表明现象总体在某一时刻（瞬间）的数量状况，如在某一时点的总人口数不具有可加性、数值大小与时期长短没有直接关系、由一次性登记调查得到2.时期指标表明现象总体在一段时期内发展过程的总量，如在某一段时期内的出生人数、死亡人数具有可加性、数值大小与时期长短有直接关系、需要连续登记汇总出生人数人口总数死亡人数t1时段t2时段t3时段t关于一个人口总体的总量指标时期指标时点指标（二）按计量单位分类按计量单位不同分为：实物指标价值指标劳动指标1. 实物量指标是根据总体的属性和特征，采用实物单位作为度量标准的总量指标。如 某地区一年的粮食总产量2. 价值量指标是

3、用货币单位计量的产品和劳务的数量。如 商品零售额3. 劳动量指标是以劳动时间为单位计算的产品产量或完成的工作量。实物单位自然单位度量衡单位标准实物单位价值单位劳动单位多个单位的结合运用：复合单位双重单位多重单位（如：人次、吨公里）（如：人/平方公里）（如：艘/吨/千瓦）适用范围综合能力差强大小如：台、件如：米、平方米如：标准吨如：工日、工时如：元公顷人辆计量单位单一单位复合单位：工时、吨公里等自然单位：个、台等度量衡单位：吨等总体标志总量总体单位总数按反映的总体内容不同分为：（三）按内容分类2.总体标志总量1.总体单位总数一个总体中只有一个单位总数，但可以有多个标志总量，它们由总体单位的数量标

4、志值汇总而来。总体单位某一数量标志的标志值总和总体所包含的总体单位的数量第二节 相对指标甲企业乙企业利润总额资金占用资金利润率500万元 5000万元 3000万元40000万元16.7%12.5%比较两厂经济效益不可比不可比可比一、相对指标概述指两个有联系的统计数据之间的比值，用来反映某些相关事物之间数量关联程度的综合指标；也称为相对数。（一）相对指标可使不能直接对比的现象找到共同的比较基础；（二）相对指标的作用可综合的表明有关现象之间的联系程度，反映事物发展变化的趋势； 是宏观调控与微观考核的重要依据。无名数复名数用倍数、系数、成数、等表示用双重计量单位表示的复名数二、相对指标的计量单位倍

5、数与成数应当用整数的形式来表述5倍、3成、近7成倍、成分母为1分母为1.00分母为10分母为100分母为1000 总人数30人男生人数20人女生人数10人男生比重为2/3女生比重为1/3男女比例为2:1总量指标非总量指标相对指标三、相对指标的种类结构相对数比例相对数强度相对数计划完成程度相对数比较相对数动态相对数例：我国某年国民收入使用额为19715亿元，其中消费额为12945亿元，积累额为6770亿元。则说明为无名数，分子与分母属于同一总体； 同一总体各组的结构相对数之和为1；用来分析现象总体的内部构成状况。（一）结构相对数直接应用上述公式A.计划任务数表现为绝对数时（二）计划完成相对数例1

6、：己知某厂2000年的计划产品产量为10万吨，实际产量为12万号。则：B. 计划任务数表现为相对数时例2：己知某厂2000年的计划规定产品产量要比上年实际提高5而实际提高了7。则例3：己知某厂2000年的计划规定产品成本比上年降低5%，实际降低提高6。则即实际比计划单位成本下降了1.05%.百分点相当于百分数的计量单位，一个百分点就指1。上例中，实际比计划多提高的百分点为（7-5）100=2（个百分点）实际工作中常用，但并不是相对数例：某年某地区甲、乙两个公司商品销售额分别为亿元和亿元。则为无名数，一般用百分数和倍数表示； 反映同类现象数值在同一时间不同总体之间的对比关系。 3. 用来说明现象

7、发展的不均衡程度。 说明（三）比较相对数例：我国某年国民收入使用额为19715亿元，其中消费额为12945亿元，积累额为6770亿元。则为无名数，可用百分数或一比几或几比几表示；用来反映组与组之间的联系程度或比例关系。说明（四）比例相对数例：某年某地区年平均人口数为100万人，在该年度内出生的人口数为8600人。则该地区一般用、表示。其特点是分子来源于分母，但分母并不是分子的总体，二者所反映现象数量的时间状况不同。1、无名数的强度相对数（五）强度相对数例：某地区某年末现有总人口为100万人，医院床位总数为24700张。则该地区（正指标）（逆指标）为用双重计量单位表示的复名数，反映的是一种依存性

8、的比例关系或协调关系，可用来 反映经济效益、经济实力、现象的密集程度等。2、有名数的强度相对数 是同一指标在不同时间上的对比，又称为发展速度。动态相对数为无名数； 用来反映现象的水平在时间上的变动程度。说明（六）动态相对数正确选择对比的基础；指标对比要有可比性；相对指标要与总量指标结合运用；多种相对指标结合运用。使用相对指标应注意的问题正确选择对比基础本单位历史水平本行业（全国）平均（先进）水平经济效益指数某经济效益指标实际值该经济效益指标标准值价格定基指数某期价格水平某固定基期的价格水平经济发展、价格水平均较为正常的时期注意指标间的可比性2000年的工业总产值（当年价格）1980年的工业总产

9、值（当年价格）1980年中国的国民收入（人民币元）1980年美国的国民收入（美元）相对指标抽象掉了具体的数量差异:1:2=50% 10000:20000=50%1998年相对于1997年，美国的GDP增长速度为，同期中国GDP增长速度为，恰好为美国的2倍；但根据同期汇率（1美元兑换元人民币），1998年中国GDP总量约合9671亿美元，约相当于同期美国GDP总量84272亿美元的1/9。相对指标应当结合总量指标使用结构相对数比例相对数比较相对数动态相对数计划完成相对数强度相对数（部分与总体关系）（部分与部分关系）（横向对比关系）（纵向对比关系）（实际与计划关系）（关联指标间关系）多种相对指标应

10、当结合运用人口性别比为：11999年末我国共有总人口亿人，其中男性人口为亿，女性人口为亿。男性人口的比重为50.8比1980年末的亿人增加了28人口密度是美国的倍人口密度为130人/平方公里人口出生率为15.23女性人口的比重为49.2第三节 平均指标指总体中各单位的次数分布从两边向中间集中的趋势，用平均指标来反映。集中趋势又称平均数，是反映社会经济现象总体各单位某一数量标志在一定时间、地点和条件下所达到的一般水平的综合指标。 平均指标数值平均数位置平均数算术平均数调和平均数几何平均数中位数众数基本形式：例：直接承担者 注意区分算术平均数与强度相对数一、算术平均数STAT算术平均数83名女生的

11、身高变量一般水平、代表性数值分布的集中趋势、中心数值算术平均数算术平均数=总体标志总量总体单位总数设数据集数据个数 N简单算术平均数 简单算术平均数适用于总体资料未经分组整理、尚为原始资料的情况式中： 为算术平均数; 为总体单位总数； 为第i 个单位的标志值。（一）简单算术平均数解：平均每人日销售额为：某售货小组5个人，某天的销售额分别为520元、600元、480元、750元、440元，则【例】加权算术平均数适用于总体资料经过分组整理形成变量数列且每组单元数不同时的情况式中： 为算术平均数; 为第 组的次数； 为组数； 为第 组的标志值或组中值。（二）算术平均数【例】某企业某日工人的日产量资料

12、如下：日产量（件）工人人数（人）101112131470100380150100合计800计算该企业该日全部工人的平均日产量。解：若上述资料为组距数列，则应取各组的组中值作为该组的代表值用于计算；此时求得的算术平均数只是其真值的近似值。说明分析：成绩（分）人数（人）甲班乙班丙班603915010013950平均成绩（分）619980起到权衡轻重的作用决定平均数的变动范围表现为次数、频数、单位数；即公式 中的表现为频率、比重；即公式中的指变量数列中各组标志值出现的次数，是变量值的承担者，反映了各组的标志值对平均数的影响程度权数绝对权数相对权数234567819权数与加权234567819权数与加

13、权234567819权数与加权234567819权数与加权234567819权数与加权234567819算术平均数的计算取决于变量值和权数的共同作用：变量值决定平均数的范围；权数则决定平均数的位置性质 对每一变量给以相同的改变量A，则平均数也有改变量A：（三）算术平均数的基本性质性质 对每一变量改变同一倍数，则平均数也改变同一倍数：性质3. 对每一全书都改变同一倍数，则平均数不变：性质4. 所有变量与平均数的离差代数和等于零：离差的概念12345678-1-1-213【例】 设X=（2，4，6，8），则其调和平均数可由定义计算如下：再求算术平均数：求各标志值的倒数 ： ， ， ，再求倒数：是总

14、体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，又叫倒数平均数调和平均数二、调和平均数简单调和平均数适用于总体资料未经分组整理、尚为原始资料的情况式中： 为调和平均数; 为变量值 的个数； 为第 个变量值。（一）简单调和平均数加权调和平均数适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况式中： 为第 组的变量值； 为第 组的标志总量。（二）加权调和平均数当己知各组变量值和标志总量时，作为算术平均数的变形使用。若已知分组资料的各组变量值及各组的权数时，直接用加权算术平均数的公式。因为：（三）调和平均数与算术平均数的关系x、f 为已知若只知 x 和xf ，而f 未知，则不能使用加权算术平均方式，只能使用其变形即

15、加权调和平均方式。 苹果 单价 购买量 总金额 品种 （元）（公斤） （元）红富士 2 3 6青香蕉 1.8 5 9 日产量（件）各组工人日总产量（件）10111213147001100456019501400合计9710【例】某企业某日工人的日产量资料如下：计算该企业该日全部工人的平均日产量。即该企业该日全部工人的平均日产量为件。解是N项变量值连乘积的开N次方根。几何平均数用于计算现象的平均比率或平均速度应用：各个比率或速度的连乘积等于总比率或总速度；相乘的各个比率或速度不为零或负值。应用的前提条件：三、几何平均数比值的平均数的计算方法由于比值（平均数或相对数）不能直接相加，求解比值的平均数

16、时，需将其还原为构成比值的分子、分母原值总计进行对比设比值 分子变量分母变量则有：统计学第四章 统计特征值己知 ，采用基本平均数公式己知 ，采用加权算术平均数公式己知 ，采用加权调和平均数公式比值统计学第四章 统计特征值比值的平均数的计算方法【例A】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：计划完成程度（）组中值（）企业数（个）计划产值（万元）90以下90100100110110以上8595105115231038002500172004400合计1824900计算该公司该季度的平均计划完成程度。统计学第四章 统计特征值比值的平均数的计算方法【例A】某季度某工业公司18个工业企业产值

17、计划完成情况如下：计划完成程度（）组中值（）企业数（个）计划产值（万元）90以下90100100110110以上8595105115231038002500172004400合计1824900计算该公司该季度的平均计划完成程度。分析：应采用加权算术平均数公式计算统计学第四章 统计特征值比值的平均数的计算方法【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下（按计划完成程度分组）：组别企业数（个）计划产值（万元）实际产值（万元）12342310380025001720044006802375180605060合计182490026175计算该公司该季度的平均计划完成程度。统计学第四章 统

18、计特征值比值的平均数的计算方法【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下（按计划完成程度分组）：组别企业数（个）计划产值（万元）实际产值（万元）12342310380025001720044006802375180605060合计182490026175计算该公司该季度的平均计划完成程度。求解比值的平均数的方法分析：应采用平均数的基本公式计算统计学第四章 统计特征值简单几何平均数适用于总体资料未经分组整理尚为原始资料的情况式中： 为几何平均数; 为变量值的个数； 为第 个变量值。（一）简单几何平均数【例】某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各工序产品的合格率分别为95、92、

19、90、85、80，求整个流水生产线产品的平均合格率。分析：设最初投产100A个单位 ，则第一道工序的合格品为；第二道工序的合格品为（）； 第五道工序的合格品为（）；因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品， 故该流水线总的合格品应为 ；则该流水线产品总的合格率为：即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需采用几何平均法计算。因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品， 故该流水线总的合格品应为 ；则该流水线产品总的合格率为：即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需采用几何平均法计算。解：思考若上题中不是由五道连续作业的

20、工序组成的流水生产线，而是五个独立作业的车间，且各车间的合格率同前，又假定各车间的产量相等均为100件，求该企业的平均合格率。 因各车间彼此独立作业，所以有 第一车间的合格品为：； 第二车间的合格品为：； 第五车间的合格品为：。则该企业全部合格品应为各车间合格品的总和，即总合格品分析：不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解比值的平均数的方法计算。又因为应采用加权算术平均数公式计算，即加权几何平均数适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况式中： 为几何平均数; 为第 组的次数； 为组数； 为第 组的标志值或组中值。（二）加权几何平均数【例】某金融机构以复利计息。近12年来的年利率有4年为3

21、，2年为5，2年为8，3年为10，1年为15。求平均年利率。设本金为V，则至各年末的本利和应为：第1年末的本利和为：第2年末的本利和为： 第12年末的本利和为：分析：第2年的计息基础第12年的计息基础则该笔本金12年总的本利率为：即12年总本利率等于各年本利率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故计算平均年本利率应采用几何平均法。解：思考若上题中不是按复利而是按单利计息，且各年的利率与上相同，求平均年利率。分析第1年末的应得利息为：第2年末的应得利息为：第12年末的应得利息为： 设本金为V，则各年末应得利息为：则该笔本金12年应得的利息总和为：=V（0.034+0.052+0.151） 这里的

22、利息率或本利率不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解比值的平均数的方法计算。因为假定本金为V所以，应采用加权算术平均数公式计算平均年利息率，即：解：（比较：按复利计息时的平均年利率为6.85）是否为比率或速度各个比率或速度的连乘积是否等于总比率或总速度是否为其他比值是否否是否是几何平均法算术平均法求解比值的平均数的方法数值平均数计算公式的选用顺序指标指总体中出现次数最多的变量值，用 表示,它不受极端数值的影响，用来说明总体中大多数单位所达到的一般水平。（一）众数四、位置平均数解：人均收入出现次数最多的是1080，由此众数为Mo 1080元。例：在某城市中随机抽取9个家庭，调查得到每个家庭的人

23、均月收入数据如下（单位元），计算人均月收入的众数。1080750108010808509602000125016301、原始数据的众数的确定。日产量（件）工人人数（人）101112131470100380150100合计800【例A】已知某企业某日工人的日产量资料如下:计算该企业该日全部工人日产量的众数。2、单项数列的众数的确定。相邻两组的频数相等时，众数组的组中值即为众数Mo相邻两组的频数不相等时，众数采用下列近似公式计算MoMo上限公式： 下限公式： 步骤：(1)首先确定众数所在的组3、组距数列的众数的确定 (2)利用相应公式计算众数 身高 人数 比重 （CM） （人） （%） 160-1

24、65 34 40.96 170以上 总计 83 100某年级83名女生身高资料概约众数：众数所在组的组中值，在本例为【例B】某车间50名工人月产量的资料如下：月产量（件）工人人数（人）向上累计次数（人）200以下200400400600600以上373283104250合计50计算该车间工人月产量的众数。概约众数：众数所在组的组中值，在本例为500件当数据分布存在明显的集中趋势，且有显著的极端值时，适合使用众数；当数据分布的集中趋势不明显或存在两个以上分布中心时，不适合使用众数（前者无众数，后者为双众数或多众数，也等于没有众数）4、众数的原理及应用出生1981.01980.01979.0197

25、8.01977.01976.01975.0160140120100806040200没有突出地集中在某个年份413名学生出生时间分布直方图（无众数）192.5190.5188.5186.5184.5182.5180.5178.5176.5174.5172.5170.5168.5166.5164.5162.5160.5158.5156.5154.5152.5150.5148.56050403020100413名学生的身高分布直方图（双众数）当数据分布呈现出双众数或多众数时，可以断定这些数据来源于不同的总体。出现了两个明显的分布中心将总体各单位标志值按大小顺序排列后，指处于数列中间位置的标志值，用

26、 表示（二）中位数不受极端数值的影响，在总体标志值差异很大时，具有较强的代表性。1、中位数的作用：中位数把标志值数列分为两个部分,一部分标志值小于或等于它,另一部分标志值大于或等于它.2、中位数的确定(1) 未分组数据中位数的确定 设一组资料有n个数值从小到大排列x1 ,x2 ,xn，处在数列的中点位置的数值，就是中位数，记作：Me。原始数据: 24 22 21 26 20排 序: 20 21 22 24 26位 置: 1 2 3 4 5中位数 22例：原始数据: 10 5 9 12 6 8排 序: 5 6 8 9 10 12位 置: 1 2 3 4 5 6位置n+126+123.5中位数8

27、+ 928.5例：中位数的位次为：即第3个单位的标志值就是中位数【例】某售货小组5个人，某天的销售额按从小到大的顺序排列为440元、480元、520元、600元、750元，则中位数的位次为中位数应为第3和第4个单位标志值的算术平均数，即【例】若上述售货小组为6个人，某天的销售额按从小到大的顺序排列为440元、480元、520元、600元、750元、760元，则【例】某企业某日工人的日产量资料如下：日产量（件）工人人数（人）向上累计次数（人）10111213147010038015010070170550700800合计800计算该企业该日全部工人日产量的中位数。中位数的位次：(2) 单项数列中

28、位数的确定共 个单位共 个单位共 个单位共 个单位LU中位数组组距为h共 个单位假定该组内的单位呈均匀分布共有单位数 中位数下限公式为 该段长度应为 (3)组距数列中位数的确定【例】某车间50名工人月产量的资料如下：月产量（件）工人人数（人）向上累计次数（人）200以下200400400600600以上373283104250合计50计算该车间工人月产量的中位数。a.中位数一定存在；b.中位数与算术平均数相近；c.中位数不受极端值影响，只受中间位置标志值的影响；d.变量值与中位数离差绝对值之和最小。（4）中位数的作用及用法 变量值34556910中位数 5平均值 6与中位数离差 -2 -1 0 0 1 4 5与平均数离差 -3 -2 -1 -1 0 3 4绝对数值之和 13 14变量值与中位数离差绝对值之和最小。（三）中位数、众数和算术平均数的关系c.左偏分布均值 中位数 众数 b.右偏分布众数 中位数 0为右偏分布.偏态系数 0为左偏分布【例