单元模型构造局部系法平衡方程列式

1、三角形单元中，3节点三角形单元是实际工程应用最广泛的单元之一。这种单元的计算精度虽然不高，但是单元列式简单，尤其适合复杂边界的网格划分。如果单元划分密度达到一定程度，计算精度也能满足工程分析需要。三角形单元单元平衡方程列式 单元插值关系 (1) 单元刚度矩阵单元平衡方程列式 1) 平面应力和平面应变问题单元平衡方程列式 单元平衡方程列式 k为对称的6*6常数矩阵假设平面应力情况板厚或平面应变情况的厚向长度为h，单元面积为A，则单元刚度矩阵k为单元平衡方程列式 2) 轴对称问题单元平衡方程列式 轴对称问题的应变矩阵B不是常数矩阵。矩阵中的坐标x和形函数Ni都与坐标系直接相关，而且在对称轴上x0会

2、造成数值奇异。为了简化计算和消除这些麻烦，实际计算过程中取单元的形心处的坐标xc和yc来近似，即单元平衡方程列式 式中，xi、yi，i=1,2,3是单元的节点坐标。这样轴对称问题的应变矩阵B就是与坐标无关的常数矩阵了。设单元面积为A，则单元平衡方程列式 (2) 载荷向量载荷向量按下式计算1) 平面应力和平面应变问题3节点三角形单元在单元面内和单元边界上都是线性插值，如果分布力P在单元内是常数，则P就可以按平均方法分配，在单元边界上每个节点承受1/2的外力，在单元面内每个节点承受1/3的外力。单元平衡方程列式 分布力 如果分布力作用于单元的某一条边上或单元面内。作用于1、2边 假设单元1、2边的

3、长度为l12，根据载荷向量计算公式可得分布力作用于1、2边时单元载荷向量fP为式中，Px和Py为分布力P在坐标x和y方向的分量，t为单元厚度。单元平衡方程列式 作用于2、3边 假设单元2、3边的长度为l23，根据载荷向量计算公式可得分布力作用于2、3边时单元载荷向量fP为单元平衡方程列式 作用于3、1边 假设单元3、1边的长度为l31，根据载荷向量计算公式可得分布力作用于3、1边时单元载荷向量fP为单元平衡方程列式 作用于单元面内 假设单元的面积为A，根据载荷向量计算公式可得单元载荷向量fP为单元平衡方程列式 自重力 根据载荷向量计算公式可得自重力作用的单元载荷向量fG为式中，Gx和Gy为自重

4、力G在坐标x和y方向的分量。单元平衡方程列式 2) 轴对称问题对于轴对称问题来说，分布力和自重力的作用也是轴对称的，作用力的分配一般不是平均分配。 分布力 如果分布力作用于单元的某一条边上。作用于1、2边 假设单元1、2边的长度为l12，根据载荷向量计算公式可得分布力作用于1、2边时单元载荷向量fP为式中，Px和Py为分布力P在坐标x和y方向的分量。作用于2、3边 假设单元2、3边的长度为l23，则单元载荷向量fP为单元平衡方程列式 作用于3、1边 假设单元3、1边的长度为l31，则单元载荷向量fP为单元平衡方程列式 自重力 根据载荷向量计算公式可得自重力作用的单元载荷向量fG为式中，Gx和G

5、y为自重力G在坐标x和y方向的分量。单元平衡方程列式 单元平衡方程列式 4节点四边形单元是常用的一种单元模型，它的单元平衡方程列式具有代表性。采用正规自然坐标系方法求单元形函数的一类单元，对于一维和三维问题来说，只是节点自由度维数上的差别。四边形单元单元平衡方程列式 (1) 单元刚度矩阵4节点四边形单元的节点位移向量ue为单元插值关系 式中单元形函数矩阵为单元平衡方程列式 1) 平面应力和平面应变问题应变矩阵B为单元平衡方程列式 4节点四边形单元的应变矩阵B的计算不像3节点三角形单元那样很容易得到一个常数矩阵。因为它的形函数是通过自然坐标r和s描述的，而不是整体坐标x和y，因此它们与算子矩阵L

6、作用时，不能直接偏导。 B矩阵的具体求法为：把 Ni (i=1,2,3,4) 看成是x、y的函数对r和s求导，根据链式法则得J为Jacobi矩阵，表示整体坐标系与自然坐标系之间的变换矩阵利用等参单元关系或者单元平衡方程列式 Jacobi矩阵J中的4个元素可分别表示为求逆可得单元平衡方程列式 应变矩阵B进一步表示为单元刚度矩阵k为单元平衡方程列式 由于bi和ci是关于自然坐标r、s的函数，所以矩阵B和k也都是关于自然坐标r、s的函数，这时一般要采用Gauss积分方法计算单刚k。令da=dxdy=detJdrds，并将积分限取为-1到+1，则有单元平衡方程列式 2) 轴对称问题应变矩阵B为（坐标系

7、依然为xy）单元平衡方程列式 和平面应力/应变问题的推导过程相同，B可进一步表示为根据等参单元的性质，坐标x为单元平衡方程列式 单元刚度矩阵k为令dv=2xdA=2xdxdy=2xdetJdrds，并将积分限取为-1到+1，则有单元平衡方程列式 (2) 载荷向量1) 平面应力和平面应变问题载荷向量按下式计算代入形函数矩阵N直接积分计算。单元平衡方程列式 4节点四边形单元在单元面内是双线性的，在单元边界上是线性插值，如果分布力P在单元内是常数，则P就可以按平均法分配，在单元边界上每个节点承受1/2的外力，在单元面内每个节点承受1/4的外力。具体计算结果与3节点三角形单元类似。2) 轴对称问题代入形函数矩阵N直接积分计算。单元平衡方程列式 空间单元空间单元一般都要在单元上建立一个随体局部坐标系。设单元局部坐标系的节点位移向量ue和整体坐标系的节点位移向量ue存在如下变换关系式中，为坐标变换矩阵。单元平衡方程列式 在随体局部坐标系下，单元的插值关系、几何关系和本构关系分别为单元平衡方程列式 在随体局部坐标系下，单元的最小势能原理为将单元的坐标变换关系式以及插值关系、几何关系