05第五章非寿险定价

1、第五章非 寿 险 定 价第五章 非寿险定价 5.1 费率厘定的根本原理5.2 个体风险的费率5.3 分类费率5.4 信度实际5.1.1 根本概念 5.1.2 费率厘定的根本方法 5.1.3 数据的一致性要求 5.1.4 最终赔款的预测和趋势分析5.1 费率厘定的根本原理5.1.1 根本概念风险单位赔款和理赔费用索赔频率索赔强度纯保费费用、利润与平安附加保险费率赔付率风险单位exposure unit：一次事故能够呵斥的最大损失范围中保险公司所承当的责任。它是费率厘定的根本单位，不同的保险工程有不同的风险单位。如：汽车险中，风险单位常取为“一个车年 。1辆保险期为12个月的投保车辆是1个车年。1

2、份为3辆汽车提供6个月保险的保单包含了1.5个车年。风险单位数：一个风险的规模大小。如：一份1年期保单承保了200辆汽车组成的车队，那么该保单的风险单位数 200个车年。1. 风险单位承保风险written exposures：在一定时期内所签保单的一切风险单位数量。承当风险/到期风险earned exposures：在一定时期内实践承当责任的风险单位数量。有效风险in-force exposures：在一个给定时辰的风险单位数量。如：7月1日承保的一份1年期保单，从7月1日到12月31日承保风险为1，承当风险为0.5，而在12月31日有效风险为1。1. 风险单位上表为4份保险期限均为12个月

3、的1辆车的汽车保险单，4份保单的生效日期不同。留意：有效风险不论剩余期限的长度，把每份到2021年1月1日依然有效的、以12个月为期限的保单计为一个完好的车年。生效日期承保风险承担风险有效风险20102011201020112011-1-12010-1-1101002010-4-1100.750.2512010-7-1100.50.512010-10-1100.250.751合计402.51.53表5.1 风险单位数统计量的比较.赔款/赔付额losses：保险人根据保单条款支付给被保险人的金额。已决赔款：保险公司已支付给索赔人的赔款。未决赔款：保险事故曾经发生，但由于各种缘由如报案延迟或理赔延

4、迟，保险公司尚未支付给被保险人的赔款。表现为未决赔款预备金的方式。理赔费用loss adjustment expenses直接理赔费用：与特定索赔直接相联络的费用，如：察勘费、辩护费等。间接理赔费用；与特定索赔不直接相联络的费用，如：理赔部门管理人员的薪资。2. 赔款和理赔费用索赔claim： 被保险人或受害的第三者根据保险合同的规定提出的赔付要求。提出索赔的个体称为索赔人claimant。事故日期accident date：引起索赔的事故发生日期。报告日期report date：保险人收到索赔报告的日期。报告延迟、理算延迟、结案延迟如：2021的12月25日发生保险事故，被保险人在2021年

5、1月5日提出索赔，按事故日期统计，这次事故应计入2021年的索赔次数；假设报告日期统计，那么应计入2021年的索赔次数。3. 索赔频率索赔频率claim frequency：一定时期内每个风险单位的索赔次数。计算公式： 其中：F为索赔频率，N为索赔总次数，E为风险单位总数。如：一个汽车保单在2021年有5000个车年风险单位数，发生的索赔次数为800次，那么在2021年每个风险单位索赔频率为800/50000.16。3. 索赔频率索赔强度claim severity：每个风险单位在每次索赔中的赔款。计算公式： 其中：S为索赔强度，L为赔款总额，N为索赔总次数。4. 索赔强度纯保费pure pr

6、emium：每个风险单位的平均赔款金额。计算公式： 其中：P为纯保费，L为赔款总额，E为风险单位数。纯保费也可表示为： 即纯保费等于索赔频率与索赔强度的乘积。5. 纯保费计算纯保费的步骤(1)信息搜集。(2)数据分析。分析索赔频率与索赔金额，思索风险单位数、索赔缘由、经济变化趋势等要素。(3)估计索赔额，包括投资盈利率、通货膨胀率、宏观环境变化、保单条款变化等。(4)分析纯保费的灵敏度。注：假设保单条款中有免赔额或最高赔偿限额等条款，那么在计算纯保费时也应思索。有限期望函数令X表示一个非负随机变量，其密度函数和分布函数分别为f(x)和F(x)。对于给定的实数d 0，定义有限期望函数： “Xd

7、表示当实践损失大于d 时，按d 计算，即在计算上述期望时，损失被限定在d 以内。.免赔额免赔额：保险人对低于免赔额的损失不予赔偿。设X表示被保险人的损失，Y表示保险人的赔款，d 表示免赔额，那么：.赔偿限额赔偿限额：保险人对一次索赔的最大能够赔款。在赔偿限额条件下，保险人对于高于赔偿限额的损失不予赔偿。设赔偿限额为u，那么Y 的分布函数和密度函数分别为:.共同保险共同保险：对每一次损失，保险人只赔偿一定的比例，而被保险人自傲剩余的损失。假设保险人承当的比例为 01 ，那么：保险人的平均赔款为：.6. 费用、利润与平安附加费用expenses：保险公司支出的如承保费用、营销费用、核保费用、管理费

8、用、变卦费用、退保费用、理赔费用等。可变费用variable expenses：随保单价钱的变化而变化的费用。固定费用fixed expenses：与保单价钱无关的费用。利润附加：反映了保险公司运营保险业务获取的利润程度，通常为保费的百分比。平安附加：保险公司承保的风险并不一定等于其期望值，只需附加一定的平安保费，保险费才干应付未来索赔损失的需求。.7. 保险费率保险费率premium rate：简称费率，是一个风险单位的保费。保险费premium：由保险费率可以计算出一份保单的保险费，由纯保费和附加保费两部分构成。承保保费written premium承当保费/已赚保费earned prem

9、ium有效保费in-force premium保险费毛保费 纯保费 + 附加保费.例如，设风险单位是一辆保险期为1年的汽车，单位保费为112.90元。假设某份保单有15辆汽车，那么其保费为： 112.90151693.50假设该保单是从2021年7月1日开场，承保时间为12个月，那么到2021年12月31日为止，各类保费如下：2009日历年承保保费1693.50 2009日历年承担保费/已赚保费846.75 2009年12月31日有效保费1693.50 7. 保险费率.8. 赔付率赔付率loss ratio：赔款与保费之比。注：计算赔付率时，赔款可以是已付赔款或未付赔款，保费可以是承保保费或已

10、赚保费，所以对于不同的保费和赔款的选择，会有不同的赔付率的计算结果。.5.1.2 费率厘定的根本方法1. 纯保费法 2. 赔付率法 3. 两种方法比较1. 纯保费法纯保费法：在纯保费上附加各种必要的费用和利润。可以弥补期望索赔与费用支出，并能提供期望利润。计算公式：其中：R每风险单位的费率； P纯保费； F每风险单位的固定费用； V可变费用因子； Q利润因子。从而有： 其中：RV为可变费用，RQ为利润。例5.1假设某险种的保费、各种费用及费用因子如下表所示。试按纯保费法计算毛保费。纯保费75.00 每个风险单位固定费用12.50 可变费用因子17.50%利润因子5.00%按照纯保费法，有故毛保

11、费为：该毛保费的组成部分为：例5.1答案纯保费（P）75.00 固定费用（F）12.50 可变费用（RV）19.76 （112.9017.50%）利润附加（RQ）5.64 （112.905.00%）毛保费112.90 2. 赔付率法赔付率法：根据赔付率计算费率的调整幅度费率调整因子，将当前毛保费调整得到新的毛保费。赔付率法中，新保费等于费率调整因子与当前保费乘积。计算公式：其中：R新厘定的毛保费； R0当前的毛保费； A费率调整因子，AW / T； W阅历损失率； T目的损失率。阅历损失率：阅历期的最终赔款与等程度已赚保费的比率。等程度已赚保费：是用当前费率程度计算的阅历期的已赚保费。在实务中

12、，阅历期因险种不同而不同，通常为35年。阅历损失率可写为：其中：L阅历期的最终赔款； E阅历期的风险单位数； R0当前费率。阅历损失率目的损失率：新费率所要实现的最终赔款。可表示为：其中：L阅历期的最终赔款； E阅历期的风险单位数； R新费率。目的损失率.详细有： V佣金+税收、执照费用+其他承保费用/承保保费 +普通管理费用/已赚保费其中：V可变费用因子； Q利润附加因子； G每风险单位的固定费用F 与纯保费P之比。或者是保险人的固定费用与其赔款之比。目的损失率例5.2假设在过去一年内，某险种的收入和支出数据如下，试按赔付率法计算费率调整因子A 。承保保费57800 已赚保费54160赔款和

13、直接理赔费用37680间接理赔费用2440 佣金8655税金、执照和其他费用1300其他承保费用3230一般管理费用3685赔款和各项费用合计56990例5.2答案：总赔款和费用(56990)超出了已赚保费(54160)，因此必要对正运用的费率能否充足进展分析。首先计算目的赔付率，即其中：V可变费用因子； Q利润附加因子； G每风险单位的固定费用与赔款之比。通常假设间接理赔费用为固定费用，因此：.例5.2答案：可变费用因子是可变费用与保费之比。佣金、税金、其他承保费用是基于承保保费而支付的，应以承保保费为分母；普通管理费用与承保保费没有直接关系，通常用已赚保费作为分母。计算可变费用因子如下：佣

14、金与承保保费比率8655/57800=0.1497税金、执照及其他费用与承保保费的比率1300/57800=0.0225 其他承保费用与承保保费比率3230/57800=0.0559一般管理费用与已赚保费比率3685/54160=0.0680可变费用因子合计0.2961.假设利润附加因子为零，即Q =0，这时假设进一步假设阅历赔付率为W =80%，那么对当前费率总程度的费率调整因子为： A=W/ T=1.2102 即当前费率程度应该上调21.02%。例5.2答案：.3. 两种方法比较假设对一样的阅历数据采用一样的假设，那么纯保费法与赔付率法得到的结果是一致的。.3. 两种方法比较纯保费法与赔付

15、率法在实际运用中的区别如下：纯保费法赔付率法基于风险单位基于保险费率不需要当前费率需要当前费率不用等水平已赚保费用到等水平已赚保费得到新费率得到费率调整因子.纯保费法基于每个风险单位的赔款即纯保费计算毛保费。假设确定风险单位较困难或风险单位在各危险单位间有差别，那么不宜运用纯保费法。赔付率法需求知当前的费率及保费的历史记录，因此赔付率法不适用于新业务的费率厘订。赔付率法需求计算阅历赔付率，而阅历赔付率是阅历期的赔款和等程度已赚保费之比。假设该险种在阅历期的费率变化较大，计算等程度已赚保费很困难时，纯保费法更适宜。 两种方法的适用范围.5.1.3 数据的一致性要求费率厘定时，要保证赔款、风险单位

16、、保费之间的一致性，对察看数据中出现的不一致要进展调整。导致数据出现不一致性的要素有：1. 阅历期2. 再保险3. 保险责任4. 责任限额5. 保险费率1. 阅历期阅历期的选择，要保证对未来的损失趋势具有良好 预测才干。要根据险种性质确定阅历期：对于长尾业务，阅历期要足够长，否那么对最终赔款的估计会产生较大的偏向；对于短尾业务，阅历期可以选择最近的一个或两个时间，以保证察看数据最能代表当前的损失趋势。2. 再保险再保险指原保险人经过向再保险人支付再保险费，将部分损失转嫁给再保险人的一种风险转移方式。普通情况下，费率分析是基于直接的保费和损失数据，而不思索再保险的影响。假设再保险的本钱很高，那么

17、可以将其作为独立的费用工程进展分析。3. 保险责任要思索不同的保险责任对保险费率的影响。对于不同保险责任的保单，其保费、赔款 和风险单位等数据一定要分开分析。如：汽车第三者责任保险费率中，不同责任限额的保单应该分开分析。职业责任保险费率中，不同承保根底如以索赔提出为根底或以事故发生为根底的保单也应分开分析。4. 责任限额在责任保险中，通常会给出根本限额的费率和其他增高限额的费率系数。用根本限额的费率乘以增高限额的费率系数，可得到增高限额的费率。增高限额的费率系数随着时间的推移会不断变化，尤其当通货膨胀影响购买 ，人们倾向于购买更高限额的保单。在责任保险的费率分析中，应该 将不同限额下的保费和赔

18、款等数据调整到限额程度上。5. 保险费率通常阅历期包括假设干年 ，那么阅历期初的费率与阅历期末的费率普通不相等。此时，假设运用赔付率法厘定保险费率，那么需求将整个阅历期的费率都调整 当前费率，并在此根底上计算等程度已赚保费。等程度已赚保费/平衡保费on-level premium，将阅历期的已赚保费，根据当前费率程度调整得到的保费。求平衡保费的方法有：1 风险单位扩展法2 平行四边形法(1) 风险单位扩展法风险单位扩展法extending exposure method：将过去阅历期内所承保的风险单位，按照当前费率程度重新计算保费。风险单位扩展法的计算，必需将过去阅历期承保的满期风险单位，按照

19、如今的费率程度重新逐单计算每一笔满期保费。优点：计算准确缺陷：破费大量时间.例5.3知过去阅历期承保的满期风险单位数为：等级1等级2地区112002300地区218002850 地区325002100当前的费率程度为单位：元：等级1等级2地区1150180地区2200240地区3300360试用风险单位扩展法计算平衡保费。.例5.3 答案按风险单位扩展法，将风险单位数与当前费率程度相乘，得到各风险单位的当前保费单位：元：等级1等级2合计地区1180 000414 000594 000地区2360 000684 0001 044 000地区3750 000756 0001 506 000那么平衡

20、保费为： 594 000 + 1 044 000 + 1 506 000 3 144 000 元.(2) 平行四边形法平行四边形法parallelogram method：假设风险单位在阅历期内均匀分布，根据简单的几何关系，将各日历年的已赚保费调整到当前费率程度。优点：计算简单、省时，尤其适用于满期风险单位不易得到时。缺陷：前提假设是签单业务和保费收入是均匀的。假设不符合假设，那么计算结果不正确。.例5.4设阅历期为2001年、2002年、2003年，每份保单保险期限均为12个月，设各年已赚保费为万元：费率调整幅度相对费率水平费率有效时期1999.7.1+11%11999.7.1-2000.6

21、.302000.7.1+12%1.122000.7.1-2002.6.30 2002.7.1+10%1.2322002.7.1-现在试用平行四边形法计算平衡保费。过去几年的费率调整情况如下：2001年2002年2003年120014001500.例5.4 答案将费率变化情况绘成以下图，其中横轴表示保单生效日期，纵轴表示保单曾阅历风险的比例。2000.1.12001.1.12002.1.12003.1.12004.1.120012002200311.121.232图1：不同时期的相对费率程度.例5.4 答案如，2001日历年的已赚保费由两部分构成：一部分左上三角形按相对费率1计算，其他部分按相对

22、费率1.12计算。设2001年承保的业务是均匀分布的，那么在2001年的已赚保费中，有12.5%的已赚保费左上三角形的面积0.5*0.5/20.125按相对费率 1 计算，另外的87.5% 应按相对费率 1.12 计算。11.12.例5.4 答案2001年平均相对费率程度为： 112.5%+1.1287.5%1.105当前相对费率程度为1.232，等程度因子为： 1.232/1.1051.11492001年已赚保费乘以等程度因子得到2001年等程度已赚保费： 1200 1.1149 1 337.9万元 .日历年度200120022003(1)各日历年的已赚保费120014001500(2)相对

23、费率水平为1的已赚保费占比12.5%00(3)相对费率水平为1.12的已赚保费占比87.5%87.5%12.5%(4)相对费率水平为1.232的已赚保费占比012.5%87.5%(5)各日历年的平均相对费率水平 （1(2)+1.12(3)+1.232(4) ）1.1051.1341.218(6)等水平因子 （1.232/(5) ）1.11491.08641.0115(7)各日历年的等水平已赚保费（=(1) (6)）1337.91521.01517.2上表得到各年的等程度已赚保费，将其相加即为整个阅历期的等程度已赚保费 4 376.7万元。.5.1.4 最终赔款的预测和趋势分析1. 最终赔款的预

24、测2. 损失趋势分析1. 最终赔款的预测无论是纯保费法还是损失率法，都需求根据阅历资料估计未来的损失。预测最终损失是费率厘定中最重要的部分，预测的准确度都将影响最终厘定费率的充分性。预测最终损失的方法：损失进展法/赔款进展法 loss development method。损失进展法经过流量三角形/损失三角形 (loss triangle) 进展计算。损失进展法损失开展法的根本假设：过去损失阅历会反复发生在未来，因此可从过去损失阅历预测未来的损失。其计算过程如下：(1)将过去损失资料按事故年度、保单年度或报告年度整理成流量三角形；(2)求各期之间的损失进展因子；(3)求各期至最终的损失进展因子

25、；(4)求各年度的最终赔款金额。知某险种累积已付赔款流量三角形如下：事故年进展年012345200010242350326441224516493920011469319045205185567620021421296042785718200312482768411320041540315220052405表5.1 累积已付赔款的流量三角形例5.5.1计算相邻两个进展年之间的已付赔款的增长比率，即损失进展因子。表5.2 累积已付赔款的进展因子事故年进展年0-11-22-33-44-520002.2949 1.3889 1.2629 1.0956 1.0937 20012.1715 1.4169

26、 1.1471 1.0947 20022.0830 1.4453 1.3366 20032.2179 1.4859 20042.0468 加权平均值2.15161.43551.24561.09511.0937选定值2.151.441.251.10 1.10 例5.5.2加权平均值的计算，是以第0个进展年的累积已付赔款为权数的加权平均数，即加权平均值，实践就是第1个进展年的累积已付赔款之和与第0个进展年的累积已付赔款之比，即最后一行的选定值，是根据加权平均值，以及思索已付赔款和经济变化后定出来的。例5.5.3根据选定值，计算出各个事故年的最终赔款。事故年进展年012345200010242350

27、32644122451649392001146931904520518556766244200214212960427857186290691920031248276841135141565562212004154031524539567462416865200524055171744693071023811262表5.3 累积已付赔款的预测值例5.5.2. 损失趋势分析获得最终赔款或索赔次数的预测值，还需求分析索赔频率或索赔强度的变化趋势，并运用变化趋势对预测值进展调整。反映损失变化的方法是对察看数据拟适宜当曲线。把期望赔款纯保费分解为索赔频率和索赔强度乘积，对索赔频率和索赔强度的变化趋势分

28、别分析。普通采用线性模型或指数模型来拟合数据 。线性模型指数模型.5.2 个体风险的费率5.2.1 表定费率 5.2.2 阅历费率 5.2.3 综合费率 5.2.4 追溯费率5.2.5 个体风险费率厘定方案设计5.2.1 表定费率个体风险的费率，指根据个体风险本身的风险特征所厘定的费率。表定费率(schedule rating)，是独一一种不直接反映个体风险索赔阅历的费率。它以为某些特征对个体风险的损失阅历有重要影响，但是这些特征没有在实践的损失阅历中得到反映。表定费率采用在根底费率上添加或减少一定百分比，其费率添加或减少的百分比普通不超越一定限制，增减的幅度通常需求承保人的阅历判别。个体风险

29、的特征费率增减幅度A. 建筑物的位置 (1) 建筑物内部的风险情况-5%+5% (2) 建筑物外部的风险情况-5%+5%B. 建筑物目前的状态和保护措施-10%+10%C. 内部设备的类型、目前状态和保护措施-10%+10%D. 建筑物所属类别-10%+10%E. 雇员的选拔、培训、监督和阅历-6%+6%F. 其他情况 (1) 医疗设施-2%+2% (2) 安全设施-2%+2%表5.4 美国保险效力局(Insurance Service Office, ISO) 1997年制定的普通责任保险表定费率5.2.2 阅历费率阅历费率(experience rating)，指根据个体风险的损失阅历厘定

30、其费率的一种特殊方式。阅历费率法将个体风险在以前时期的阅历损失和直接理赔费用与期望损失进展比较，经过这两项的加权平均估计个体风险的费率。损失阅历期：通常是25年。期限越短，对于影响损失阅历的变化越敏感。风险根底：选择反映风险的潜在损失和直接理赔费用。期望损失是风险根底的函数，反映了风险根底的大小。可信度：赋予阅历损失的权重，也称作信度因子。5.2.3 综合费率综合费率(composite rating)，对一切的保险责任在同一个风险根底上厘定费率，而不需求对不同的保险责任选择不同的风险根底。综合费率法主要用于为大而复杂的个体风险厘定费率。不同的保险公司可以运用各种不同的因子，包括赔款和直接理赔

31、费用因子、赔款趋势因子、风险趋势因子和期望赔付率因子等。美国保险效力局(Insurance Service Office, ISO) 的一个综合费率方案(1) 保险责任普通责任，医院职业责任，汽车第三者责任，汽车车体损失，玻璃单独破碎损失(2) 阅历期应有五年的阅历期，这个阅历期的截止日期要比综合费率运用日期提早半年或一年。假设数据有限，最短的阅历期也应有三年。(3) 损失阅历最终赔款和直接理赔费用的预测值H=ABCDE，其中：A=已报案的赔款和直接理赔费用；B=赔款和直接理赔费用的进展因子；C=从索赔根底到事故根底的转换系数；D=赔款和直接理赔费用的趋势因子调整到当前年份；E=反映其他各种变

32、化的因子。美国保险效力局(Insurance Service Office, ISO) 的一个综合费率方案续(4) 阅历期的调整保费：M=HIJ其中：H=最终赔款和直接理赔费用的预测值经调整；I=从事故根底到索赔根底的转换系数；J=期望赔付率含直接理赔费用。(5) 调整综合风险根底：N=PQR其中：P=阅历期的综合风险根底；Q=风险趋势因子；R=反映其他各种变化的因子。(6) 综合费率：MN其中：M=阅历期的调整保费；N=调整综合风险根底。(7) 最终保费：经审核的保险期间的风险根底综合费率5.2.4 追溯费率追溯费率(retrospective rating)，运用新费率有效期的阅历数据确定

33、保险本钱。追溯费率法在保险期限开场时确定一个预付保费，预付保费是对最终保费的一个估计值，可以根据阅历费率法确定。追溯费率的调整可以在保险期限终了后定期进展，调整次数可以事先商定，也可以由保险人和被保险人协商确定。5.2.4 追溯费率以某汽车车损险运用追溯法为例。该车损险保险期限一年，保单以事故发生为根底签署，在保险期限开场时从每个参保单位收取的预付保费根据期望保险本钱计算，并根据每个参保单位的期望车辆数进展分摊，对不同的车型不做区分。假设追溯保费的调整每年只进展一次，且根据保险期限开场后第18个月的数据进展调整，未规定保费调整的上下限。为便于计算，一切的损失阅历均赋予0.25的可信度。表5.5

34、 预付保费(1)(2)(3)参保单位期望车年数根据风险基础分摊的期望保险成本A35028000B50040000C120096000D85068000E2100168000合计5000400000注：(3)合计项400000是预付保费，根据(2)分摊给各个参保单位。表5.6 追溯费率(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)参保单位实际车年数根据风险基础分摊的实际保险成本截至第18个月已报案赔款和直接理赔费用根据损失经验分摊的实际保险成本可信度追溯保费A3002187516749180720.2520924B5003645831332338080.2535795C120087500823748

35、88830.2587846D8005833353207574110.2558103E2001458341407071518250.25147332合计48003500003243693500000.25350000阐明：(3)根据 (2)分摊； (5)根据 (4)分摊； (7)=(3)1-(6)+(5)(6)5.2.5 个体风险费率厘定方案设计确定费率厘定需求实现的各种目的。确定需求分摊的各种本钱工程。确定可以获得何种类型的风险根底和损失阅历数据。确定费率厘定方案是运用前瞻法、追溯法，还是它们的组合。假设运用前瞻法，确定是运用表定费率、阅历费率、综合费率，还是它们的组合。设计费率厘定方案中的表

36、定费率。确定损失阅历，包括损失阅历的类型、阅历期和根本限额等。5.2.5 个体风险费率厘定方案设计确定风险根底，包括风险根底的类型和时期等。确定可信度。确定保费调整的上限。对费率厘定方案进展审查，看能否满足预订目的和一个优良费率方案应具备的根本特征，并进展修正。运用样本数据检查费率厘定方案运转情况并进展修正。至少每三年对费率厘定方案进展一次检查，确保满足当前的需求。分类费率(class relativities)，也称为相对费率或级别费率，是将具有同一本钱的被保险人分为同一类或同一组，订立价钱。为简化分类费率的计算，普通取某一个类别的费率作为根底费率，将其他类别的费率与根底费率联络在一同，用类

37、别相对数来表示。类别相对数的两种方式：相加关系：根底类别的费率为0，其他类别的费率在此根底上添加一定的量。相乘关系：根底类别的费率为1，其他类别的费率是根底类别的假设干倍。5.3 分类费率例如：汽车保险中，某个地域多达50个区域。需求思索的风险要素有驾驶员和车辆的情况，每个要素又有假设干个类别。如：驾驶员的性别有两个类别：男、女；驾驶员的年龄有三个类别：青年、中年、老年。假设共有200个分类。通常假设50个区域和200个分类之间是相互独立的。那么假设选定了根底费率，那么确定200+50250个相对费率，一定比确定2005010000个费率耗费的时间少得多。分类费率类别相对数的计算方法1. 单项

38、分析法2. 线性回归法3. 边沿总和法4. 广义线性模型1. 单项分析法单项分析法(one-way analysis)，每次仅计算一个分类变量的不同程度所对应相对费率。如，在汽车保险中，仅思索车型和地域这两个分类变量，根据单项分析法，首先计算车型 的相对费率，然后再计算地域的相对费率。两种方法：纯保费法：根据最终赔款与风险单位数之比计算相对费率。赔付率法：根据各风险类别的阅历赔付率厘定相对费率。将各类别的等程度已赚保费调整到根底类别程度上，再分别计算阅历赔付率，各类别的阅历赔付率除以根底类别阅历赔付率得到相对费率。例5.6：损失率法知有三个费率类别，数据如下：类别对类别1的相对数均衡已赚保费经

39、验损失（包括分摊损失调整费用）11.0000 14,370,968 11,003,868 21.4500 9,438,017 6,541,840 31.8000 8,002,463 5,618,043 合计 31,811,448 23,163,751 试计算新的类别相对数。.例5.6：损失率法新的相对数的计算如下表：(1)(2)(3)(4)=(3)/(2)(5)(6)=(5)/(4)(7)类别对类别1的相对数均衡已赚保费基础费率水平的均衡已赚保费经验赔款赔付率对类别1新的相对数11.0000 14,370,968 14,370,968 11,003,868 0.7657 1.0000 21.4

40、500 9,438,017 6,508,977 6,541,840 1.0050 1.3125 31.8000 8,002,463 4,445,813 5,618,043 1.2637 1.6504 合计31,811,448 25,325,758 23,163,751 .例5.6：损失率法表中计算如下：列(1)：三个类别，其中类别1为根底类别。列(2)：当前各个类别关于根底类别的相对数。列(3)：经过风险扩展法或平行四边形法得到的阅历期内的平衡已赚保费。列(4)：各个类别的平衡已赚保费在根底费率程度下的值，等于(3)/(2)。.例5.6：损失率法列(5)：知的各个类别的阅历赔款。列(6)：各个

41、类别根底费率程度下的阅历损失率，等于(5)/(4)。列(7)：各个类别关于根底类别的新的相对数，计算方法：类别2关于类别1的新的相对数=1.0050/0.7657=1.3125类别3关于类别1的新的相对数=1.2637/0.7657=1.6504.2. 线性回归法最常见的多元回归模型是加法线性回归模型，即线性回归法，将因变量索赔频率、索赔强度、纯保费等表示为假设干个自变量分类变量的线性组合 。对第i份保单，有：yi：第i份保单的因变量取值；xji：第i份保单的第j个自变量的取值；j ：为常数，表示第j个自变量对模型的奉献；i ：随机误差项。令下式最小进展求解：例5.7：线性回归法某保险公司承保

42、的400份汽车保险单根据两个变量“地域和“车型分组的结果见表5.4表5.6：类别地区A地区B地区C合计车型1805220152车型21366024220车型3481628合计22012060400表5.4 各组的风险单位数保单年数，nij.例5.7：线性回归法类别地区A地区B地区C合计车型184007020360019020车型2173407200459029130车型3825114026404605合计26565153601083052755表5.5 各组的赔付本钱千元，Cij.例5.7：线性回归法类别地区A地区B地区C合计车型1105.00135.00180.00125.13车型2127.

43、50120.00191.25132.41车型3206.25142.50165.00164.46合计120.75128.00180.50131.89表5.6 各组的阅历纯保费yij.例5.7：线性回归法根据下式对各组的纯保费进展拟合：为简便，令那么有：.例5.7：线性回归法为保证参数估计结果的独一性，令：解方程组，可得各组的相对费率：根据相对费率，得到各组的纯保费拟合值见表5.7。 如：“地域A与“车型1对应的纯保费为：131.89-6.01-11.03114.85.例5.7：线性回归法类别地区A地区B地区C车型1114.85122.50173.08车型2123.97131.62182.20车型

44、3129.01136.66187.24表5.7 纯保费的拟合值.3. 边沿总和法边沿总和法(marginal total method)，根据保费和赔款的边沿总和相等的原那么厘定相对费率的方法，也称为平衡法(balance principle method)。为简便起见，假设只需2个分类变量：令纯保费边沿总和等于阅历赔付本钱：由如下递推公式求出相对费率：例5.8：边沿总和法运用边沿总和法对例5.7进展拟合。令地域的初始相对费率为：第一次迭代结果为：.例5.8：边沿总和法各次的迭代结果见表5.8。可以看出，迭代5次即可获得较称心结果，“车型和“地域两个分类变量的相对费率为：.表5.8 边沿总和法

45、的各次迭代结果第一次第二次第三次第四次第五次车型11.000000.954530.954180.954170.95417车型21.000001.024481.024121.024051.02405车型31.000001.047781.051731.052221.05228地区A0.915550.916040.916300.916330.91633地区B0.970520.974690.974760.974770.97477地区C1.368591.358571.357501.357371.35735.例5.8：边沿总和法由此得到各组纯保费的拟合值见表5.9。如：“地域A和“车型1对应的纯保费为：

46、131.890.95420.9163=115.32类别地区A地区B地区C车型1115.32122.68170.83车型2123.76131.66183.34车型3127.17135.29188.39表5.9 边沿总和法的纯保费拟合值.4. 广义线性模型广义线性模型(generalized linear models，GLM)，假设因变量来自于指数型分布族，方差随均值而变化，自变量经过线性相加关系对因变量期望值产生影响。其假设为：(1)随机成分，因变量或误差项的概率分布。因变量Y的每个察看值Yi相互独立且服从指数型分布族中的一个分布。(2)系统成分，自变量的线性组合，表示为：(3)结合函数g，单

47、调可导，它建立了随机成分与系统成分之间的关系，即4. 广义线性模型指数型分布族，其概率密度函数可表示为：其中：(1) a()大于零，且为延续函数，通常的方式是/。(2) b(i)的二阶导数存在且大于零。(3) c(yi, )与参数i无关。指数型分布族的常见分布：正态分布、泊松分布、二项分布、伽玛分布、逆高斯分布等。4. 广义线性模型联结函数恒等对数倒数Logit表5.10 常见的结合函数例5.9：广义线性模型运用广义线性模型对例5.7进展拟合。假设纯保费服从伽玛分布，运用对数结合函数，那么估计纯保费的广义线性模型为：运用SAS软件求得参数估计值：由此得到各组纯保费的拟合值见表5.10。.例5.

48、9：广义线性模型类别地区A地区B地区C车型1131.00136.08163.49车型2121.57126.28151.71车型3165.44171.86206.46表5.10 广义线性模型的纯保费拟合值.5.4 信度实际5.4.1 信度实际概述 5.4.2 贝叶斯模型 5.4.3 古典信度模型 5.4.4 Bhlmann信度模型 5.4.1 信度实际概述信度实际的思想：在数据资料比较缺乏的时候，必需自创其他相关资料进展损失数据的预测。如：给一个有10辆汽车的车队厘定费率时，需求他们的出险记录。该车队是一个刚成立5年的新车队，过去5年中，该车队每年的平均损失金额是16万元。但是在整个社会中，一切

49、车队的年平均损失金额是25万元。那么厘定该车队费率时应采用哪个数据更加合理呢？5.4.1 信度实际概述答案能够会有三个：答案1：选择16万元，由于这个数据与我们要估计的数据关联性最大；答案2：选择25万元，由于这个数据的样本最合理。答案3：两者都思索，将两者综合起来，即纯保费= Z16+( 1Z )25。但是其中的系数 Z 应该为多大呢？这里的系数 Z 就称为信度credibility，也称为信度权重、信度因子或可信因子，0 Z 1。5.4.1 信度实际概述信度：指精算师在厘定过程中以为某特定实体的阅历数据所具备的可靠性。假设一组阅历数据由于数据量太小或者所包含的信息缺乏以到达“完全可信，但又

50、具有一定的可信性，那么可对这种数据给予一定的信度，然后再结合其他资料进展综合计算。信度实际：研讨这种信度加权过程的实际，包括信度权重公式的推导，以及对公式中出现的参数进展估计等。只需正确选择信度Z，才干保证调整后的保费接近于真实的风险程度。当Z1时，称为完全信度。此时只需根据实践损失数据计算保费，阐明实践损失数据提供的信息相当充分，足以获得正确的估费。当Z0时，那么只能基于类似风险的数据。当0Z1时，称为部分信度。此时需求研讨如何合理确定Z值。5.4.1 信度实际概述信度实际萌芽于20世纪20年代，最早的信度实际被不测险精算师用于计算劳工赔偿保险费率。信度实际有两种方法：古典信度模型：也称有限

51、动摇信度模型，试图控制数据中的随机动摇对估计值的影响。最小平方信度模型：也称为最准确信度模型，试图使估计误差尽能够的小。 Bhlmann信度模型 Bhlmann-Straub信度模型5.4.1 信度实际概述信度实际在精算科学中的运用分为两方面：横向运用估计某保险人、某风险类型或某个区域的索赔频率、索赔额或总损失时，假设最相关的数据不充分，那么将该数据与从更广泛的群体中得到的辅助性数据加以求和。辅助性数据可由其他风险类别、地域或其他保险人的阅历得到。纵向运用主要是时间序列，将序列本身早期的数据作为辅助数据，与最新的察看值作加权平均，得到所需的估计值。5.4.1 信度实际概述5.4.2 贝叶斯模型

52、1. 泊松伽玛模型2. 正态正态模型1. 泊松伽玛模型要预测某特定风险在下一年的损失发生次数的期望X，假设每年的损失发生次数服从Possion() ，未知，服从Gamma(,)。因此可以把伽玛分布看作是的先验分布。设该特定风险在过去n年的损失发生次数的阅历数据为x1,x2,xn记作x，xi独立同分布，那么取决于，当一定时，服从Possion()。的先验分布为Gamma(,)。假设采用平方损失函数，那么X的估计值为后验分布的期望。又知道的后验分布是故的估计值为：1. 泊松伽玛模型.可以看到：假设n=0，即没有有关特殊风险的阅历数据，那么Z0。假设n非常大，那么Z趋向于1，只需求特殊风险的阅历数据

53、即可。假设很大，表示的方差很小，类似风险的方差很小，数据可用度高，从而Z很小。写成信度公式为：其中，信度 。1. 泊松伽玛模型.例5.10设某险种每年的损失发生次数服从Possion()，知服从Gamma(100,1)。该险种在过去10年内损失发生次数的阅历数据见下表。12345678910144144154153152153155154152153.在泊松-伽玛模型中，信度因子 那么当n=1,2,10时，计算得到不同的Z值，从而预测损失发生次数12345678910144144154153152153155154152153Z0.500 0.667 0.750 0.800 0.833 0.857 0.875 0.889 0.900 0.909 X122129141142144145148148147148.当n逐渐增大时，信度因子Z也逐渐增大，预测值与实践值越来越接近。.假设服从Gamma(500,5)，重新计算并比较，可以发现，由于Ga