函数的零点与方程的根

1、函数的零点与方程的根阅读教材第8688页，并答复以下问题：1函数零点的概念；2如何求函数的零点？3零点与函数图象的关系怎样？讲 授 新 课 对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点.函数零点的概念：判别式方程ax2bxc0的根函数yax2bxc的零点000 二次函数的零点如何断定?对于二次函数yax2bxc与二次方程ax2bxc0 ，其判别式b24ac.两不相等实根两个零点两相等实根一个零点没有实根0个零点方程f (x)0有实数根 函数yf (x)的图象与x轴有交点 函数yf (x)有零点探究2 零点与函数图象的关系怎样？探究1 如何求函数的零点？ 根据函数零点的

2、定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)0的根因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)0是否有实根，有几个实根说明：例1.求以下函数的零点：解：（1）令则即得故函数 的零点为1，1，2.（2）令则即故函数 的零点为3.【评析】(1)函数y=f(x)的零点、方程f(x)=0的根、函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标，本质是同一个问题的三种不同表达形式，方程f(x)=0根的个数就是函数y=f(x)的零点的个数，亦即函数y=f(x)的图像与x轴交点的个数.(2)求函数y=f(x)的零点就是求方程f(x)=0的根；反之，求方程f(x)=0的根就是求函数y=f(x)的零点.探究3

3、观察二次函数f(x)x22x3的图象， 如右图，我们发现函数f(x)x22x3在 区间2, 1上有零点. 计算f(2)f(1)的乘积，你能发现这个乘积有什么 特点？在区间2, 4上是否 也具有这种特点呢？ xyO 12343124122134可以发现，函数在区间(2 , 1)内有零点它是方程的一个根.同样地，函数在(2 , 4)内有零点它是方程：的另一个根.xyO 12343124122134结 论： 假设函数yf(x)在区间a, b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a, b)内有零点，即存在c(a, b)，使得f(c)0, 这个c也就是方程f

4、(x)0的根.1函数的零点是一个点吗？提示：函数的零点并不是指一个点，而是一个自变量x的值，它使得函数值yf(x)0，即方程f(x)0的根2在(a，b)上有零点,一定有f(a)f(b)0.答复以下问题：3.连续函数yf(x)在区间a，b上有f(a)f(b)0,说明f(x)在(a，b)上有唯一零点?提示：不一定如图：xyO假设f(x)的图象在a，b上连续，且f(a)f(b)0，那么f(x)在(a，b)上不一定没有零点 (年高考天津卷)函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是()A(2，1)B(1,0)例2.C(0,1) D(1,2)解： f(x)2x3x在R上为增函数且 f(2)2260，f(1)2130，f(0)2010，f(1)2350，f(2)2260， f(1)f(0)0，故函数f(x)在(1,0)上有零点B【点拨】说明函数的单调性,也就说明了函数零点的唯一性例3 求函数f(x)lnx2x6的零点个数.解：函数f(x)lnx2x6在定义域上图象连续不断且单调递增， 且函数f(x)lnx2x6在定义域内只有一个零点.方法二：求函数f(x)lnx2x6的零点个数即是求方程lnx2x6=0的解的个数， 画图可知这两个函数图象只有1个交点.函数f(x)lnx2x6零点