公开课241平面向量数量积的物理背景及其含义

1、公开课241平面向量数量积的物理背景及其含义数乘定义： 一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：(1) |a|=| |a|(2) 当0时,a 的方向与a方向相同； 当0时,a 的方向与a方向相反； 特别地，当=0或a=0时, a=0运算律： 设a,b为任意向量，,为任意实数，则有： (a)=() a (+) a=a+a (a+b)=a+b向量的夹角OABOABOAB已知两个非零向量 和 ，作 ， ，则 叫做向量 和 的夹角OAB问 题sF 一个物体在力F 的作用下产生的位移s，那么力F 所做的功应当怎样计算？为此，我们引入向量“数量积的概念。 功是一个标量我们一种启

2、示，能否把“功看成是这两个向量的一种运算的结果呢？其中是 F 与 s 的夹角 .W = |F|s| cos问题：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；平面向量的数量积的定义规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 1两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定. 3 在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是 0，180说明： 已知非零向量 与 ，我们把数量 叫作 与 的数量积（或内积），记作 ，即规定 （2） a b中间的“ ”在向量的运算中不能省略，也不能写 成ab ，a

3、b 表示向量的另一种运算（外积）思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？当0 90时 为正；当90 180时 为负。当 =90时 为零。数量积符号由cos的符号所决定问题：向量的数量积运算与实数同向量积的线性运算的结果有什么不同？实数同向量积的线性运算的结果是向量两向量的数量积是一个实数，是一个数量当a与b同向时，abab；当a与b反向时，abab；aaa2a2或a .问题：设a与b都是非零向量，若ab，则ab等于多少？反之成立吗？ ab ab0问题：当a与b同向时，ab等于什么？当a与b反向时，ab等于什么？特别地，aa等于什么？ 问题：ab与ab的大小关系如何？为什

4、么？ abab 问题：对于向量a，b，如何求它们的夹角？ 向量数量积的性质例 、在ABC中， 求练习:例 、已知|a|=5，|b|=4，求ab a与b的夹角=120平面向量数量积的几何意义向量a在b方向上的投影是什么？ 投影一定是正数吗？| b | cos叫向量b 在a 方向上的投影OABab，过点B作垂直于直线OA，垂足为 ，则| b | cosacos说明：2投影也是一个数量，不是向量。1OABabBOAabOABab为锐角时，| b | cos0为钝角时，| b | cos0为直角时，| b | cos=0当 = 0时投影为|b|当 = 180时投影为-|b|.问题：根据投影的概念，数量

5、积ab=a|bcos的几何意义是什么？ 数量积ab等于a的模与b在a方向上的投影bcos的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影acos的乘积.练一练：交换律：对数乘的结合律：分配律：数量积的运算律下面我们证明运算律3：分配律：.OCAA1BB1想一想： 向量数量积不满足结合律 .向量的数量积满足结合律吗？说明：即：成立吗？应用举例、 、 常用公式例、练习1、练习1、利用平面向量数量积求解长度问题变式：利用平面向量数量积求解夹角问题 例： 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a 5b垂直，a 4b与7a 2b垂直，求a与b的夹角课堂小结：1、向量的数量积的定义已知两个非零向量 与 ，它们

6、的夹角为，我们把数量 叫做 与 的数量（或内积,点乘），即规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 02、向量数量积的几何意义3、数量积运算律交换律数乘结合律分配律课堂小结：4、向量数量积的性质5. 常用a 求向量的模.常用求向量的夹角.1、有四个式子：其中正确的个数为 A、4个B、3个C、2个D、1个2、都是单位向量，以下结论正确的选项是 A、B、C、 D、3、有以下四个关系式：，其中正确的个数是A、1B、2C、3D、4DBA作业4.判断以下命题正确与否：1假设 a =0 ，那么对任一向量 b ，有 ab=0 。 2假设 a 0 ，那么对任一非零向量 b ，有 ab0。3假设 a 0 ，ab = 0 ，那么 b = 0 。4假设 ab = 0 ，那么 a、b