专题2.2与三角形相关的范围问题-玩转压轴题突破140分之高三数学选填题高端

1、A.一方法综述与三角形相关的范围问题同样是高考命题的热点问题之一，要充分利用解三角形知识，正余弦定理的边角转化策略以及结合基本不等式、方程与不等式思想、转化与化归思想求解二解题策略类型一结合基本不等式求解问题【例1】在ABC中,若a2b2=2c2,则角C的最大值为2B.C.D.6433【答案】C【指点迷津】本题考查了余弦定理及基本不等式的应用，利用余弦定理表示出cosC，将得出的关系式利用基本不等式变形求出cosC的最小值，根据C为三角形的内角，求出C的最大值【举一反三】1、【2018天津市耀华中学模拟】在ABC中，如果边a，b，c满足a1bc，则A（2A.一定是锐角B.一定是钝角C.一定是直

2、角D.以上情况都有可能【答案】A）42b【解析】已知不等式两边平方得a21c，利用余弦定理3b2c22bcb2c2a2osA2bcbc2b2c242bc8bc6bc2bc1，8bc2A为三角形的内角，0A60，即A一定是锐角故选A【2、2018江西省赣州市上高二中模拟】在ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若b2sniC2a，atnBb且csinAsinB【答案】432，则ab的最小值为_sin2BCsinBsinC，bc2，则a的取值范围是_3、【2018河南省漯河市高级中学模拟】在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知124【答案】3,21，1cosBCBC1【解

3、析】sin2sinBsinCsinBsinC，224得2cosBC4sinBsinC1，2cosBC1，cosAcosBCb2c2a2bc22bca21bc2则cosA，得bc4a22bc2bc2212，解得a3，又abc2，a的范围是3,2。类型二利用消元法求解问题【例2】【2018重庆市第一中学模拟】在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2accosBbcosC，b3，则ac的取值范围是_【答案】3,23【指点迷津】利用正弦定理边化角，利用角的关系消元，利用辅助角公式求范围【举一反三】21、在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2b242c，ab4，则的最小值是_

4、sinCtan2Asin2B224【答案】2【解析】a2b242c2，ab4，cosCa2b2c24222ab242,C3444,BA,sin2Bsin2Acos2Atan2Asin2Btan2Acos2A32cos2A322,C0,1cos2AsinC32412cos2A2222当且仅当时成立.tan2Asin2Btan2Acos2A3222cos2A2、【2018浙江省镇海中学模拟】圆x2y21上任意一点P，过点P作两直线分别交圆于A，B两点，且APB60，则PA2PB2的取值范围为_ABP中，由正弦定理得：PA2r2,设PBA，0,120【答案】3,6【解析】在PBsinPBAsinPA

5、BPA2PB24sin24sin212032sin223sincos43sin2cos242sin26又APB60，所以PAB120PBA120，PA2sin,PB2sin120.0,2,.42sin23,6.2376666答案为：3,6.3.【2018江苏省丹阳高级中学模拟】在锐角三角形ABC中，9tanAtanBtanBtanCtanCtanA的最小值为_【答案】25mnmn1mnmnmn1mnmn1mn1mn9491mn4mn1mnmn1mnmnmn2911mn9949tanAtanBtanBtanCtanCtanA94（）mn1mn1mn13291mnmn13+1225，当且仅当4mn

6、91mn4mnmn15，即mn时取等号.5【答案】223,6类型三与三角形的周长有关的最值问题【例3】【河南省豫南豫北2018届高三第二次联考】已知锐角ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，其外接圆半径为23,b2，则ABC的周长的取值范围是_3【指点迷津】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，从而求出范围或最值，或利用余弦定理以及基本不等式求范围，从而得最值.【举一反三】1、【2018四川省宜宾市模拟】在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且co

7、s2B3cosAC20，b3，那么ABC周长的最大值是A.3B.23C.33D.43【答案】C【2、2018广西联考】在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，则当角B取得最大值时，三角形的周长为（）A.23B.22C.3D.32【答案】Ac，若bc1，b2ccosA0，【解析】在ABC中，由正弦定理得：sinB2sinCcosA0cosAA为钝角cosAcosC0，23由sinAcosCcosAsinCcosAsinC，可得tanAtanC，tanC0，b2c02=3，3tanC23tanB=tanAtanC=2tanC=1tanAtanC13tan2C1tanC23当且仅当tanC=

8、33时取等号B取得最大值arctan时，336Acb1，CB236=3a+b+c=2+3故答案为：2+3a=21cos类型四与三角形面积有关的最值问题【例4】【2018湖北省襄阳市四校联考】在ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，若bsinCcosAsinAcosC，且a2，则ABC的面积的最大值为_21【答案】21要熟练地对所得中间结论的变形，如在本题中要在1cosA1的基础上在利用正弦定理得到sinAcosA。【指点迷津】本题综合性较大，且突破了常规性，即在条件中只在等式的一边给出了三角形的边，所以在解题中b2sinB对于最值的处理往往要考虑到基本不等式的运用，运用不等式时，不要

9、忘了基本不等的使用条件。【举一反三】1、【2018山东省德州市模拟】在ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，ac4,b2cosAacosB1，则ABC面积的最大值为_【答案】32、ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，面积的最大值是_【答案】21c，已知abcosCcsinB，且b2，则ABC【解析】根据oacbsC由c正B弦定理可得，sinAsinBcosCsinCsinB,sinBCsinBcosCcosBsinC，可得tanB1,B45，ABC中，b2,B45,根据余弦定理b2a2c22accosB，可得a2c22accos454，化简可得a2c22ac4，a2c22a

10、c，4a2c22ac222ac，由此可得ac442222，当且仅当ac时等号成立，ABC面积S122saicnB4ac442212，综上所述，当且仅当ac时，ABC面积S最大值为21，故答案为21.3、如图半圆O的半径为1，P为直径MN延长线上一点，且OP2，R为半圆上任意一点，以PR为一边作等边三角形PQR，则四边形OPQR面积最大值为_.【答案】2534类型五与三角形解的个数有关的最值问题【例5】在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，AC2B,bsinA6sinB，若符合条件的三角形有两解，则b的取值范围是_【答案】33,6【解析】因为AC2B,ABC，所以B3，又bsinA6s

11、inB，则ab6b，则a6，由asinBba，所以33b6.【指点迷津】本题主要考查了三角形问题的求解，其中解答中涉及到正弦定理在解三角形中的应用，三角形的内角和定理等知识点的应用，试题比较基础属于基础题，解答中熟记三角形的正弦定理的边角互化和合理应用是解答的关键.【举一反三】1、【2018山东省济南外国语学校模拟】在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知A300,b2，如果这样的三角形有且只有一个，则a的取值范围为_.【答案】a1或a2【解析】试题分析：由题意得，在ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，由A30,0b2，所以bsinA1，所以当ab2或a1时，此时满

12、足条件的三角形只有一个2、已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边，已知A600,a3,bx，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是_.【答案】3,23，在边AC上存在一点D，满足ADDB，作DEAB，E为垂足，若A为ABC三强化训练1在ABC中，C的最小内角，则DEBC的取值范围是_【答案】4,233,32,32【答案】tanBtanAtanCB的取值范围是,故答案为2.【2018江苏省常州市武进模拟】ABC中，若tanA、tanB、tanC依次成等比数列，则B的取值范围为_.，【解析】由已知得tan2BtanAtanC，则tanA0tanC0tanAtanC1tanAtan

13、Ctan2B1tan3BtanBtanAtanC2tanAtanC2tanB即tan3B3tanB，tan2B3tanB3323.已知_.【答案】分别为内角的对边，成等比数列，当取最大值时，则的值为tanBsin2A,若tanA0，则tanB0,A,B均为钝角，不可能，故tanA0,tanB2tanA333.4.【2018河南省豫北豫南名联考】在ABC中，若sin2AB2sinB，则tanB的最大值为_【答案】33析】os【解s2incAsBcoA，BsinBB2cos2Asin2AcosB，sin2AcosA2tanA2cos2A3sin2Acos2A3tanA21，tanB的最大值为，故答

14、案为3tanA213335、已知平面四边形ABCD是由ABC与等腰直角ACD拼接而成，其中ACD90，ACCD，AB3BC1，则当点B到点D的距离最大时，角B的大小为_5【答案】34,0，Acos,sin，则Dsin,cos，【解析】如图，B533553sincossincossin，所以BD210281025252281033333334所以当33时，BD最大，即角B的大小为。44os6.【2018河北省衡水第一中学模拟】在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2cB2ab，若ABC的面积为S【答案】334c，则c的最小值为_【7、2018江西省南城县第一中学模拟】在ABC中，角A

15、，B，C的对边分别为a，b，c，且满足116bcos2Bsin2B1，若BCAB3，则的最小值为_2ac1622【答案】3【解析】由cos2B1sin2B1得sinBcosBsin2BtanB1,B24，得由BCAB3AC3，所以b2a2c22accosBa2c22ac92ac2acac92216221622因此16b484816b22，即的最小值为acac93ac38.【2018云南省师范大学附属中模拟】在ABC中，D为AC上一点，且AD2，DC1，BD为ABC的角平分线，则ABC面积的最大值为_.【答案】3nisnisb9.已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边，a=2，且2bnisABc面积的最大值为C，则ABCA.3B.2C.22D.23cosA,A,又b2c2bc42bcbcbc,bc4,当且仅当bc2时取等号,此时ABC为正三角形,则ABC的面积的最大值为S1【答案】A【解析】由正弦定理得:2babcbc,即b2c2bc4,由余弦定理得:b2c24bc12bc2bc2313bcsinA43,故选A.222【10、2018河北省衡水中学模拟】已知若，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B的内角的对边分别是，且，【11、2018江西省南昌市莲塘一中模拟】在锐角三角形中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，设B2A，则ab的取值范围是（）3