2022年使用变分法的理由

1、在热力学系使用变分法的理由及结果摩尔熵分布函数” 的导出摘 要：当热力学体系达到平稳态时,具有“ 无耗散” （ 即“ 无熵产” ）的特点；本文就依据这一“ 平稳态原理” （“ 熵增原理” ）使用了“ 变分法” 进行“ 泛函分析” ；导出了“ 欧勒方程” 的解 “ 比熵平稳方程”,仍给出了“ 即使在外场中处于密度不匀称的无熵产状态,类似于最大熵状态时,体系仍旧比熵分布”这个新结果； 同时,这都由于大胆地在“ 热统” 领域引进了 “ 间接变分法” 的结果,这增强了对体系“ 熵函数” 的探讨才能；最终仍 作了一些展望；1引言如有一绝热封闭的刚性壁容器,内盛有一摩尔单原子抱负气体,在桌面上静置了一百年

2、； 试问该容器内不同高度上的气体密度、压力、温度这三个热力学参量沿着高度的分布情形到底是怎样的？依据经 验, 假如容器处在无外力场中且保持惯性运动状态 , 就容器内气体必 将有 P 0,0 ,T 0 , 这只是体会熟悉；对此,笔者始终心存 余悸,在惯性空间,到底当热力学体系达到平稳态时,虽然可以确定 体系的熵达到了极大值,但体系的密度、温度、压力是否真的会匀称 分布,这决不能满意于主观臆测, 必需建立相应的数学模型进严格的 1 规范的推导求证；波尔兹曼早就用统计力学的方法推导出,无论体系是否处在外力场中,体系的平稳态都将保持温度匀称分布的状态；所以教科书将温 度匀称分布作为物系达到平稳态的标志

3、；笔者 试图另辟蹊径,依据 “ 最大熵原理”借用“ （间接）变分法” （破解相应的“ 欧勒方程” ）第一解出惯性空间的热力学平稳 态体系的参量分布函数,接着再导出当存在外场（即当 g 0）时,热力学平稳态体系的参量分布函数 2对热力学体系尝试“ 变分法” 的理由其实上面的问题可以归结为,当体系的“ 熵产生率” 等于零或曰 热孤立体系的总熵不再增长时（最大熵原理）,惯性空间中的热力学体系各点介质的比熵（即某小局域的熵与该小局域所含介质的摩尔数的比值） 将保持什么样的关系问题； 或曰热力学参量的分布函数 将是怎样的？这个问题始终困扰着笔者 久思不得其解；思来想去 一筹莫展（无从下手）；经过长期的深

4、思 笔者突然联想到人们在 寻求极限条件下的尝试函数,经常运用“ 变分法” 进行泛函分析 譬如 在力学中为了寻求最快捷的下滑轨道方程（函数）,使用了“ 间接变分法” ,求解“ 欧勒方程” ；也就是说欲使某一滑块从某一点下滑到另一点需要的时间最短,其路径（轨迹曲线）的方程（函数）是怎样的（即“ 捷线问题” ）？“ 捷线问题” 与本文的问题颇为相似；本文的问题就是指一摩尔抱负气体在特定的绝热封闭的刚性容器 中经过长期静置,试问其最终死寂（安静）状态时的密度、温度、压2 力的分布函数到底是怎样的？在物体下滑轨道例子中要求其下滑时 间最短的那一条轨道, 类似地在此热力学死寂态例子中是要求体系的 总熵不再

5、增加（熵值最大） 的那个状态,而热力学体系的行为必定遭 受 “ 最大熵原理”（熵增原理） 的强行支配； 这就是本课题使用 “ 变 分法” 进行泛函分析的规律基础；其程序是将体系的总熵（体系各局 域的熵的积分）作为“ 泛函” ,接着争论该泛函的变分问题（密度、温度分布函数作微小的变动,泛函即体系的总熵也随之作微小的变动,其比值的极限趋于零）,从而获得“ 欧勒方程” ；最终从“ 欧勒方程” （微分方程）解出热力学体系达到无熵增状态（平稳态）时 的密度、温度分布函数； 这就是运用变分法寻求热力学死寂态参量分 布函数的理由和思路（基本思想）下面就以抱负气体为例,本文试从“ 间接变分法” 中的“ 欧勒方

6、程”2 第一解出惯性空间热力学体系达到平稳态时必定听从的热力学平稳条件,最终依据 无论有无外场, 体系都终将死寂 （达到无熵增）状态的“ 平稳态原理”系的参量分布函数；2.1 抱负气体系统,进一步导出：在重力场中死寂态的热力学体为了简便,第一考虑静置于匀强力场中的绝热刚性壁柱形封闭容 器所盛的 n 摩尔 抱负气体 系统,其中封闭容器内的摩尔数 n ,可用下 式定积分表示h,z 为柱Nz0zA d zn11 式中 n 为体系所拥有介质的摩尔数, A 为柱形容器的底面积3 高方向的变量 , z 为气体数密度沿着高度的分度函数 , h 为容器的顶部高度；在这里体系所拥有的内能（对于抱负气体系统）即为

7、 热能是否始终为定值呢？答案是否定的！由于体系在自发地趋近于无 “ 熵产” （死寂状态）的过程中,不免因其密度分布函数的变化而转变体系质心的高度, 即转变了体系在外场中的势能,同时由于粘滞性耗散（生热）；故体系的热能在死寂之前并不是守恒的常数；但这并不能阻挡“ 有限源体系” 归宿于死寂状态的进程,由于体系在恒定外场中的势能不行能无休止地转变下去；再加上粘滞性耗散, 体系总是要死寂的（即必将终止一切形式的宏观运动）,即该体系必将达 到无“ 熵产” 的死寂状态；即处在外场中的绝热（刚性壁）封闭的久置着的热力学简洁体系也必将达到死寂的状态；用lns,T表示z高度层的“ 摩尔熵” ；“ 摩尔熵s,T”

8、 表达式为RcvlnTs 3 ,其中, R 为气体普适常数,的总熵Sz,Tz为c 为等容摩尔热容量；所以该体系所拥有Sz,Tz0hzs,TA d z22.2 “ 变分问题” “ 欧勒方程”S利 用 密 度 、 温 度 在 位 形 空 间 的 分 布 函 数z、Tz的 泛 函z,Tz之极值点（或拐点,由于并没有考察欧勒方程的二阶导数如何）来确定“ 极（值）点（或拐点）” 的密度、温度分布规律,也就是寻求由“ 欧勒方程” 所蕴涵的未知函数Szz、Tz与自变量参考高度z的依靠关系；我们必需第一明确泛函,Tz就是体系的总4 熵；所谓泛函达到极值点（或拐点）,就是在该种特定的情境下,体系的总熵 S z

9、, T z 随着介质密度分布、温度分布的“ 自然调整” 达到了极点值 （或拐点值） ；故必需以“ 无熵产状态”作为“ 变分问题”的物理基础； 同时仍应明确体系的总熵 S z , T z 是由遍及整个体系所占“ 区域” （在此为三维欧氏几何空间）的定积分来确定； 2 式为体系的总熵密度、 温度分布函数的泛函, 其中 1 式就为“ （该）变分问题” 的约束条件；随着体系密度、温度分布函数 z、T z 的“ 自然调整” 自发地趋向“ 死寂” 态,体系的总熵（即密度的泛函 S z , T z ）也将随之而变；当该体系的总熵在特定的情境 即在第 1 式所示的约束条件下 取得极点值（或拐点值）时；本课题的

10、变分表达式为：Sz,Tzs0Nz02由其得欧勒方程组为：F03F0T这就是简洁情形时的“ 欧勒方程组” 的一般表达式；其中 F 由“ 拉格朗日乘子法”S z , T z s 0N z 4 获得 F s s 0；这里 s 为待定“ 乘子” （常数）；亦即s,Ts00 4 Ts,Ts005 这就是本课题将要使用的“ 殴勒方程组” 的详细表达式；值得指出的是,这个“ 殴勒方程组” 好像没有充分的条件保证其必属于最大熵状态, 由于本文只关怀绝热封闭的抱负气体系统达到定熵状态即“ 死寂态” 时的温度与密度之间的依靠关系；本文并不关怀也无法知道更完全没有必要知道： 当绝热封闭的抱负系统达到死寂状态时体系的

11、总熵到底是否会达到极大值,或许会停留在“ 拐点” ；只知道其必定达到定熵的死寂状态,这已完全满意了变分法的要求；由于“ 间接变分法” 中的欧勒方程仅仅明确了其一阶微商等于零,并没有给出其二阶微商到底如何； 所以我们仅仅凭借欧勒方程式无法判定该热力学体系的死寂状态到底是否属于最大熵状态,但可以确定其死寂状态必定属于“ 定熵” 状态；2.3 均熵方程的推导及其争论由4式亦可得：s0s0As5Tss0s0BT解该微分方程组得一组解,0s s 10s s 2这里有两个解,第 1 个解,说明 平稳态体系的“ 比熵” 保持一个常数 s ；而第 2 个解就说明“ 比熵 s ” 与当地密度 成反比；到底比熵函

12、数应当挑选哪一个？如挑选其中的第 2 个解 s s0就必有：6 VSVVsdvVVs0dvVNs0V00006均表示常数, V 就表示系统体由于VdvN0s 与s 表示 “ 比熵” 即“ 摩尔熵” ；积；大家知道 当热力学系统的体积作绝热可逆胀缩的过程其总熵 S 必 然保持不变, 即与系统的总体积 V 的大小无关 S 0,这就严苛地导 V 出了积分常数 必需等于零；这就是只能挑选第 1 个常数解的理由,0s s 7即比熵s 只能是个常数；s08这第7 式亦可称谓“条规律；” ；这就是外场中物系必需遵循的一3均熵方程的理论意义从很多方面可以看出人们已经离不开7 式：1,在推导抱负气体中的声学方程

13、时需要第 7 式（即绝热可逆方程）5 ；2,在流体热力学中争论“ 定熵流淌 6 ” ,也就是假定到处比熵相等；3,大气科学的“ 多元大气” 模型中运算出的温度梯度也需要假定在不同的高度大气的比熵相等 7 ；4,在争论多电子电子云中也需要假定电子云7 的比熵到处相等 8 ；5、利用文中的第 8 式再结合静力平稳条件即可导出 可压缩 流体力学中的“ 流体静力学方程 即 比焓加比势能等于常数 ” ,如结合的是“ 达兰伯原理” 就可导出“ 可压缩无粘滞流体动力学方程 即比焓加比势能再加比动能等于常数 ” 全部这些都说明, 人们早就自觉不自觉地利用均熵方程,只不过人们并不知道在客观上“ 摩尔熵” 到底是

14、否真的趋于均等, 只是作为一种 “ 假设”来使用；可见“ 均熵方程” 的导出对于诸多力学领域都是一种补救,这使诸多力学结论从“ 假说” 上升为严格的理论；否就 那些力学结论的推导过程就不敢面对质疑 这也符合人类熟悉自然的规律,即从不太精辟到接近精辟的过程；笔者可以运用均熵方程导出, 处于外力场的绝热体系内存在着稳恒的温度梯度 , 即 T 0 , 且不需付出熵流代价；由此笔者可以证明热力学第零定律、热力学其次定律、热流定律仅适用于等势面上 , 或者说在地球表面只是近似适用； 进而可以说明宇宙为何不会显现热寂 ,源于引力可导致散发到太空中的热能重新集合与活跃；重力场是形成和维护地热的首要因素； 这

15、将成为热统理论的新奇血液 , 因此, 此题课具有明显的理论意义！感谢沈建其的指导/showmembers.php.id=168 参考文献1 朗道 栗弗席兹 前苏联 著 杨训恺等译 1964 统计物理学 人民训练出版社 第 90 页 Landau,L 、D、and Lifshitz E、M、,Statistical Physics,Pergamon Press,1958,2 梁昆淼,数学物理方法, 北京：人民训练出版社,1978.7 ；3 汪志诚,热力学 统计物理（第三版）,北京：高等训练出 版社, 2022.3 ；第 53 页,（ 1.15.4 ）4 梁昆淼,数学物理方法 , 北京：人民训练出版社