13.12 等边三角形（专项练习 【含答案】）-2021-2022学年人教版八年级数学上册基础知识专项讲练

1、专题13.12 等边三角形（专项练习）单选题知识点一、等边三角形的性质1如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则BED为（）A45B15C10D1252如图，是等边的中线，点E在上，则的度数为（）ABCD3如图所示，已知，等边的顶点B在直线n上，则2的度数是（ ）ABCD4如图，是等边三角形，两个锐角都是的三角尺的一条直角边在上，则的度数为（ ）BCD知识点二、等边三角形的判定5如果一个三角形是轴对称图形，且有一个内角是60，那么这个三角形是（）A等边三角形B等腰直角三角形C等腰三角形D含30角的直角三角形6如图，在ABC中，直线MN为BC的垂直平分线，交BC于点E，点D在直线MN

2、上，且在ABC的外面，连接BD，CD，若CA平分BCD，A=65，ABC=85，则BCD是（ ）A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形7在ABC 中，若 AB=BC=CA，则ABC 为等边三角形；若A=B=C，则ABC 为等边三角形；有两个角都是 60的三角形是等边三角形；一个角为 60的等腰三角形是等边三角形上述结论中正确的有（ ）A1 个B2 个C3 个D4 个8如图，D、E、F分别是等边ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则DEF的形状是（ ）A等边三角形B腰和底边不相等的等腰三角形C直角三角形D不等边三角形知识点三、等边三角形的判定和性质9如图一艘轮船由海平面上A地出发

3、向南偏西40的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（ ）A30海里B40海里C50海里D60海里10如图，已知点D为等腰直角ABC内一点，ACB90，ADBD，BAD30，E为AD延长线上的一点，且CECA，若点M在DE上，且DCDM则下列结论中：ADB120；ADCBDC；线段DC所在的直线垂直平分线AB；MEBD；正确的有（）A1个B2个C3个D4个11BDE和FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）AABC的周长BAFH的周长C四边形FBGH的周长D四边形ADE

4、C的周长12如图，AOB=60，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（）平行B相交C垂直D平行、相交或垂直知识点四、含30度的直角三角形13如图，AOB=60，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（）A6B2C3D14如图，在ABC中，B30，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D如果CE12，则ED的长为()A3B4C5D615等腰三角形的顶角是一

5、个底角的4倍，如果腰长为10cm，那么底边上的高为( )A10cmB5cmC6cmD8cm16如图，为等边三角形，、相交于点，于点，且，则的长为（ ）A7B8C9D10填空题知识点一、等边三角形的性质17如图，已知ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则E=度18如图，直线a，b过等边三角形顶点A和C，且，则的度数为_19在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若三角形ABC的边长为1，AE=2，则CD的长为_20如图，等边AOB，且OAOC，CAB20，则ABC的大小是_知识点二、等边三角形的判定21已知ABC三边a、b、

6、c满足（ab）2+|bc|=0，则ABC的形状是_22已知一个三角形的三边长a、b、c，满足(a-b)2+|b-c|=0，则这个三角形是_三角形.23如图，AD是ABC的中线，ADC=60，BC=6，把ABC沿直线AD折叠，点C落在C处，连接BC，那么BC的长为24如图，ABC为等边三角形，12，BDCE，则ADE是_三角形知识点三、等边三角形的判定和性质25如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）测得的相关数据为：米，则_米26如图，为等边内一点，且，若，则_度27如图，是等边三角形，AB=6，AD是BC边上的中线点E在AC边上，且，则ED的长为_ 2

7、8如图，已知ABCACB=30，CP为ACB的平分线，且CP=6，点M、N分别是边AC和BC上的动点，则PMN周长的最小值为_知识点四、含30度的直角三角形29将一副三角尺如图所示叠放在一起，若=14cm，则阴影部分的面积是_cm230如图所示，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N再分别以MN为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的有_AD是的平分线；点D在AB的中垂线上；31如图，在等边ABC中，F是AB的中点，FEAC于E；如果ABC的边长是12，则AE=_；32如图，在中，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点

8、，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点若，则_解答题知识点一、等边三角形的性质33如图，在等边三角形ABC中，ADBE求证：CDAE知识点二、等边三角形的判定34如图，点E在ABC的外部，点D边BC上，DE交AC于点F，若1=2，AE=AC，BC=DE，（1）求证：AB=AD；（2）若1=60，判断ABD的形状，并说明理由知识点三、等边三角形的判定和性质35如图，和均为等边三角形，在同一条直线上，连接，点，分别为，的中点，顺次连接， 知识点四、含30度的直角三角形如图所示，已知，是中线，（1）求证：；（2）当时，过的中点G，作，求证：答案1A【分析】由等边三角形的性质

9、可得，进而可得，又因为，结合等腰三角形的性质，易得的大小，进而可求出的度数.解：是等边三角形，四边形是正方形，.故选.【点拨】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出的度数，难度适中.2D【分析】由等边三角形三线合一即可求出，再由等腰三角形的性质可求出，最后即可求出解：是等边三角形，且AD为中线，故选：D【点拨】本题考查等边三角形和等腰三角形的性质掌握等边三角形三线合一是解答本题的关键3B【分析】先根据平行线的性质得出，再根据等边三角形的性质和1的度数求出2的度数即可解：过点C作 ， 是等边三角形 故选：B【点拨】本题主要考

10、查等边三角形的性质和平行线的性质，掌握等边三角形的性质和平行线的性质是解题的关键4D【分析】根据等边三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论解：1=3=180-2-B=180-45-60=75，故选：D【点拨】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键5A这个三角形是轴对称图形 ，一定有两个角相等，这是一个等腰三角形.有一个内角是60，这个三角形是等边三角形.故选A.6A【分析】根据三角形的内角和得到ACB=30，由角平分线的定义得到BCD=2ACB=60，根据线段垂直平分线的性质得到BD=CD，于是得到结论解：A=65，ABC=85，ACB=30CA平分BCD，B

11、CD=2ACB=60直线MN为BC的垂直平分线，BD=CD，BCD是等边三角形故选A【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键7D解：试题分析：根据等边三角形的定义可得ABC为等边三角形，结论正确；根据判定定理1可得ABC为等边三角形，结论正确；一个三角形中有两个角都是60时，根据三角形内角和定理可得第三个角也是60，那么这个三角形的三个角都相等，根据判定定理1可得ABC为等边三角形，结论正确；根据判定定理2可得ABC为等边三角形，结论正确故选D考点：等边三角形的判定8A【分析】根据等边ABC中AD=BE=CF，证得ADFBEDCFE即可

12、得出：DEF是等边三角形解：ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，AE=BF=CD，又A=B=C=60，ADEBEFCFD（SAS），DF=ED=EF，DEF是等边三角形，故选A.【点拨】考点：本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定；根据已知得出ADEBEFCFD是解答此题的关键9B【分析】由已知可得ABC是等边三角形，从而不难求得AC的距离解：由题意得ABC=60，AB=BC=40ABC是等边三角形AC=AB=40海里故选B10D【分析】由等腰三角形的性质可判断，由“SSS”可证ADCBDC，可判断，由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可判断，由“AAS”可证ACDECM，可

13、判断解：AD=BD，BAD=30，BAD=ABD=30，ADB=120,故正确;AC=BC，AD=BD，CD=CD,ADCBDC（SSS）,故正确;ADCBDCACD=BCD，且AC=BC线段DC所在的直线垂直平分线AB,故正确;ABC是等腰直角三角形,CAB=CBA,CAD=CBD=15,CA=CE,E=CAD=15,EDC=DAC+DCA=60，且CD=CM,CDE=CMD=60,ADC=CME=120，且E=CAD，AC=CE,ACDECM（AAS）,AD=ME=BD,故正确,故选：D【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解

14、决问题是本题的关键11A【分析】由等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得：FHGH，ACBA60，AHFHGC，进而可根据AAS证明AFHCHG，可得AFCH，然后根据等量代换和线段间的和差关系即可推出五边形DECHF的周长AB+BC，从而可得结论解：GFH为等边三角形，FHGH，FHG60，AHF+GHC120，ABC为等边三角形，ABBCAC，ACBA60，GHC+HGC120，AHFHGC，AFHCHG（AAS），AFCHBDE和FGH是两个全等的等边三角形，BEFH，五边形DECHF的周长DE+CE+CH+FH+DFBD+CE+AF+BE+DF（BD+DF+AF）+（CE+BE），A

15、B+BC只需知道ABC的周长即可故选：A【点拨】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及多边形的周长问题，熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键12A【分析】先判断出OA=OB，OAB=ABO，分两种情况判断出AOCABD，进而判断出ABD=AOB=60，即可得出结论【详解】AOB=60，OA=OB，OAB是等边三角形，OA=AB，OAB=ABO=60当点C在线段OB上时，如图1，ACD是等边三角形，AC=AD，CAD=60，OAC=BAD，在AOC和ABD中，AOCABD，ABD=AOC=60，ABE=180ABOABD=60=AOB，BDOA；当点C在

16、OB的延长线上时，如图2，ACD是等边三角形，AC=AD，CAD=60，OAC=BAD，在AOC和ABD中，AOCABD，ABD=AOC=60，ABE=180ABOABD=60=AOB，BDOA，故选A本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，求出ABD=60是解本题的关键13C【分析】直接利用角平分线的作法得出OP是AOB的角平分线，再利用直角三角形的性质得出答案【详解】如图，过点M作MEOB于点E，由题意可得：OP是AOB的角平分线，则POB=60=30，ME=OM=3，故选C本题考查了基本作图作角平分线、含30度角的直角三角形的性质，正确得出OP是AOB的角平分线是解题关

17、键14D【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EBEC12，根据直角三角形30度角的性质解答即可解：DE是BC的垂直平分线，EBEC12，B30，EDB90，DEEB6，故选D【点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和直角三角形30度角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键15B【分析】先设此三角形的底角是x，则顶角是4x，根据三角形内角和定理，可得2x+4x=180，易求底角在RtABD中，由于AB=10，B=30，易求AD解：设此三角形的底角是x，则顶角是4x，则：2x+4x=180解得：x=30当x=30时，则顶角=4x=120如图，在RtABD中，A

18、B=10，B=30，ADAB=5故选B【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、含有30的直角三角形的性质，解题的关键是求出底角16C【分析】分析：由已知条件，先证明ABECAD得BPQ60，可得BP2PQ8，ADBE则易求解：ABC为等边三角形，ABCA，BAEACD60；又AECD，在ABE和CAD中， ABECAD（SAS）；BEAD，CADABE；BPQABEBADBADCADBAE60；BQAD，AQB90，则PBQ906030PQ3，在RtBPQ中，BP2PQ8；又PE1，ADBEBPPE9故选：C【点拨】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、含有30的直角三角形的性质，解

19、题的关键是证明BAEACD17：【分析】根据等边三角形三个角相等，可知ACB=60，根据等腰三角形底角相等即可得出E的度数解：ABC是等边三角形，ACB=60，ACD=120，CG=CD，CDG=30，FDE=150，DF=DE，E=15故答案为15【点拨】本题考查等腰三角形的性质，熟练运用等边对等角是关键.18102【分析】根据题意可求出的度数，再根据两直线平行内错角相等即可得出答案解：三角形ABC为等边三角形故【点拨】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键191或3 解：当E在线段BA的延长线上，D在线段BC的延长线上时，如图1所示，过E作EFBD,垂足为F

20、点,可得EFB=90，EC=ED,F为CD的中点,即CF=DF=CD，ABC为等边三角形,ABC=60，BEF=30，BE=AB+AE=1+2=3，FB=EB=，CF=FBBC=，则CD=2CF=1；当E在线段AB的延长线上，D在线段CB的延长线上时，如图2所示，过E作EFBD,垂足为F点,可得EFC=90，EC=ED,F为CD的中点,即CF=DF=CD，ABC为等边三角形,ABC=EBF=60，BEF=30，BE=AEAB=21=1，FB=BE=，CF=BC+FB=，则CD=2CF=3，综上，CD的值为1或3.故1或320130【分析】由等腰三角形的性质可求ACO60，由外角性质可求BOC4

21、0，即可求解解：AOB是等边三角形，OABOBAAOB60，OAOBAB，OAOC，ACOOAC60，CAB+OBACOB+ACO，20+60COB+60，BOC40，OCOAOB，OBC70，ABCABO+OBC130，故130【点拨】本题考查等腰三角形的性质、等边三角形的性质和外角的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、等边三角形的性质和外角的性质.21等边三角形试题解析：由题意可知：a-b=0，b-c=0，a=b=c，ABC的形状是等边三角形本题考查了非负数的性质，等边三角形的判断关键是利用非负数的性质解题属于基础题型22等边【分析】根据任意一个数的绝对值都是非负数和偶次方具有非负性可

22、得：，再根据三角形的判断方法即可知道该三角形的形状解：(a-b)2+|b-c|=0 (a-b)2=0，|b-c|=0 a=b，b=c a=b=c 这个三角形是等边三角形【点拨】本题考查了任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0、偶次方的非负性以及等边三角形的判定233根据中点的性质得BD=DC=3，再根据对称的性质得ADC=60，判定三角形为等边三角形即可求解：根据题意：BC=6，D为BC的中点；故BD=DC=3有轴对称的性质可得：ADC=ADC=60，DC=DC=3，BDC=60，故BDC为等边三角形，故BC=3故答案为324等边【分析】由条

23、件可证明ABEACD，从而AE=AD，BAC=CAE=60,所以可知DAE是等边三角形证明：三角形ABC为等边三角形AB=AC，在ABD和ACE中, ，ABDACE（SAS），AE=AD，BAD=DAE=60，ADE是等边三角形【点拨】本题主要考查三角形全等的判定和性质及等边三角形的判定，解题的关键是证ABDACE2548【分析】先说明ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答解：BAC=180-60-60=60BAC=ABC=BCA=60ABC是等边三角形AC=BC=48米故答案为48【点拨】本题考查了等边三角形的判定和性质，证得ABC是等边三角形是解答本题的关键26105【分析】

24、由等边三角形性质和已知可证明BPCAPC，可得BCP=ACP=30，由可得PBC=45，根据三角形内角和可得BPC的度数.解：在等边三角形中，ABC=ACB=BAC=60，AC=BC，又，PBC=PAC=45，BPCAPC（SAS），BCP=ACP=ACB=30，故105.【点拨】本题主要考查等边三角形性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题273【分析】根据题意易得，BD=DC，从而得到，所以得到AE=ED，再根据直角三角形斜边中线定理得AE=EC，由三角形中位线得出答案解： 是等边三角形，AD是BC边上的中线 ，BD=DCAE=EDED=ECDE=AE=EC

25、故答案为3【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形斜边中线及三角形中位线，关键是根据等边三角形的性质得到角的度数，进而得到边的等量关系，最后利用三角形中位线得到答案286【分析】作点P关于AC的对称点E，点P关于BC的对称点F，连接EF交AC于M，交BC于N，连接CE、CF此时PMN的周长最小解：作点P关于AC的对称点E，点P关于BC的对称点F，连接EF交AC于M，交BC于N，连接CE、CF此时PMN的周长最小由对称的性质可知，ACP=ACE，PCB=BCF，CP=CE=CF=6，ACB=30，ECF=60，CEF是等边三角形，EF=CE=6，PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=

26、EM+MN+NF=EF=6，故6【点拨】本题考查轴对称-最短问题、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型29解：B=30，ACB=90，=14cm，AC=AB=7cm,在AFC中，AFC=D=45，CF=AC=7cm，则阴影部分的面积是(cm)故30【分析】根据题目中尺规作图的步骤即可判断出AD是的平分线；利用直角三角形两锐角互余求出的度数，然后根据角平分线的定义求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可得出结论；通过角平分线的定义能够得出，则然后根据垂直平分线性质定理的逆定理即可得出结论；根据含30的直角三角形的性质得出，则，又因为和高相同，则

27、和面积之间的关系可求解：由题干可知，AD是的平分线，故正确；， AD平分BAC, 故正确； 点D在AB的中垂线上，故正确； 和高相同，故正确；故【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，含30的直角三角形的性质，角平分线的定义，掌握等腰三角形的性质，含30的直角三角形的性质，角平分线的定义是解题的关键313；【分析】根据等边三角形的性质及EFAC，可推出AE=AF=AB=3解：等边ABCA=60EFACAFE=30AE=AF=AB=3，故答案为3.【点拨】本题考查了等边三角形的性质的应用及含30度角的直角三角形的性质，关键是熟练掌握这些性质32【分析】利用基本作图得BD平分，再计算出，所以，利用得

28、到，然后根据三角形面积公式可得到的值解：由作法得平分，在中，.故答案为【点拨】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线33见解析【分析】根据等边三角形的性质可得出B=DAC=60、AC=AB，结合AD=BE即可证出DACEBA（SAS），再根据全等三角形的性质即可得出CD=AE证明：ABC为等边三角形，B=DAC=60，AC=AB在DAC和EBA中，DACEBA（SAS），CD=AE【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，利用全等三角形的判定定理SAS证出DACEBC是解题的关键34（1）见解析；（2）ABD是等边三角形理由见解析.解：分析：（1）由1=2结合AFE=DFC可得E=C，这样结