工科数学分析ii.part1课外

1、稿件：8066三圆柱体垂直相交体积的计算孙玉泉 1，曦 2，1（1.航空航天大学 数学与系统科学学院, 数学、信息与行为教育部100191;2.航空航天大学 电子信息2010 级100191 ）收稿日期：2011-09-21。基金项目：市精品课程建设项目、学校重点教改项目（工科数学分析）开放式教学研究与实践.。作者简介：孙玉泉（1977-），男，山东安丘人，讲师，主要研究方向计算数学.:.（1964-），女，江苏: xiaoyua人，教授，博导，主要研究方向为应用调和分析和图像处理.摘要：针对三个直径相同垂直相交圆的柱体这一复杂的空间图形，给出了求解它们所围体积的积分表达式和体积，并比较了不同

2、坐标系下的积分表达式，进一步给出了直径不同垂直相交圆的柱体所围体积的积分表达式.：三重积分; 圆柱体相交体积; 重积分应用号 O172.2The volume of three verticallySUN Yuquan1LIU Jiaxi2ersected cylindersXiaoyuan1(1.LMIB & School of Mathematics and System Science，Beihang University Beijing 100191) (2.School of electronic and information engineering (2010)，Beihang

3、University Beijing 100191)Abstract：This pr gives the tripleegral for computing the volume of three verticallyersected cylinders with same diameter. It also compares the coordinate systems and studies the volume of three verticallydiameters.egral express in differentersected cylinders with differentK

4、eywords：Tripleegralegral，Volume of verticallyersected cylinders，Application of multiple分析积分区域的位置关系，写出积分表达式是三重积分计算中的重点和难点问题.两个直径相同的圆柱相交所的体积问题已经比较复杂1. 空间中三个相互垂直的圆柱相交的体积问题，其空间位置关系更加复杂，对分析和计算提出了更大的 . 本文就这一问题展开深入分析，给出各种不同情形积的积分公式，并比较了不同坐标形式下的积分计算难易程度，进一步说明三重积分应用的一般思路和方法.1. 直径相同垂直相交的三个圆柱体体积的计算以圆柱相交的中心为坐标原

5、点，三圆柱的中心轴为坐标轴建立坐标系（图 1），不妨设圆柱的半径为 1，则求体积关键问题是分析三个变量的变化范围，写出积分表达式.根据对称性知，整体体积是第一卦限内体积的八倍，因此仅需计算第一卦限内的体积即可.这样可以缩小变量的变化范围，使得分析和计算更加简单.使用先一后二法2分析积分区域，首先将区域向 xoy 平面投影，则投影区域为图 1 直径相同垂直相交的三个圆柱体 圆在第一象限内的部分.在确定了x,y 的取值范围后，考虑 z 的变化范围. 显然对于给定的（x,y），z 的最小值取 0，而最大值分别取z 1 x2在两个圆柱面上，即 或1z 1 y 2 较小的那个上面, 而 z , z 的2

6、12大小由 x，y 的大小决定.于是在 xoy 平面内作直线 y=x（图 2），在图中阴影部分 D ，xy有 xy，这一部所对应的体积为:a2 x21 x2a 2 a dx0dy0dz).2在直角坐标系下的这个积分难以计算，尝试使用柱坐标进行计算. 先考虑三个圆柱半径相同时柱坐标表示 (图 4)，其中取值为0, ， r 取值为0,1 ，下面分析 z4的取值.图 2 xOy 平面内投影关系1 x2dxdy0dz ,Dxy从直线 y=x 与圆周交点作关于 x 轴的垂线，即将图形分为两个 x 型区域，则得2x12(dx dy 22dz)0000022 1 .2根据对称性，在 xy 部分的积分相同，图

7、 4 直径相同时的柱坐标如图 oC 与 x 轴夹角即为 ，oP 长度即为 r. 过 oC，作垂直于 xoy 平面的平面 oABC，与沿y 轴方向的圆柱体侧面交线为弧 AB. 过 P 点作 P 关于 x 轴的垂线交 x 轴于 Q，再过 PQ，作垂直于 xoy 平面的平面 PQRS，与沿 y 轴方向的圆柱侧面交于 RS.四边形 PQRS 为矩形，且 S 点在弧 AB因此整体的体积为16 8 2 .该问题的关键是在完成向 xoy 平面的投影后，分析两个水平放置圆柱的空间位置关系，并求出其表达式，从而确定 z 的取值范围，正确写出积分表达式.2. 垂直相交的三个圆柱中两个直径相同时所围体积的计算首先假

8、设水平放置的两个直径相同，第上.所以 z=PS=QR.所以积分为：1r2 cos2 1drV 16(ddz) .4000三个直径不同，为 x 2 y 2 a 2 (a1).下当 a1 时，因为 取值范围不变，z 的分析方法不变，所以只需改变 r 的积分区间即可.只对 r 在0,a上积分（图 5），结果即为a1 时的体积.面分情况进行.1） 若 a1(图 3)，图 3 直径不相同圆柱根据对称性只需要求第一卦限内的部分，使用前面的分析方法，此时投影区域变为半径为 a 的圆在第一象限内的部分，其积分表达式为：图 5 直径不相同时的柱坐标所以体积为2 ax1 x 2V 16(dx dydz21r 2

9、cos2 aV 16(0 ddrdz) .4000002) a 2 时(图 6)， 2 ax1 x2a2 x21 x2116(dx dydz dxdydz)22000a002柱坐标系下积分公式4x a2 11 x2a1r 2 cos2 116( dxdydz dr ddz)1a00000arccos3. 三个直径各不相同的垂直相交圆柱体体积的计算不妨设三个圆柱的方程分别为:x2 z2 1,y2 z 2 a2 , x2 y2 b2 ,图 6a 2 时在 xoy 内投影垂直于xoy 平面的圆柱体侧面与另外两个圆柱体围城的图形不相交，问题等价于求解两个半径为 1 的圆柱体围成的体积，积分区域为边长为

10、 1 的正方形，即图中阴影部分,所以积分为：其中 1ab ，即 z 轴方向的圆柱半径最大，y 轴方向的圆柱半径最小.1)若 b 足够大，另两个圆柱相交的区域就会完全被包含在 z 轴方向的圆柱中(图 9).161x21xV 16 dxdydz .30003) 1 a 2 时(图 7)，图 9 b 足够大时第一象限内的图形此时体积等价于两个直径不同的圆柱相交的体积，积分为1a 2 1 x2111 x dy dx2a y dy)228( dx22000a 1 x因为积分区域为四分之一圆(图 10)，图 7 1 a 2 时第一象卦限内图形考虑垂直于xoy 平面的圆柱体与另外两个圆柱体围城的图形是否相交

11、.沿 z 轴方向的圆柱侧面与另外两个圆柱相交，此时积分区域为下图中阴影部分（图 8）.图 10b 足够大时的柱坐标其极坐标表示为：1b2 r 2 cos2 dr .8d200cosb22 cos1 8(b2 cos2 arcsin)d22b01 a 2 时 xoy 平面内投影图 82) 若b2 a2 1:图形将更为复杂(图 11),直角坐标系下的积分公式为：4. 结论本文深入分析了空间中三个垂直相交的圆柱体所围成的体积问题，对于这一系列复杂，分别给出了计算的积分表达式.随着计算机技术的发展，计算具体的积分值已经变得越来越简单，但是分析问题给出计算机能够处理的表达式确变得更加重要. 通过这些体积问题的分析，说明了使用三重积分计算体积时的基本的思路和方法，也进一步说明了微积分的重要应用价值.参考文献：图 11 b2 a2 1时第一象限内的图形黄域为沿 y 轴方向的圆柱表面，蓝1，於册M. 2 版.2004：240-260.，金路.数学分