以二次函数与直角三角形问题为背景的解答题(Word答案)

1、以二次函数与直角三角形问题为背景的解答题【总体点评】二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。直角三角形的有关知识和二次函数都是初中代数中的重点内容，这两块内容的综合是初中数学最突出的综合内容，因此这类问题就成为中考命题中比较受关注的热点问题.【解题思路】近几年的中考中,二次函数图形中存在性问题始终是热点和难点。考题内容涉及到分类讨论、数形结合、化,归等数学思想,对学生思维能力、模型

2、思想等数学素养要求很高所以学生的失分现象比较普遍和突出。解这类问题有什么规律可循?所应用的知识点：1.抛物线与直线交点坐标;2.抛物线与直线的解析式;3.勾股定理;4.三角形的相似的性质和判定;5.两直线垂直的条件;运用的数学思想：1.函数与方程;2.数形结合;3.分类讨论;4.等价转化；解决二次函数中直角三角形存在性问题采用方法：1.找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点；2.以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k2=-1，以已知线段

3、为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者三条边分别表示之后，利用勾股定理求解.【典型例题】（【例1】2019邢台市第八中学中考模拟）如图，已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A(1,0)，C(0,3).（1）若直线ymxn经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标.【例2】（2020山东初三期末）已知，抛物线yx2+bx+c经过点A（

4、1，0）和C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M在抛物线的对称轴上，当MAC是直角三角形时，求点M的坐标【例3】（2019山东中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，ACB=90，OC=2OB，tanABC=2，点B的坐标为（1，0）抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=12DE求点P的坐标；在直线PD上是否存在点M，使ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件

5、的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由【方法归纳】解决二次函数中直角三角形存在性问题采用方法：1.找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点；2.以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k2=-1，以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者三条边分别表示之后，利用勾股定理求解.【针对练习】（12019四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc（a0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点

6、B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1（1）求抛物线的解析式；（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由2（2019四川中考真题）如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作ACx轴交抛物线于点C，AOB的平

7、分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；（3）如图，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点Peqoac(,使)POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.3（2018吉林中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax3a（a0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E（1）当a=1时，求抛物线顶点D的坐标，OE等于

8、多少；（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；（3）设DEO=，4560，求a的取值范围；（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围4（2019湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点Meqoac(,，使)BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求

9、出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由5（2019湖南中考真题）如图，在直角坐标系中有RtAOB，O为坐标原点，OB1,tanABO3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90，得到v52m/s，二次函数yx2bxc的图象刚好经过PA,B,C三点（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点Q的直线l:ykxk3与二次函数图象相交于M,N两点若SPMN2，求k的值；证明：无论k为何值，PMN恒为直角三角形；当直线l绕着定点Q旋转时，PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式（62019山东中考真题）如图1，抛物线，抛物线与轴的另一交点为.经过点经过平行四边形的直线将平行四

10、边形的顶点、分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点（1）求抛物线的解析式；为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为.（2）当何值时，（3）是否存在点使的面积最大?并求最大值的立方根；为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.7（2018辽宁中考真题）如图，在平面角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx1经过点A（2，1）和点B（1，1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3eqoac(,）当)AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（4）在（

11、3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点k，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且KNQ=BNP时，请直接写出点Q的坐标8（2018广西中考真题）如图，抛物线y=ax25ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC=BC，过点B作BDx轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2eqoac(,）当)CMN是直角三角形时，求点M的坐标；（3）试求出AM+AN的最小值9（2018四川中考真题）如图，

12、已知二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D为抛物线的顶点，试判断BCD的形状，并说明理由；（3）将直线BC向上平移t(t0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M，N两点（点M在y轴的右侧），当AMN为直角三角形时，求t的值10（2018黑龙江中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，4）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；（3）点D为抛物线对称轴

13、上一点eqoac(,当)BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；eqoac(,若)BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围11（2018湖南中考真题）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点M是线段BC上

14、的动点，点Neqoac(,是)ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的eqoac(,Rt)AMN，使AMN的面积为ABC面积的13？若存在，求tanMAN的值；若不存在，请说明理由12（2016甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B已知抛物线y=x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；（2）如图，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以2个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连

15、接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，AEF为直角三角形？（3）如图，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由13（2017广西中考真题）如图，抛物线点，其顶点为.与轴交于两点，与轴的正半轴交于（1）写出（2）设（3）当两点的坐标（用含的式子表示）；，求的值；是直角三角形时，求对应抛物线的解析式.14（2020广州大学附属中学初三月考）在平面直角坐标系中，抛物线yx22x3与x轴交于A

16、，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D（1）请直接写出点A，C，D的坐标；（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得CDE的周长最小，求点E的坐标；（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由15（2020安徽初三期末）如图，已知直线ykx6与抛物线yax2bxc相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点Peqoac(,，使)POBeqoac(,与)POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明

17、理由；（3）若点Q是y轴上一点，且ABQ为直角三角形，求点Q的坐标（162020四川绵阳实中、绵阳七中初三月考）如图，顶点为P(3,3)的二次函数图象与x轴交于点A(6,0)，点B在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON（1）求该二次函数的关系式（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：连接OP，当OP1MN时，请判断NOB的形状，并求出此时点B的坐标2求证：BNMONM17（2020广东初三期末）如图，已知直线AB经过点（0，4），与抛物线y=14x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是2(1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标(2）在x轴

18、上是否存在点C，使得ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在请说明理由(3）过线段AB上一点P，作PMx轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？以二次函数与直角三角形问题为背景的解答题【总体点评】二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。直角三角形的有关知识和二次函数都是初中代数中的重点内容，这两块

19、内容的综合是初中数学最突出的综合内容，因此这类问题就成为中考命题中比较受关注的热点问题.【解题思路】近几年的中考中,二次函数图形中存在性问题始终是热点和难点。考题内容涉及到分类讨论、数形结合、化,归等数学思想,对学生思维能力、模型思想等数学素养要求很高所以学生的失分现象比较普遍和突出。解这类问题有什么规律可循?所应用的知识点：1.抛物线与直线交点坐标;2.抛物线与直线的解析式;3.勾股定理;4.三角形的相似的性质和判定;5.两直线垂直的条件;运用的数学思想：1.函数与方程;2.数形结合;3.分类讨论;4.等价转化；解决二次函数中直角三角形存在性问题采用方法：1.找点：在已知两定点，确定第三点构

20、成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点；2.以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k2=-1，以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者三条边分别表示之后，利用勾股定理求解.【典型例题】（【例1】2019邢台市第八中学中考模拟）如图，已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A(1,0)，C(0,3).（1）若直线ymxn经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对

21、称轴x1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为yx22x3，直线的解析式为y=x+3.（2）M(1,2)；（3）P的坐标为(1,2)或(1,4)或(1,317317)或(1,).222a1a1详解：（1）依题意得：abc0，解得：b2，【解析】分析：（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y

22、=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，此时MA+MC的值最小把x=-1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；（3）设P（-1，t），又因为B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标bc3c3得3mn0n3n3抛物线的解析式为yx22x3.对称轴为x1，且抛物线经过A1,0，把B3,0、C0,3分别代入直线ymxn，m1，解之得：，直线ymxn的解析式为yx3.（2）直线BC

23、与对称轴x1的交点为M，则此时MAMC的值最小，把x1代入直线yx3得y2，M1,2.即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为1,2.（注：本题只求M坐标没说要求证明为何此时MAMC的值最小，所以答案未证明MAMC的值最小的原因）.（3）设P1,t，又B3,0，C0,3，BC218，PB2132t24t2，PC212t32t26t10，若点B为直角顶点，则BC2PB2PC2，即：184t2t26t10解得：t2，若点C为直角顶点，则BC2PC2PB2，即：18t26t104t2解得：t4，若点P为直角顶点，则PB2PC2BC2，即：4t2t26t1018解得：t13172，t23

24、172.1,2或1,4或1,3综上所述P的坐标为17317或1,22.【名师点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题【例2】（2020山东初三期末）已知，抛物线yx2+bx+c经过点A（1，0）和C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M在抛物线的对称轴上，当MAC是直角三角形时，求点M的坐标（【答案】1）yx22x3；2）当PAPC的值最小时，点P的坐标为

25、1,2；3）点M的坐标为1,1、1,2、1,8或1,2.33【解析】【分析】1由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；2连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PAPC取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；3设点M的坐标为1,m，则CM(10)2(m3)2，AC012(30)210，AM112(m0)2，分AMC90o、ACM90o和CAM90o三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，

26、进而即可得出点M的坐标【详解】解：1将A1,0、C0,3代入yx2bxc中，1bbc02得：c3，解得：c3，抛物线的解析式为yx22x32连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PAPC取最小值，如图1所示当y0时，有x22x30，解得：x11，x23，点B的坐标为3,0Q抛物线的解析式为yx22x3(x1)24，抛物线的对称轴为直线x1设直线BC的解析式为ykxdk0，将B3,0、C0,3代入ykxd中，3kkd01得：d3，解得：d3，直线BC的解析式为yx3Q当x1时，yx32，当PAPC的值最小时，点P的坐标为1,23设点M的坐标为1,m，则CM(10)2(m3)2，AC012(30)21

27、0，AM112(m0)2分三种情况考虑：当AMC90o时，有AC2AM2CM2，即101(m3)24m2，解得：m11，m22，点M的坐标为1,1或1,2；当ACM90o时，有AM2AC2CM2，即4m2101(m3)2，解得：m83，点M的坐标为1,；83当CAM90o时，有CM2AM2AC2，即1(m3)24m210，解得：m23，点M的坐标为1,.23VMAC是直角三角形时，点M的坐标为1,1、1,2、1,或1,.综上所述：当8233【名师点睛】本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：1由点的坐标，

28、利用待定系数法求出抛物线解析式；2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P的位置；3分AMC90o、ACM90o和CAM90o三种情况，列出关于m的方程【例3】（2019山东中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，ACB=90，OC=2OB，tanABC=2，点B的坐标为（1，0）抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=12DE求点P的坐标；在直线PD上是否存在点M，使ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=x23x+4；（

29、2）P（1，6），存在，M（1，3+11）或（1，311）或（1，1）或（1，132）【解析】【分析】（1）先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）先得AB的解析式为：y=-2x+2，根据PDx轴，设P（x，-x2-3x+4），则E（x，-2x+2），根据PE=12DE，列方程可得P的坐标；AC1bc0c4先设点M的坐标，根据两点距离公式可得AB，AM，BM的长，分三种情况：ABM为直角三角形时，分别以A、B、M为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐标【详解】解：（1）B（1，0），OB=1，OC=2OB=2，C（2，0），RtABC中，tanABC=2，AC2，

30、2，AC=6，BC3A（2，6），42bc6把A（2，6）和B（1，0）代入y=x2+bx+c得：，b3解得：，抛物线的解析式为：y=x23x+4；（2）A（2，6），B（1，0），AB的解析式为：y=2x+2，设P（x，x23x+4），则E（x，2x+2），PE=12DE，x23x+4（2x+2）=12（2x+2），x=-1或1（舍），P（1，6）；M在直线PD上，且P（1，6），设M（1，y），B（1，0），A（2，6）AM2=（1+2）2+（y6）2=1+（y6）2，BM2=（1+1）2+y2=4+y2，AB2=（1+2）2+62=45，分三种情况：i）当AMB=90时，有AM2+BM2

31、=AB2，1+（y6）2+4+y2=45，解得：y=311，M（1，3+11）或（1，311）；ii）当ABM=90时，有AB2+BM2=AM2，45+4+y2=1+（y6）2，y=1，M（1，1），iii）当BAM=90时，有AM2+AB2=BM2，1+（y6）2+45=4+y2，y=132，M（1，132）；综上所述，点M的坐标为：M（1，3+11）或（1，311）或（1，1）或（1，132）【名师点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用【方法归纳】解决二次函

32、数中直角三角形存在性问题采用方法：1.找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点；2.以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k2=-1，以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者三条边分别表示之后，利用勾股定理求解.【针对练习】（12019四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc（a0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1（1）求抛物线

33、的解析式；（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻teqoac(,，使)MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由【答案】（1）y33999x2x3；（2）S=t2t，运动1eqoac(,秒使)PBQ的面积最大，最大面积是；8410510（3）t=2430或t=1719【解析】【分析】（1）把点A、B、C的坐标分别代入抛物线解

34、析式，列出关于系数a、b、c的解析式，通过解方程组求得它们的值；（2）设运动时间为t秒利用三角形的面积公式列出SMBN与t的函数关系式利用二次函数的图象性质进行解答；（3）根据余弦函数，可得关于t的方程，解方程，可得答案【详解】（1）点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1，A（2，0），把点A（2，0）、B（4，0）、点C（0，3），a84a2b3016a4b30分别代入yax332bxc（a0），得：，解得：b，所以该抛物线的解析式为：4c333yx2x3；84（2）设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t，MB=63t由题意得，点C的坐标为（0，3）在RtBOC中，BC=3242

35、=5如图1，过点N作NHAB于点H，NHCO，BHNBOC，HNBNHNt，即，OCBC35SMBN=MBHN=（63t）t，即S=t2t3HN=t，51139999(t1)22251051010eqoac(,，当)PBQ存在时，0t2，=9当t=1时，SPBQ最大10答：运动1eqoac(,秒使)PBQ的面积最大，最大面积是910；（3）如图2，在eqoac(,Rt)OBC中，cosB=OB4BC5设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t，MB=63t当MNB=90时，cosB=当BMN=90时，cosB=BN4t424，即，化简，得17t=24，解得t=；MB563t51763t430，化

36、简，得19t=30，解得t=t5192430综上所述：t=或t=时，MBN为直角三角形1719考点：二次函数综合题；最值问题；二次函数的最值；动点型；存在型；分类讨论；压轴题2（2019四川中考真题）如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作ACx轴交抛物线于点C，AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；（3）如图，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存

37、在点Peqoac(,使)POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.时，四边形AOPE面积最大，最大值为.（3）P点的坐标为：P1【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=52758，），P2（，），P3（，），P4（，）.（3+5153-51+55+51+5551522222222【解析】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；（3）存在四种情况：如图3，作辅

38、助线，构建全等三角形，证明OMPPNF，根据OM=PN列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），OE平分AOB，AOB=90，AOE=45，AOE是等腰直角三角形，AE=OA=3，E（3，3），易得OE的解析式为：y=x，过P作PGy轴，交OE于点G，G（m，m），PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，形S四边AOPE=SAOE+SPO

39、E，=1133+PGAE，2291=+3（-m2+5m-3），22315=-m2+m，225375=（m-）2+，2283-0，2575当m=时，S有最大值是；28（3）如图3，过P作MNy轴，交y轴于M，交l于N，OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，eqoac(,易得)OMPPNF，OM=PN，P（m，m2-4m+3），则-m2+4m-3=2-m，解得：m=5+5255或，2P的坐标为（5+51+55515，）或（，）；2222如图4，过P作MNx轴于N，过F作FMMN于M，解得：x=3+5或；P的坐标为（3+5，）或（，）；综上所述，点P的坐标是：（5+5同理得ONPPMF，PN=FM，

40、则-m2+4m-3=m-2，3-522153-51+522221+555153+5153-5，）或（，）或（，）或（，22222221+52）点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题3（2019吉林中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax3a（a0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E（1）当a=1时，求抛物线顶点D的坐标，OE等于多少；（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；（3

41、）设DEO=，4560，求a的取值范围；（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围【答案】（1）（1，4），3；（2）结论：OE的长与a值无关理由见解析；（3）3a1；（4）n=m1（m1）【解析】【分析】(1)求出直线CD的解析式即可解决问题；(2)利用参数a，求出直线CD的解析式求出点E坐标即可判断；(3)求出落在特殊情形下的a的值即可判断；(4)如图，作PM对称轴于M，PNAB于N两条全等三角形的性质即可解决问题.【详解】解：(1)当a=1时，抛物线的解析式为y=x22x+3，顶点D(1，4)，C(0，3)

42、，直线CD的解析式为y=x+3，E（3，0），OE=3，(2)结论：OE的长与a值无关理由：y=ax2+2ax3a，C(0，3a)，D(1，4a)，直线CD的解析式为y=ax3a，当y=0时，x=3，E（3，0），OE=3，OE的长与a值无关(3)当=45时，OC=OE=3，3a=3，a=1，当=60时，在eqoac(,Rt)OCE中，OC=3OE=33，3a=33，a=3，4560，a的取值范围为3a1(4)如图，作PM对称轴于M，PNAB于NPD=PE，PMD=PNE=90，DPE=MPN=90，DPM=EPN，DPMEPN，PM=PN，PM=EN，D(1，4a)，E(3，0)，EN=4+

43、n=3m，n=m1，当顶点D在x轴上时，P(1，2)，此时m的值1，抛物线的顶点在第二象限，m1n=m1(m1)故答案为：(1)(1，4)，3；(2)OE的长与a值无关；(3)3a1；(4)n=m1（m1）【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质。4（2019湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三

44、角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线解析式为y=x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（7201013，）或（，），3939【解析】（分析：1）设交点式y=a（x+1）x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B，连接DB交y轴于M，如图1，则B（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时BDM的

45、周长最小，然后求出直线DB的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-11x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-x+3，再解方程组33yx3yx22x313得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x3），q3q3即y=ax22ax3a，2a=2，解得a=1，抛物线解析式为y=x2+2x+3；当x=0时，y=x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，pq0p3把

46、A（1，0），C（0，3）代入得，解得，直线AC的解析式为y=3x+3；（2）y=x2+2x+3=（x1）2+4，顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B，连接DB交y轴于M，如图1，则B（3，0），MB=MB，MB+MD=MB+MD=DB，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，此时BDM的周长最小，易得直线DB的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，点M的坐标为（0，3）；（3）存在过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，直线AC的解析式为y=3x+3，直线PC的解析式可设为y=把C（0，3）代入得b=3，13x+b，直线PC的解析式为y=13x+3，x020y3

47、39yx3y37yx22x3x3720解方程组1，解得或，则此时P点坐标为（，）；9过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=x+b，把A（1，0）代入得11+b=0，解得b=，33x11339y0yxy33综上所述，符合条件的点P的坐标为（711直线PC的解析式为y=x，3310yx22x3x31013解方程组11，解得或，则此时P点坐标为（，）.9201013，）或（，）.3939点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐

48、标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题5（2019湖南中考真题）如图，在直角坐标系中有RtAOB，O为坐标原点，OB1,tanABO3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90，得到v52m/s，二次函数yx2bxc的图象刚好经过PA,B,C三点（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点Q的直线l:ykxk3与二次函数图象相交于M,N两点若SPMN2，求k的值；证明：无论k为何值，PMN恒为直角三角形；当直线l绕着定点Q旋转时，PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式【答案】（1）yx22x3,P1,4（2）k23；见解析；

49、y2x24x1【解析】【分析】（1）求出点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（-1，0）、（3，0），即可求解；PQ（x2-x1），则x2-x1=4，即可求解；k1k2=2x1x1xx4xx1=-1，（2）SPMN=12y4y4yy4yy1611212211212即可求解；取MN的中点H，则点Heqoac(,是)PMN外接圆圆心，即可求解【详解】（1）OB1,tanABO3，则OA3,OC3，即点A、B、C的坐标分别为0,3、1,0、3,0，则二次函数表达式为：yax3x1ax22x3，即：3a3，解得：a1，故函数表达式为：yx22x3，点P1,4；（2）将二次函数与直线l的表达式联立并整理

50、得：x22kxk0，设点M、N的坐标为x,y、x,y1122则x1x22k,x1x2k，则：yykxx12122k66k2，同理：yy94k2，12ykxk3，当x1时，y3，即点Q1,3，2SPMN21PQxx，则xx4，2121xxx211x224xx12，解得：k23；点M、N的坐标为x,y、x,y1122、点P1,4，则直线PM表达式中的k1值为：y4，直线PN表达式中的k2值为：2为：k1k22xx11，12y41x1x112y4y4yy4yy16112x1x1xx4211212故PMPN，即：PMN恒为直角三角形；取MN的中点H，则点H是PMN外接圆圆心，设点H坐标为x,y，则xx

51、x211122k，1yy22y1216k2，整理得：y2x24x1，即：该抛物线的表达式为：y2x24x1【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本知识等，其中，用根与系数的关系处理复杂数据，是本题解题的关键（62019山东中考真题）如图1，抛物线，抛物线与轴的另一交点为.经过点经过平行四边形的直线将平行四边形的顶点、分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点（1）求抛物线的解析式；为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为.（2）当何值时，（3）是否存在点使的面积最大?并求最大值的立方根；为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）抛物线解析式为y

52、=x2+2x+3；（2）当t=时，PEF的面积最大，其最大值为，最大值的立方根为=；（3）存在满足条件的点P，t的值为1或【解析】试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PHx轴，交直线l于点M，作FNPH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；（3）由题意可知有PAE=90或APE=90两种情况，当PAE=90时，作PGy轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t

53、的值；当APE=90时，作PKx轴，AQPK，则可证得PKEAQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值试题解析：（1）由题意可得，解得，抛物线解析式为y=x2+2x+3；（2）A（0，3），D（2，3），BC=AD=2，B（1，0），C（1，0），线段AC的中点为（，），直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，直线l过平行四边形的对称中心，A、D关于对称轴对称，抛物线对称轴为x=1，E（3，0），设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，直线l的解析式为y=x+，联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，F（，），如图1，作PHx轴，交l于点M，

54、作FNPH，P点横坐标为t，P（t，t2+2t+3），M（t，t+），PM=t2+2t+3（t+）=t2+t+，SPEF=SPFM+SPEM=PMFN+PMEH=PM（FN+EH）（t2+（t+）3+=）（t）+，当t=eqoac(,时，)PEF的面积最大，其最大值为，最大值的立方根为=；（3）由图可知PEA90，只能有PAE=90或APE=90，当PAE=90时，如图2，作PGy轴，OA=OE，OAE=OEA=45，PAG=APG=45，PG=AG，t=t2+2t+33，即t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），当APE=90时，如图3，作PKx轴，AQPK，则PK=t2+2t+3，AQ=

55、t，KE=3t，PQ=t2+2t+33=t2+2t，APQ+KPE=APQ+PAQ=90，PAQ=KPE，且PKE=PQA，PKEAQP，即，即t2t1=0，解得t=或t=（舍去），综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或考点：二次函数综合题7（2018辽宁中考真题）如图，在平面角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx1经过点A（2，1）和点B（1，1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3eqoac(,）当)AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（4）在（

56、3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点k，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且KNQ=BNP时，请直接写出点Q的坐标【答案】（1）抛物线C1：解析式为y=x2+x1；（2）MN=t2+2；（3）t的值为1或0；（4）满足条件的Q点坐标为：（0，2）、（1，3）、（319412，）、（，）55551ab1b1【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）把x=t代入函数关系式相减即可得；（3）根据图形分别讨论ANM=90、AMN=90时的情况即可得；（4）根据题意画出满足条件图形，可以找到ANeqoac(,为)KN

57、P对称轴，由对称性找到第一个满足条件Q，再通过延长和圆的对称性找到剩余三个点，利用勾股定理进行计算【详解】（1）抛物线C1：y=ax2+bx1经过点A（2，1）和点B（1，1），14a2b1a1，解得：，抛物线C1：解析式为y=x2+x1；（2）动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M，点N的纵坐标为t2+t1，点M的纵坐标为2t2+t+1，MN=（2t2+t+1）（t2+t1）=t2+2；（3）共分两种情况当ANM=90，AN=MN时，由已知N（t，t2+t1），A（2，1），AN=t（2）=t+2，MN=t2+2，t2+2=t+2，t1=0（舍去），t2=1，t=1；当AMN

58、=90，AN=MN时，由已知M（t，2t2+t+1），A（2，1），AM=t（2）=t+2，MN=t2+2，t2+2=t+2，t1=0，t2=1（舍去），t=0，故t的值为1或0；（4）由（3）可知t=1时M位于y轴右侧，根据题意画出示意图如图：易得K（0，3），B、O、N三点共线，A（2，1），N（1，1），P（0，1），点K、P关于直线AN对称，设K与y轴下方交点为Q2，则其坐标为（0，2），Q2与点O关于直线AN对称，Q2是满足条件KNQ=BNP，则NQ2延长线与K交点Q1，Q1、Q2关于KN的对称点Q3、Q4也满足KNQ=BNP，由图形易得Q1（1，3），设点Q3坐标为（a，b），由对

59、称性可知Q3N=NQ1=BN=22，由K半径为1，a12b122215a119b3a2b3212b21532a，解得：，2，同理，设点Q4坐标为（a，b），由对称性可知Q4N=NQ2=NO=2，a12b122a2b321235a0b2，解得：，44b24a1235，满足条件的Q点坐标为：（0，2）、（1，3）、（319412，）、（，）.5555【点睛】本题为代数几何综合题，考查了待定系数法、二次函数基本性质、轴对称的性质、平面内两点间的距离等，熟练掌握相关知识、灵活运用分类讨论、数形结合以及构造数学模型等数学思想是解题的关键8（2018广西中考真题）如图，抛物线y=ax25ax+c与坐标轴分

60、别交于点A，C，E三点，其中A（3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC=BC，过点B作BDx轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2eqoac(,）当)CMN是直角三角形时，求点M的坐标；（3）试求出AM+AN的最小值【答案】（1）抛物线解析式为y=1516（x2+x+4；D点坐标为（3，5）；2）M点的坐标为（0，）或（0，669119）；（3）AM+AN的最小值为61OCB，根据相似三角形的判定方法，当CM【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；利用等腰三角形的性质得B（3，0），然后