人教版高中数学选修4测试题全套及答案

1、3 x12最新人教版高中数学选修 4-5 测试题全套及答案第一讲不等式和绝对值不等式一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的)1设集合 Ax|ylog (42xx2)，Bx 1x|1x 51x|3x2x|1x1x|1 5x3 或 510 可转化为，则 AB 等于( ) x22x40，解得1 5x1 5，Ax|1 5x1 5； 3 x2不等式 1 可转化为 0，x1 x1解得1x2，Bx| 1x2， ABx|1x 51答案： Ax12不等式 x11 的解集为( )Ax|0 x1 Cx|1x0Bx|0 x1 Dx|x0解析：

2、 方法一：特值法：显然 x1 是不等式的解，故选 D. 方法二：不等式等价于|x1|x1|，即(x1)2(x1)2，解得 x ，a|ab|b，aba2b24ab3b22 ，ab 2ab恒成立的序号为( ) AB ab，即 ab ，故不正确，排除 A、B；abab1 1 21 1 22 1 1b1 1 1 1ab3433C解析：D2ab 2ab 2ab 2 ab 2 ab ab2 22，即正确答案： D1 14已知 a0，b0，则 2 ab的最小值是( )a bA2C4B2 2D5解析： ab，b0， ，当且仅当 ab 时取等号，a b ab 2 ab 2 ab2 a b ab22 ab4.ab

3、当且仅当 ab1 且2 ab时成立，能取等号，故 2 ab的最小值为 4，故选 C. ab a b答案： C5设|a |1，|b|1，则|ab|ab|与 2 的大小关系是( ) A|ab|ab|2|ab|ab|2|ab|ab|2不可能比较大小解析： 当(ab)(ab)0 时，|ab| |ab| |(ab)(ab)|2|a|2，当(ab)(ab)0 时，|ab| |ab| |(ab)(ab)|2|b|2.答案： B6设 x，yR ，a1，b1.若 axb A2C1y1 13，ab2 3，则 的最大值为( )x y3B.21D.2解析： axby3，xloga3，ylog 3， log x y l

4、og 3 log 3 3alog blog3ab2ablog log 31，故选 C.答案： C1a(11 a(1 a)(1a)(1a)(1(1a)(1a)(1(1a)(1a)121231 2 31 2 31 2 31231231233123p.70a2B|log (1a)|log (1a)| C|log (1a)log (1a)|log (1a)|log (1a)|解析： 令 a ，代入可排除 B、C、D. 答案： A8若实数 a，b 满足 ab2，则 3a3b的最小值是( )A18C2 3B64D. 3解析： 3a3b2 3a3b23ab2 326.答案： B9已知|a |b|，m|a|b

5、 | |a|b|，n ，则 m，n 之间的大小关系是( ) |ab | |ab|Amn CmnBmn Dmn解析： |a| |b |ab|a| |b |，|a| |b | |a| |b |m 1，|ab| |a| |b |a| |b | |a| |b |n 1，m1n.|ab| |a | |b |答案： D10某工厂年产值第二年比第一年增长的百分率为p ，第三年比第二年增长的百分率为 p ，第四年比 第三年增长的百分率为 p ，则年平均增长率 p 的最大值为( )3A. p p pp p pC.3p p pB.31p 1p1p D23解析： (1p)3(1p)(1p )(1p )，1p3 1p

6、 1p 1p 1p 1p1p ，p p p 1 2 33答案： B，2sin xcos x tan x11sin 2x sin 2x5911若 a，b，c0，且 a22ab2ac4bc12，则 abc 的最小值是( )A2 3C2解析： a22ab2ac4bca(a2c)2b(a2c) (a2c)(a2b)a2ca2b 2 2 B3D. 3(abc)212，又 a，b，c0，abc2 3.答案： A 1cos 2x8sin2 x12当 0 x0，且 tan x 时取等号21cos 2x8sin2 x 53cos 2x方法二：f(x) (02x0.答案： C二、填空题(本大题共 4 小题，每小题

7、 4 分，共 16 分请把正确答案填在题中横线上)2 2 2可得2 244 13已知 ，则 的取值范围是_ 解析： 利用不等式的性质进行求解由 答案： 0.2 214设集合 Sx|x2|3，Tx|ax3，x23 或 x25 或 x5 或 x1又Tx|axa8，STR，a53a1.答案： 3a1，求函数 y 的最小值为_x1解析： x1，x10，x5x2x14x11y x1 x1(x1)542x1x159.x1当且仅当 x1 ，即 x1 时，等号成立x1y 的最小值是 9.答案： 916某商品进货价每件 50 元，据市场调查，当销售价格(每件 x 元)在 50 x80 时，每天售出的件数 P 1

8、05，若想每天获得的利润最多，销售价格每件应定为_元x402解析： 设销售价格定为每件 x 元(50 x80)，每天获得利润 y 元，则：y 2 500.100tmax1 1 1 x ybx ayy xbx aymin105x50y(x50) P ，x402设 x50t，则 0t30，105t 105tt102 t220t100105 105 t 20 2020当且仅当 t10，即 x60 时，y 2 500.答案： 60三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)x17(12 分)已知 30 x42,16y24，求 xy，x2y， 的取值范围y

9、解析： 30 x42,16y24，46xy66.16y24，482y32，18x2y10.30 x42， .24 y 165 x 214 y 8.a b18(12 分)已知 a，b，x，yR ，x，y 为变量，a，b 为常数，且 ab10， 1，xy 的最小x y值为 18，求 a，b.a b解析： xy(xy)ab ab2 ab( a b)2，当且仅当 时取等号y x又(xy) ( a b)218，即 ab2 ab18321 3 12 23 12 2又 ab10a2 由可得 或b8 82.19(12 分)解不等式|x1|x|2.解析： 方法一：利用分类讨论的思想方法当 x1 时，x1x2，解

10、得 x1；当1x0 时，x1x2，解得1x0； 当 x0 时，x1x2，解得 0 x .2因此，原不等式的解集为x| x . 方法二：利用方程和函数的思想方法令 f(x)|x1| |x |22x1x0，11x0，2x3x1.作函数 f(x)的图象(如图)，知当 f(x)0 时， x .2 2故原不等式的解集为 3 1 x| x .方法三：利用数形结合的思想方法由绝对值的几何意义知，|x1|表示数轴上点 P(x)到点 A(1)的距离，|x|表示数轴上点 P(x)到点 O(0) 的距离由条件知，这两个距离之和小于 2.作数轴(如图)，知原不等式的解集为2 23 1 xx4 3x 3x 43 9，3

11、x 3x 4 2 92 9 4 31 12 500 22 5001212 500 3 1 x| x0)的最值x2解析： 由已知 x0，y3x x2 2 2 x2333x 3x 4 3 2 2 x23当且仅当 ，即 x 时，取等号2 2 x2 33当 x 时，函数 y3x 的最小值为 3 9.3 x221(12 分)在某交通拥挤地段，交通部门规定，在此地段内的车距 d(m)正比于车速 v(km/h)的平方与 车身长 s(m)的积，且最小车距不得少于半个车身长，假定车身长均为 s(m)，且车速为 50 km/h 时车距恰为 车身长 s，问交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此地段的车流量 Q 最大

12、？解析： 由题意，知车身长 s 为常量，车距 d 为变量且dkv2s，把 v50，ds 代入，得 k ，把 d s 代入1d v2s，得 v25 2.所以s025 2.则车流量3s2v22 500Q 2s 1 ss1 vs22 11 000v025 2.s1 当 025 2时，Q 1 000v 1 000 v2 1 v 2 500 v 2 500s21 000 25 000.1 vv 2 500当且仅当 ，即 v50 时，等号成立即当 v50 时，Q 取得最大值 Q v 2 500所以车速规定为 50km/h 时，该地段的车流量 Q 最大25 000 .因为 Q Q ，22(14 分)已知函数

13、 f(x)ax2fxx04(a 为非零实数)，设函数 F(x)fxx0.若 f(2)0，求 F(x)的表达式；在(1)的条件下，解不等式 1|F(x)|2；设 mn0，试判断 F(m)F(n)能否大于 0? 解析： (1)f(2)0，4a40，得 a1，f(x)x24，x24 x0 F(x)x24x0 的情况当 x0 时，由|F(2)|0，故当 0bc2c2 0a b2 时，解不等式 1x242，得 5x 6；综合上述可知原不等式的解集为x| 2x 3或 5x 6或 3x 2或 6x 5 (3)f(x)ax24，ax24 x0F(x) ，ax24x0mn0，则 n0，mn0，m2n2，F(m)

14、F(n)am24an24a(m2n2)，所以：当 a0 时，F(m)F(n)能大于 0，当 a ，则下列不等式一定成立的是( )c2 c2Aa2b2Blg alg b1 1C. b c 33aa b解析： 从已知不等式入手： ab(c0)，其中 a，b 可异号或其中一个为 0，由此否定 A、B、 C，应选 D.答案： D1 12若 0，则下列结论不正确的是( )a bAa2b2Bab2a bD|a|b |ab |1 11 1 a b解析： 因为 0a0且b0baaba0，b0ba0，y0，xy1， x y的最大值是( )A1B. 2C.22D.32解析： x0，y0，1xy2 xy， xy，

15、x y2xy 2(当且仅当 xy 时取“”)2答案： B6用分析法证明：欲使AB，只需CD，这里是的( )A充分条件 C充要条件B必要条件D既不充分也不必要条件解析： 分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立，即 ，所以是的必要条件 答案： B7已知 0a0B21ab2Clog alog b2D2b a解析： 方法一：特值法令 a ，b 代入可得 方法二：因为 0ab 且 ab1，所以 0a1，所以 log2a0.1ab0 所以 2ab2 所以 2 a b4，而 abab22 ，4所以 log2alog b0，b0，则“ab”是“a b ”成立的( ) A充分不必要条件必要不充分条件充要条件即

16、不充分也不必要条件解析： a b ab (ab) a0，b0，11 .ab(ab)1 1 1 1 0a b .可得“ab”是“a b ”成立的充要条件 答案： C9设 a0，b0，则以下不等式中不恒成立的是( )1 1A(ab) 4Ca2b222a2bBa3b32ab2D. |ab| a b解析： 因为(ab)1 1a b2 ab 24，所以 A 正确 aba3b32ab2(ab)(a2abb2)0，但 a，b 大小不确定，所以 B 错误32b a ab ab ab2 2xa1ax(a2b22)(2a2b)(a1)2(b1)20，所以 C 正确|ab| a b|ab| b abab0，所以 D

17、 正确答案： Ba2 b210设 a，bR ，且 ab，P ，Qab，则( )b aAPQ CP0，PQ.答案： A11若函数 f(x)，g(x)分别是 R 上的奇函数、偶函数，且满足 f(x)g(x)ex，则有( )Af(2)f(3)g(0) Cf(2)g(0)f(3)Bg(0)f(3)f(2) Dg(0)f(2)b 3 5 2 682 1582 12，同理可比较得 bc. 答案： abc14已知三个不等式：c d(1)ab0；(2) ad.a b以其中两个作为条件，余下一个作为结论，为_解析： 运用不等式性质进行推理，从较复杂的分式不等式(2)切入，去寻觅它与(1)的联系c d c d c

18、 d 0bcad 0ab(bcad)0.答案： (1)、(3)(2)；(1)、(2)(3)；(2)、(3)(1)15若 f(n) n211n，g(n)n n21，(n) ，则 f(n)，g(n)，(n)的大小顺序为_解析： 因为 f(n)n21nn211n，g(n)nn21n21.1n又因为n21n2n n21n，所以 f(n)(n)(n)f(n)16完成反证法整体的全过程题目：设 a ，a ，a 是 1,2,3，7 的一个排列，求证：乘积 p(a 1)(a 2)(a 7)为偶数证明：反设 p 为奇数，则_均为奇数因奇数个奇数的和还是奇数，所以有奇数_._.0.但奇数偶数，这一矛盾说明 p 为

19、偶数解析： 反设 p 为奇数，则(a 1)，(a 2)，(a 7)均为奇数 因为数个奇数的和还是奇数，所以有奇数(a11)(a 2)(a 7)1 271271271 27 abc同理 1 ， 1 1 1 1 abc1(aa a )(1237)0.但奇数偶数，这一矛盾说明 p 为偶数答案： (a 1)，(a 2)，(a 7)(a 1)(a 2)(a 7)(a a a )(1237)三、解答题(本大题共 6 个小题，共 74 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17(12 分)若 abc，求证：a2bb2cc2aa2cb2ac2b.证明： abc，ab0，bc0，ac0，于是：a

20、2bb2cc2a(a2cb2ac2b)(a2ba2c)(b2cb2a)(c2ac2b)a2(bc)b2(ca)c2(ab)a2(bc)b2(bc)c2(ab)b2(ab)(bc)(a2b2)(ab)(c2b2)(bc)(ab)(ab)(ab)(cb)(cb) (bc)(ab)ab(cb)(bc)(ab)(ac)0，a2bb2cc2a1 10.x y1 1证明： 用分析法证明8 31 10832 241 102 102 242 10 24 10.最后一个不等式是成立的，故原不等式成立1y 1x20(12 分)若 x，y0，且 xy2，则 和 中至少有一个小于 2.x y1y 1x证明： 反设 2

21、 且 2，x，y0，1y2x,1x2y 两边相加，则2(xy)2(xy)，可得 xy2，与 xy2 矛盾，1y 1x 和 中至少有一个小于 2.x y21(12 分)已知 a，b，c，d 都是实数，且 a2b21，c2d21，求证|acbd|1. 证明： 证法一(综合法) 因为 a，b，c，d 都是实数，所以|acbd|ac| |bd |a2c2 b2d22 2a2b2c2d2.2又因为 a2b21，c2d21. 所以|acbd|1.证法二(比较法) 显然有|acbd|11acbd1.先证明 acbd1. acbd(1)acbd 2 2a2b2 c2d2 acbd 2 21 12nnnn1n2

22、 2n n1 2nnnnnq 642 ，bad1n32 2ac2bd2 0.2acbd1.再证明 acbd1.1(acbd) (acbd)2 2a2b2 c2d2 acbd 2 2ac2bd2 0，acbd1.综上得|acbd|1.证法三(分析法) 要证|acbd|1.只需证明(acbd)21.即只需证明 a2c22abcdb2d21.由于 a2b21，c2d21，因此式等价于a2c22abcdb2d2(a2b2)(c2d2)将式展开、化简，得(adbc)20.因为 a，b，c，d 都是实数，所以式成立，即式成立，原命题得证22(14 分)数列a 为等差数列，a 为正整数，其前 n 项和为 S

23、 ，数列b 为等比数列，且 a 3，b11，数列ba 是公比为 64 的等比数列，b S 64.(1)求 a ，b ；1 1 1 3(2)求证： .S S S 4解析： (1)设a 的公差为 d，b 的公比为 q，则 d 为正整数，a 3(n1)d，b qn1，ban1 q3nd 依题意有 n q S b 6dq64，d 6由(6d)q64 知 q 为正有理数，故 d 为 6 的因子 1,2,3,6 之一， 解得 d2，q8.nnn nn21 2n1 n21 n1 n21 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n1 1 2 2n n1 2 n 1 2 n故 a32(n1)2n1，b 8n1.

24、(2)证明：S 35(2n1)n(n2)1 1 1 1 1 1 1 S S S 13 24 351 1 1 1 1 1 1 2132 4 3 5 n 1 1 1 212 3bcd，x(ab)(cd)，y(ac)(bd)， z(ad)(bc)，则 x，y，z 的大小顺序为( )Axzy CxyzByzx Dzyd 且 bc，则(ab)(cd)(ac)(bd)，得 xb 且 cd，则(ac)(bd)(ad)(bc)，得 yz，故选 C.答案： C10若 0a a 0b b 且 a a b b 1，则下列代数式中值最大的是( )Aa b a bCa b a bBa a b b 1D.2解析： 利用特

25、值法，令 a 0.4，a 0.6，b 0.3，b 0.7 计算后作答；或根据排序原理，顺序和 最大答案： A11已知 a，b，c，d 均为实数，且 abcd4，a2b216c2d2 ，则 a 的最大值为( ) 3A16C4B10D2解析： 构造平面 ：xyz(a4)0，球 O：x2y2z2 a 32，4a c3 31 1 1a3b a3b a3b4 3b c 4a c 1 4a 3b 5 3b 4a c 4a c 3b5 43 3(ab)2则点(b，c，d)必为平面 与球 O 的公共点，|a4|从而3163a2，即 a22a0，解得 0a2，故实数 a 的最大值是 2. 答案： D12x，y，

26、z 是非负实数，9x212y25z29，则函数 u3x6y5z 的最大值是( )A9C14解析： u2(3x6y5z)2B10D15(3x)2(2 3y)2( 5z)212( 3)2( 5)29981，u9.答案： A二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分请把正确答案填在题中横线上)1 1 113已知 a，b，c 都是正数，且 4a9bc3，则 的最小值是_a b c解析： 由 4a9bc3， 3b 1， a b c4 c 4 c 4 c3 3 3 3 3 3 a b c 3 3 a 3a 3b 3b 3 3c c3 3 a 3b 3a 3c 3b c 3 4 212.答

27、案： 12a2 b214已知 a，b 是给定的正数，则 的最小值是_sin2 cos2解析：a2 b2 sin2 cos2(sin2cos2)答案： (ab)2a2 b2 sin2 cos2.，2 4x 2y 33max33min15已知点 P 是边长为 2 3的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为 x，y，z，则 x，y，z 所满足的关系式为_，x2y2z2的最小值是_解析： 利用三角形面积相等，得 1 32 3(xyz) (2 3)2 即 xyz3；由(111)(x2y2z2)(xyz)29，则 x2y2z23.答案： xyz3 316若不等式|a1|x2y2z，对满足 x2y2z21

28、的一切实数 x，y，z 恒成立，则实数 a 的取值范围是_解析： 由柯西不等式可得(122222)(x2y2z2)(x2y2z)2，所以 x2y2z 的最大值为 3，故有|a1|3，a4 或 a2.答案： a4 或 a2三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(12 分)已知 a2b21，x2y21.求证：axby1.证明： a2b21，x2y21. 又由柯西不等式知1(a2b2)(x2y2)(axby)21(axby)2，1|axby|axby，所以不等式得证18(12 分)设 x22y21，求 x2y 的最值解析： 由|x2y| |1

29、 x 2 2y|12 x22y2 3.当且仅当 ，即 xy 时取等号 1 2 3所以，当 xy 时，3 3.当 xy 时， 3.19(12 分)设 ab0，求证：3a32b33a2b2ab2.(111)2于是 于是证明： ab0，aaabb0，a2a2a2b2b20，由顺序和乱序和，得a3a3a3b3b3a2ba2ba2aab2ab2.又 a2ba2ba2aab2ab23a2b2ab2.则 3a32b33a2b2ab2.20(12 分)已知 x，y，zR，且 xyz3，求 x2y2z2的最小值解析： 方法一：注意到 x，y，zR，且 xyz3 为定值， 利用柯西不等式得到(x2y2z2)(12

30、1212)(x1y1z1)29，从而 x2y2z23，当且仅当 xyz1 时取“”号，所以 x2y2z2的最小值为 3.方法二：可考虑利用基本不等式“a2b22ab”进行求解， 由 x2y2z2(xyz)2(2xy2xz2yz)9(x2y2x2z2y2z2)，从而求得 x2y2z23，当且仅当 xyz1 时取“”号，所以 x2y2z2 的最小值为 3.21(12 分)设 a，b，c 为正数，且不全相等，求证： 2 2 2 9 .ab bc ca abc证明： 构造两组数 ab，bc，ca；1，1，1，则由柯西不等式得bc(abbcca)ca1 1 1 ab bc ca，即 2(abc)1 1

31、1ab bc ca9.2 2 2 9 .ab bc ca abc2 2 2 9 .ab bc ca abc2 2 2 91 2 n 1 212nn12n1 2n2n n 21 2 n112n1 2n n所以 1 212n1 1由柯西不等式知，中有等号成立ab1abbc1bcca1caabbccaabc.因题设 a，b，c 不全相等，故中等号不成立，于是 .ab bc ca abcx2 x2 x2 122(14 分)设 x ，x ，x R ，且 x x x 1，求证： .1x 1x 1x n1证明： 因为 x x x 1，所以 n1(1x1)(1x )(1x )又x2 x2 x2 1x1 1x2

32、 1xn(n1)x2 x2 x2 1x1 1x2 1xn(1x )(1x )(1x )(x x x )21，x2 x2 x2 1 .1x 1x 1x n1第四讲数学归纳法证明不等式一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的)1 1 11用数学归纳法证明 1 1)时，第一步应验证不等式( )2 3 2n11A1 2 21 1 C1 32 31 1B1 2 2 31 1 1 D1 1，n 取的第一个自然数为 2，左端分母最大的项为22 ，故选 B. 1 3答案： B2用数学归纳法证明 123252(2n1)21 n(4n21)

33、的过程中，由 nk 递推到 nk1 时， 3等式左边增加的项为( ) A(2k)2C(2k1)2解析： 把 k1 代入(2n1)2B(2k3)2 D(2k2)2得(2k21)2即(2k1)2，选 C.答案： C3设凸 n 边形有 f(n)条对角线，则凸 n1 边形的对角线的条数，加上多的哪个点向其他点引的对角 线的条数 f(n1)为( )Af(n)n1 Cf(n)n1Bf(n)n Df(n)n2解析： 凸 n1 边形的对角线的条数等于凸 n 边形的对角线的条数，加上多的那个点向其他点引的 对角线的条数(n2)条，再加上原来有一边成为对角线，共有 f(n)n1 条对角线，故选 C.答案： C2

34、6 5 3 7 1 10 24观察下列各等式： 2， 2， 2， 2，依照以24 64 54 34 74 14 104 24上各式成立的规律，得一般性的等式为( )n 8nA. 2n4 8n4n1 n15B. 2n14 n14n n4C. 2n4 n44n1 n5D. 2n14 n54解析： 观察归纳知选 A.答案： A5欲用数学归纳法证明：对于足够大的自然数 n，总有 2 的最小值应该是( )nn3，那么验证不等式成立所取的第一个 nA1C10B9Dn10，且 nN解析： 由 2101 024103 知，故应选 C.答案： C1 1 1 16用数学归纳法证明： 1(nN*，n2)时，由“k

35、到 k1”，不等式左端的n n1 n2 2n变化是( )1 1 1 1k1 1 1 1 11 1 1k 1A增加 一项2k11 1B增加 和 两项2k1 2k11 1 1增加 和 两项，同时减少 一项 2k1 2k1 k以上都不对解析： 因 f(k) ，k1 k2 kk而 f(k1) ， k1 k2 kk kk1 kk2故 f(k1)f(k) ，故选 C.2k1 2k2答案： C7用数学归纳法证明 34n152n1(nN )能被 8 整除时，若 nk 时，命题成立，欲证当 nk1 时 命题成立，对于 34(k1)152(k1)1可变形为( )A5634k 125(34k 152k 1)B343

36、4k 15252kC34k 152k 1D25(34k 152k 1)解析： 由 34(k1)152(k1)18134k12552k12534k12534k15634k125(34k152k1)，故选 A.答案： A8用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*)”时，从 nk 到 nk1 等 式的左边需增乘代数式为( )A2k12k12k2 C.k12k1B.k12k3D.k1解析： 左边当 nk 时最后一项为 2k.左边当 nk1 时最后一项为 2k2，又第一项变为 k2， 2k12k2需乘 .k1答案： Cn1n n12 3 4n1234nn9数列 a 中，已知

37、 a 1，当 n2 时，a a 2n1，依次计算 a ，a ，a 后，猜想 a 的表达式是( )A3n2 C3n1Bn2 D4n3解析： 计算出 a 1，a 4，a 9，a 16.可猜 an2故应选 B.答案： B10用数学归纳法证明 123n2n4n2，则当 nk1 时左端应在 nk 的基础上加上( ) 2Ak2 B(k1)2k14 C.k12 2D(k21)(k22)(k1)2解析： 当 nk 时，左端1123k2，当 nk1 时，左端123k2(k21)(k22)(k1)2.故当 nk1 时，左端应在 nk 的基础上加上(k21)(k22)(k1)2，故应选 D.答案： D11用数学归纳

38、法证明“ n2nn1(nN *)”的第二步证 nk1 时(n1 已验证，nk 已假设成立)这样证明： k12k1 k23k2 2n1.证明：利用贝努利不等式 (1 x)n1 nx(n N1， n2， x 1 ， x0)的一个特例 1 2 2k112 2k1 2k1，得 1 2k12k1，k 分别取 1,2,3，n 时，n 个不等式左右两边 2k11 31 31 135144 (2k 1) (2k 1) 2(2k 1) k(2k 1) k4(k 1)4k21 1n2 3 4n1 1a an1 111 1 1a a 12 11a2aa311相乘，得(11) 1 1 2n13 5 2n1 .2n1即

39、(11) 1 11 1 2n12n1成立21(12 分)是否存在常数 a，b，c 使等式(n212)2(n222)n(n2n2)an4bn2c 对一切正整数 n 成立？证明你的结论解析： 存在分别有用 n1,2,3 代入，解方程组abc0， 16a4bc3， 81a9bc18a， 1b ，c0下面用数学归纳法证明当 n1 时，由上式可知等式成立；假设当 nk 时等式成立，则当 nk1 时，左边 (k 1)212 2(k 1)2 22 k(k 1)2 k2 (k 1)(k 1)2 (k 1)2 (k2 12) 2(k222) k(k2 k21 1 kk1 1 1 4 4 2 4 4(k1)2.由

40、(1)(2)得等式对一切的 nN 均成立1 122(14 分)对于数列a ，若 a a (a0，且 a1)，a a .n 1 a n a求 a ，a ，a ，并猜想a 的表达式；用数学归纳法证明你的猜想解析： (1)a a ，a a ，naa a aa21 a a4a 1 ，a21 aa21 1a a 2a21 aa21 a a4a214na1ka a1na6a4a21 ，aa4a21同理可得 aa8a6a4a21 aa6a4a21猜想 aa2na2n2a21 aa2n2a2n41a2n21a21 a2n1aa21a2n21 . aa2n1a41 a211(2)当 n1 时，右边 aaa21，

41、等式成立假设当 nk 时(kN*)，等式成立，即a2k21a ，则当 nk1 时， aa2k1ak11 a21 aa2k1 a k a2k21a21a2k21aaa2k212a2k1a2k21 ，aa2k11这就是说，当 nk1 时，等式也成立，根据可知，对于一切 nN a2n21a 成立aa2n1*，全册质量检测一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的)721 7 12 2 2 q，q ， 21已知：ab0，bbabCabbaBaabb Dabab解析： ab0ab，bab0babba答案： C2“acbd”是“ab

42、且 cd”的( )A必要不充分条件 C充分必要条件B充分不必要条件D既不充分也不必要条件解析： 易得 ab 且 cd 时必有 acbd.若 acbd 时，则可能有 ad 且 cd，选 A. 答案： A3a0，b0，且 ab2，则( )1Aab2 Ca2b221Bab2 Da2b23解析： 由 a0，b0，且 ab2，4(ab)2a2b22ab2(a2b2)，a2b22.选 C.答案： C4若不等式|2x3|4 与不等式 x2pxq0 的解集相同，则 pq 等于( )A127 C(12)7B712 D(3)4解析： |2x3|42x34 或 2x3 或 xQR CQRPBRPQ DRQP解析：

43、P217，Q2162 15，R2122 35，Q2P22 1510，R2P22 3550，P 最小Q2R22 1542 35，又(2 154)2166016 157616 152 154，Q2R2，Q0 和正整数 n，都有 xnxn2xn41 1 1 n1” xn4 xn2 x时，需验证的使命题成立的最小正整数值 n 应为( )An 1 Cn 1,2Bn 2D以上答案均不正确1解析： n 1 时，x 11 成立，再用数学归纳法证明x1 26x122x1611 2n1n1n1 2n1 2n1 2 n1 2n1 2n答案： A18函数 ylog x 5 (x1)的最小值为( )A3C4解析： x1

44、，x10，B3D4 1 ylog log log83，22x11 x1 当且仅当 x1 时等号成立，又 x0，x1x2 时，y 有最小值 3，选 B.答案： B9“|x1|2”是 x3 的( )A充分不必要条件 C充分必要条件B必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析： |x1|22x121x3.1x3x3，反之不成立从而得出“|x1|2”是“xq CpqBp0，qp.答案： B11已知实数 x，y 满足 x2y21，则(1xy)(1xy)有( min1 3A最小值 和最大值 1 B最小值 和最大值 12 41 3C最小值 和最大值2 4解析： 1x2y2|2xy|，

45、 |xy| ，2(1xy)(1xy)1(xy)2，D最小值 11x2y2 且 1x2y21. 4答案： B112在数列a 中，a ，且 S n(2n1)a ，通过求 a ，a ，a ，猜想 a 的表达式为(n 1 3 n n 2 3 4 n)1A.n1n1 1C.2n12n11B.2n2n11D.2n12n21解析： 经过 a 可算出 a2 ，a ，所以选 C.答案： C二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分请把正确答案填在题中横线上) 13若不等式|x1|a 成立的充分条件是 0 x4，则实数 a 的取值范围是_ 解析： |x1|a 1ax0，y0，xyxy2，则 xy 的最小值为_ 解析： 由 xyxy2 得 2(xy)xy，2(xy)xy22 即(xy)24(xy)80，xy22 3或 xy2 32， 又x0，y0，(xy) 2 321 1 12n1 1 12 3 n1 1 12 3 2k1 1 1 1 1 12 3 2k 答案： 2 3215若 f(n) n211n，g(n) ，nN ，则 f(n)与 g(n)的大小关系为_2n 解析： f(n)n21n f(n)1 1 1 n1