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1、 现代控制工程1第1章 绪论 3第1章 绪论：现代控制工程的发展1769年瓦特（J.Watt）发明蒸汽机，提供动力；1788年发明离心调速器，解决调速问题，加速了第一次工业革命的步伐。 随之而来的问题：调速器的不稳定问题。瓦特4第1章 绪论：现代控制工程的发展1868年英国的麦克斯韦尔(J. C. Maxwell)发表“论调速器”论文，被公认为自动控制理论的开端。 20世纪50年代以前的控制理论一般称为经典控制理论，主要包括以微分方程、拉普拉斯变换为主要数学工具的时域法、频率法、根轨迹法等。麦克斯韦尔（J.C.Maxwell）5第1章 绪论：现代控制工程的发展在二十世纪五十年代末开始，随着计算

2、机的飞速发展，推动了核能技术、空间技术的发展，从而出现了复杂多输入多输出系统、非线性系统和时变系统需要解决，这就需要寻找新的控制理论和方法。科学技术的发展不仅需要迅速地发展控制理论，而且也给现代控制理论的发展提供了两个重要的条件现代数学和数字计算机。现代数学，例如泛函分析、现代代数等，为现代控制理论提供了多种多样的分析工具；而数字计算机为现代控制理论发展提供了应用的平台。 6第1章 绪论：现代控制工程的发展1956年，苏联庞特里亚提出了极大值原理，解决了发射人造卫星的火箭控制问题，揭开了最优控制理论的序幕。同年，美国贝尔曼提出了动态规划方法，便于用数字计算机实现最优控制。贝尔曼庞特里亚金719

3、58年，美国惠特克等研制出第一个模型参考适应控制系统。卡尔曼提出递推估计的自动优化控制原理，解决了随机噪声干扰下的系统状态的估计问题，奠定了自校正控制器的基础。1959年，罗马尼亚波波夫提出超稳定性理论。第1章 绪论：现代控制工程的发展81960年，卡尔曼引入状态空间法分析系统，提出能控性、能观测性、最佳调节器和卡尔曼滤波等重要概念，奠定了现代控制理论的基础。1963年，中外学者提出极点配置基本定理。第1章 绪论：现代控制工程的发展卡尔曼91970年，英国UMIST的罗森布罗克(H. H. Rosenbrock)提出多变量频域法，将经典控制理论中的频域方法推广到多变量系统，架起了现代控制理论与

4、经典控制理论的桥梁。 控制理论是基于数学模型分析与设计系统，所以，如何得到系统的数学模型成为控制理论应用的瓶颈问题。1967年，瑞典阿斯特勒姆（K. J. Astrom）提出最小二乘系统辨识方法，解决了线性定常系统的参数估计和定阶问题。 第1章 绪论：现代控制工程的发展1020世纪80年代以来，计算机的快速更新换代极大地推动了控制理论的发展。世界各国工业向着大型、连续、综合化发展，其构成的控制系统也变得越来越复杂。实际控制系统的复杂性可归纳为：（1）对象复杂。 （2）环境复杂。 （3）任务复杂。 第1章 绪论：现代控制工程的发展11第1章 绪论：现代控制工程的发展12系统的不确定性（对象和环境

5、）是最困难的问题，也是对传统控制方法的最大挑战，导致了智能控制策略的产生。自动控制与人工智能的结合产生了智能控制。提出的模糊逻辑控制、神经网络和专家控制三种典型的智能控制为大多数人接受。分级递阶智能控制、仿人智能控制、学习控制以及遗传算法也有研究和应用。复合控制模式是控制策略的发展方向。第1章 绪论：现代控制工程的发展13智能控制是一门新兴的理论和技术，具有非常广泛的应用，例如智能机器人、智能过程控制、智能调度与规划、专家控制、智能故障诊断、智能仪器、医院监控、语音控制、飞行器控制及自动制造系统控制等。第1章 绪论：现代控制工程的发展洗衣机智能控制电冰箱智能控制14复合控制模式是控制策略的发展

6、方向。第1章 绪论：现代控制工程的发展15THE END第 2 章 状态空间数学模型 第2章 状态空间数学模型状态空间方法是基于状态空间模型分析与设计自动控制系统。状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之间的关系，比输入输出模型更深入地揭示了系统的动态特性。本章首先介绍状态的概念以及状态空间模型的建立方法，然后介绍系统的状态空间模型的实现，为系统分析与设计奠定基础。17第2章 状态空间数学模型2.1 状态与状态空间的概念 2.2 系统的状态空间模型2.3 线性系统的状态空间模型与线性变换2.4 控制系统的实现2.5 多变量系统的传递矩阵2.6 控制系统的离散状态空间模型182.1 状态

7、与状态空间的概念 例：图2.1所示弹簧-阻尼器系统19在外作用力F(t)已知的情况下，如果知道了物体在某一时刻的位移及速度,就能确定系统未来的动态响应。如果仅知道物体的位移或速度，就不能确定系统未来的动态响应。物体的位移、速度及加速度这三个量显然是不独立的，可以根据其中两个量确定另外一个量，因此这个量对于描述系统状态是多余的。可选择物体在某一时刻的位移及速度为弹簧-阻尼器系统在某一时刻的状态。20状态是系统中一些信息的集合，在已知未来外部输入的情况下，这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。系统在各个时刻的状态是变化的，能够确定系统各个时刻状态的具有最少个数变量的一组变量称为状态变量。以

8、n个状态变量作为坐标轴所组成的维空间称为状态空间。2.1 状态与状态空间的概念状态轨迹：以 为起点，随着时间的推移， 在状态空间绘出的一条轨迹。2.2 系统的状态空间模型212.2.1 建立状态空间模型的方法描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶微分方程组称为状态方程。描述系统输出变量与系统状态变量、输入变量之间关系的方程称为输出方程。系统的状态方程和输出方程组成系统的状态空间模型，或称为动态方程。状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之间的关系，所以又称为内部描述模型。它比输入输出模型更深入地揭示了系统的动态特性。22选取的状态变量一定要满足状态的定义，首先检查是否相互独立，即不能

9、由其它变量导出某一变量；其次检查是否充分，即是否完全决定了系统的状态。状态变量的个数应等于系统中独立储能元件的个数 。 选择状态变量一般有三条途径(不限于)： （1）选择系统中储能元件的输出物理量作为状态变量； （2）选择系统的输出变量及其阶导数作为状态变量（为系统独立储能元件的个数）； （3）选择能使状态方程成为某种标准形式的变量作为状态变量。2.2.1 建立状态空间模型的方法2.2.1 建立状态空间模型的方法23 例2.1 建立图示质量-弹簧-阻尼器系统的状态空间模型。 选取状态变量为 根据牛顿定律得 系统的状态方程 系统的输出方程为 状态空间表达式 2.2.1 建立状态空间模型的方法24

10、例2.2 建立图示RLC网络的状态空间模型。 选取状态变量为 根据电压电流定律得 2.2.1 建立状态空间模型的方法25从上面例题可以看出：（1） 状态变量的选择不唯一，因此状态方程也不唯一（但在相似意义下是唯一的）；（2）状态变量的个数一定；（3）状态变量可以是有明显物理意义的量，也可以是没有明显物理意义的量。状态变量可以是可测的量，也可以是不可测的量。很多系统虽然具有不同的物理特性，但却具有相同形式的数学模型。 2.2.2 由状态空间模型求微分方程26如果已经得到了系统的状态空间模型，只要消除状态空间模型中的状态变量，即可得到系统输出变量与输入变量之间的关系，就得到系统的微分方程描述。例2

11、.4 例2.1所示弹簧-阻尼器系统的状态空间模型为微分方程为 2.2.2 由状态空间模型求微分方程27例2.5 对于例2.2所示的RLC网络，若选状态变量为电感中的电流和电容上的电压，则状态空间模型为微分方程为 2.3 线性系统的状态空间模型与线性变换28 状态空间模型的一般表示式（1） 2.3.1 SISO线性系统的状态空间模型2.3.2 MIMO线性系统的状态空间模型29多输入多输出线性系统的状态方程可以表示为输出方程表示为2.3.2 MIMO线性系统的状态空间模型30简记为多输入多输出线性系统的状态方程矩阵形式为 2.3.2 MIMO线性系统的状态空间模型31多输入多输出系统的矩阵方框图

12、 2.3.3 状态方程的线性变换32状态变量的选择不唯一，状态方程也不唯一，但这些状态方程可以通过线性变换得到，因此状态方程在相似意义下是唯一的。可以通过线性变换将系统的一般模型变换为简单规范的标准型，从而简化系统的分析和设计。332.3.3 状态方程的线性变换设状态变量取为x时，系统的状态空间模型为取线性变换系统的状态空间模型变换为 P?第5章介绍2.3.3 状态方程的线性变换34考察经非奇异线性变换后，特征值的变化情况。经非奇异线性变换后，状态方程的特征值不变，所以，一般称特征值是系统的不变量。2.3.3 状态方程的线性变换例2.6 已知系统的状态方程为35取线性变换为求变换后的系统的状态

13、方程。2.3.3 状态方程的线性变换36 解：取2.4 控制系统的实现372.4.1 系统的实现问题系统的实现是根据系统的外部描述构造一个内部结构，要求既保持外部描述的输入输出关系，又要将系统的内部结构确定下来。根据输入输出关系求得的状态空间模型不是唯一的，有无穷多个状态空间模型具有相同的输入输出关系。 由状态空间模型求微分方程较容易，只要消除状态变量，得到输出与输入的关系式就行了。由系统的微分方程、传递函数等外部数学模型确定等价的状态空间等内部数学模型称为系统的实现。2.4.2 不含有输入导数项的微分方程的实现38不含有输入导数项的微分方程的一般描述为若将状态变量选为系统的状态方程为 392

14、.4.2 不含有输入导数项的微分方程的实现表达为矩阵形式2.4.3 含有输入导数项的微分方程的实现含有输入导数项的微分方程的一般描述为40这时，不能选输出及其各阶导数，否则状态变量中包含输入信号的导数，使得当输入信号出现阶跃时，状态变量将是不确定的，不满足选择状态变量的要求。 （1）方法一: 选取系统的状态变量为2.4.3 含有输入导数项的微分方程的实现412.4.3 含有输入导数项的微分方程的实现例2.8 求系统的状态空间模型。422.4.3 含有输入导数项的微分方程的实现 （2）方法二：基于方框图变换与微分方程等效的方框图进行等效变换。432.4.3 含有输入导数项的微分方程的实现44取状

15、态变量为引入中间变量z，则微分方程可化成下面两个方程表示所以，状态方程为2.4.3 含有输入导数项的微分方程的实现输出方程为45这种方案选择的状态变量已不具有明显的物理意义。例2.9 求系统的状态空间实现。解 2.5 多变量系统的传递矩阵2.5.1 多变量系统传递矩阵的概念对于多变量系统，每个输入和每个输出之间的关系都用一个传递函数描述，这些传递函数构成了一个矩阵，称为传递矩阵。46由于线性系统满足叠加原理，所以，系统的各个输出分别为2.5.1 多变量系统传递矩阵的概念表示为矩阵形式47传递矩阵定义为 2.5.2 从状态空间模型求传递矩阵设MIMO线性定常系统的状态空间模型为48传递矩阵为2.

16、5.2 从状态空间模型求传递矩阵49例2.10 已知系统状态空间模型，求传递矩阵。2.5.3 多变量控制系统的结构图简化50系统的传递矩阵为 512.6 控制系统的离散状态空间模型设线性定常系统的差分方程描述为若状态变量选择为 522.6 控制系统的离散状态空间模型当差分方程中含有输入量的差分项时，类似于连续状态空间模型中的方法，状态变量可以选择为2.6 控制系统的离散状态空间模型53例2.12 已知系统的差分方程，求离散状态空间模型。2.6 控制系统的离散状态空间模型54552.8 本章小结状态是系统中一些信息的集合，在已知未来外部输入的情况下，这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。

17、描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶微分方程组称为状态方程。描述系统输出变量与系统状态变量、输入变量之间关系的方程称为输出方程。状态变量可以选择：系统中储能元件的输出物理量、输出变量及其阶导数、使状态方程成为某种标准形式的变量。状态变量的选择不唯一，但个数一定。状态变量可以是有明显物理意义的量，也可以是没有明显物理意义的量；可以是可测量，也可以是不可测量。状态方程不唯一，在相似意义下唯一。消除状态空间模型中的状态变量，可得到系统的微分方程描述。状态方程可以通过线性变换得到状态方程的其他形式。562.8 本章小结由系统的微分方程等外部数学模型确定等价的状态空间等内部数学模型，通常称为系统的实

18、现问题。对于不含有输入导数项的微分方程，取输出变量及其n-1阶导数作为状态变量可以得到状态空间模型实现。对于多变量系统，每个输入和每个输出之间的关系都用一个传递函数描述，这些传递函数构成的矩阵称为传递矩阵。除第i个输入外，设其余输入均为0，且在零初始条件下，第j个输出的拉氏变换与第i个输入的拉氏变换之比，定义为第i个输入和第j个输出之间的传递函数，记为从状态空间模型求传递矩阵：差分方程（2.54）的离散状态空间模型为式（2.55）。THE END57第3章 控制系统稳定性分析 第3章 控制系统稳定性分析系统稳定是保证系统能正常工作的首要条件。稳定性是控制系统最基本的性质。本章首先介绍李雅普诺夫

19、稳定性定义和系统稳定的条件，然后介绍李雅普诺夫稳定判据和非线性系统的克拉索夫斯基稳定判据。最后简要介绍非线性系统的小偏差线性化和李雅普诺夫第一法。动态特性。59第3章 控制系统稳定性分析3.1 控制系统稳定性定义 3.2 控制系统稳定的条件3.3 李雅普诺夫稳定判据3.4 线性系统的李雅普诺夫稳定判据603.1 控制系统稳定性定义 当系统受到扰动后，其状态偏离平衡状态，在随后所有时间内，系统的响应可能出现下列情况之一：(1)系统的自由响应是有界的；(2)系统的自由响应是无界的；(3)系统的自由响应不但是有界的，而且最终回到原先的平衡状态。李雅普诺夫把上述三种情况分别定义为稳定的、不稳定的和渐近

20、稳定的。如系统不稳定，则系统响应是无界的，或者进入振荡状态。因此，系统稳定是系统正常工作的首要条件。李雅普诺夫用范数作为状态空间“尺度”的度量。作为预备知识，下面首先介绍范数的概念。6162范数的定义有很多种。下面介绍常用的欧氏范数，它是二维、三维空间中长度概念的推广。1. 向量的范数n维向量空间的范数定义为2. 矩阵的范数 3.1.1 范数的概念3.1.2 平衡状态63系统没有输入作用时，处于自由运动状态，当系统到达某一状态，并且维持在此状态而不再发生变化时，这样的状态称为系统的平衡状态。连续系统 平衡状态是满足平衡方程 的系统状态。离散系统 的平衡状态 ，是对所有的k，都满足平衡方程 的系

21、统状态。当A非奇异时，线性系统只有一个平衡状态当A奇异时，线性系统有无穷多个平衡状态。非线性系统可能有多个平衡状态。这些平衡状态都可以由平衡方程解得。64例3.1 求下列非线性系统的平衡状态3.1.2 平衡状态解 由平衡状态定义，平衡状态应满足因此，该系统有三个平衡状态： 3.1.3 李雅普诺夫稳定性定义65 1892年，李雅普诺夫给出了稳定性的一般定义。（1）稳定：如果对于任意给定的每个实数 ，都对应存在着另一实数 ，使得从满足 的任意初态出发的系统响应，在所有的时间内都满足 ，则称系统的平衡状态 是稳定的。若 与 的选取无关，则称平衡状态是一致稳定的。S( )S( )x2x1xex0 x李

22、氏稳定系统响应有界663.1.3 李雅普诺夫稳定性定义（2）渐近稳定：若平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的，并且当 时， ，即 ，则称平衡状态渐近稳定。（3）大范围（渐近）稳定：如果对任意大的 ，系统总是稳定的，则称系统是大范围（渐近）稳定的。如果系统总是渐近稳定的，则称系统是大范围渐近稳定的。x0 x1xeS( )S( )xx2系统响应有界且收敛于平衡状态经典控制理论中的稳定等价于李氏渐近稳定673.1.3 李雅普诺夫稳定性定义（4）不稳定：如果对于某一实数 ，不论 取多小，由 内出发的轨迹，至少有一条轨迹越出，则称平衡状态为不稳定。系统响应无界683.1.3 李雅普诺夫稳定性定义注意：1、大

23、范围渐近稳定要求从状态空间中的所有点出发的轨迹都要收敛于xe，因此这类系统只能有一个平衡状态，这也是大范围渐近稳定的必要条件。 2、当A为非奇异的，则线性定常系统只有唯一的平衡状态xe = 0。所以若其是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。 3、由于非线性系统通常有多个平衡点，因此只能在小范围内渐近稳定。3.2 控制系统稳定的条件693.2.1单变量线性定常连续系统稳定条件单变量线性定常连续系统稳定的充分必要条件是：全部特征根或闭环极点都具有负实部，或闭环极点都位于复平面左半部。3.2.1单变量线性定常连续系统稳定条件70由韦达定理，特征方程的根与系数存在下列关系：系统稳定的必要条件是：特征

24、方程的系数同号，而且都不为零。 3.2.2 多变量线性定常连续系统稳定条件71描述MIMO线性定常连续系统的状态方程为设A有相异特征值，则存在非奇异线性变换使其为对角矩阵非奇异线性变换后的状态方程的零输入解为状态方程的零输入解为 多变量线性定常连续系统稳定的充分必要条件是：系统矩阵A的全部特征值具有负实部，或者说都位于复平面左半部。3.2.3 单变量线性定常离散系统的稳定条件72线性定常离散系统输出的Z变换为现在讨论系统单位脉冲响应（1）脉冲传递函数有个互异的单极点 （2）脉冲传递函数有一对共轭复数极点 3.2.3 单变量线性定常离散系统的稳定条件73 线性定常离散系统稳定的充分必要条件是：闭

25、环脉冲传递函数的所有极点都位于平面的单位圆内。若在单位圆上有一对复数极点或一个实极点，而其它极点在单位圆内，系统是临界稳定的。若在单位圆上有重极点或者在单位圆外有一个以上的极点，系统是不稳定的。（3）含有重极点 3.2.4 多变量线性定常离散系统的稳定条件74设线性定常离散系统的状态方程为（1）A有互异特征值非奇异线性变换 （2）A的特征值中有重根线性定常离散系统稳定的充分必要条件是：A的所有特征值全部在复平面的单位圆内。 3.3 李雅普诺夫稳定判据75李雅普诺夫稳定判据是1892年提出的，它给出了连续非线性系统渐近稳定的充分条件和连续线性定常系统渐近稳定的充分必要条件。1958年被推广到离散

26、系统。很多力学系统是一个能耗系统，其总能量随着时间的变化不断减少，最后回到它的最小储能状态。因此，能量的度量可以作为力学系统稳定性的度量。但是，一般系统没有像力学问题那样有明显的动能和位能的概念。李雅普诺夫抽象了“能量”的概念，构造了一个类似于“能量”的正定函数，称为李雅普诺夫函数。通过分析这个表示“能量”的正定函数是否随着时间的增长而减少，即分析李雅普诺夫函数的导数是否一个负定的函数，从而可以判别系统的稳定性。 3.3.1 函数的正定性761.标量函数的正定性(1) 当x=0时，V(x)=0；当 时，V(x)0，则称V(x)是正定的；(2) 若V(x)除原点和某些状态下为零，而其余部分都大于

27、零，则称V(x)为半正定的；(3) 若-V(x)是正定的，则称V(x)是负定的；(4) 若-V(x)是半正定的，则称V(x)是半负定的；(5) 若V(x)在某些状态下是正值，在另外一些状态下是负值，则称V(x)是不定的。3.3.1 函数的正定性77容易检验下列标量函数的正定性： (1) 正定(2) 半正定(3) 负定(4) 半负定(5) 不定3.3.1 函数的正定性782.二次型标量函数及其正定性条件则称为二次型标量函数。其中P一般表示为实对称矩阵。塞尔维斯特准则：记P的主子行列式为V(x)正定的充要条件：V(x)负定的充要条件：3.3.2 非线性系统的李雅普诺夫稳定判据若非线性连续系统的状态

28、方程为79设系统的平衡状态为非线性连续系统的李雅普诺夫稳定判据：若存在一个标量函数 ，对所有的 有连续一阶偏导数，且 是正定的，则当 为负定时，平衡状态是渐近稳定的；当 为负定的，且 时，平衡状态是大范围渐近稳定的；当 为半负定时，平衡状态是李雅普诺夫定义下稳定的；当 为半负定的，且 不恒等于0时，平衡状态是大范围渐近稳定的；当 为正定时，平衡状态是不稳定的。3.3.2 非线性系统的李雅普诺夫稳定判据80非线性离散系统的李雅普诺夫稳定判据：对于非线性离散系统 若存在一个连续的标量函数 , ，对任意 ， 是正定的，则当对任意 ，沿轨线有为负定时，它的平衡状态是渐近稳定的；进一步，当 ， 时，平衡

29、状态则是大范围渐近稳定的；当 是正定时，平衡状态是不稳定的。标量函数 称为系统的李雅普诺夫函数。3.3.2 非线性系统的李雅普诺夫稳定判据81例3.2分析非线性系统的平衡状态的稳定性。解：确定平衡点即系统的平衡点为 取李雅普诺夫函数为 负定，系统平衡状态是渐近稳定的。 时， ，是大范围渐近稳定的。3.3.2 非线性系统的李雅普诺夫稳定判据82例3.3 判别系统稳定性解（0，0）是唯一的平衡点。取李氏函数为 李雅普诺夫函数的选取不是唯一的。本例也可取是半负定的。系统平衡点是李雅普诺夫定义下稳定的。 时，不恒等于0， 也不恒等于0，因此，系统平衡状态是大范围渐近稳定的。 833.3.2 非线性系统

30、的李雅普诺夫稳定判据李雅普诺夫稳定判据是最一般的方法，适用于线性和非线性系统。主要问题：难以寻找李雅普诺夫函数。李雅普诺夫稳定性理论本身没有提供构造李雅普诺夫函数的一般方法。3.4 线性系统的李雅普诺夫稳定判据84对线性系统，一定可以用二次型来构造非线性系统李雅普诺夫函数。因此，可以先给定一个李雅普诺夫函数，然后检验是否满足稳定的充分条件。下面介绍线性系统的李雅普诺夫函数的构造方法与李雅普诺夫稳定判据。3.4.1 线性连续系统的李雅普诺夫稳定判据85设线性时变连续系统的状态方程为可用正定二次型函数作为李雅普诺夫函数：令称为李雅普诺夫矩阵微分方程。 若Q是正定的，则 是负定的。因此，满足的实对称

31、矩阵所构成的正定二次型函数是李雅普诺夫函数。3.4.1 线性连续系统的李雅普诺夫稳定判据线性连续系统的李雅普诺夫稳定判据：线性连续（时变或定常）系统稳定的充分必要条件是，给定一正定的实对称阵Q(t)，存在一个正定实对称矩阵P(t)，使李雅普诺夫矩阵微分方程成立。86对线性定常系统，李雅普诺夫矩阵微分方程变为矩阵代数方程判断线性定常连续系统稳定性的步骤是：先取一个正定的实对称阵Q，然后根据式 解出P，最后检验P的正定性，即可确定系统的稳定性。由于Q阵可以任意指定，而判断结果与Q阵的具体选择无关，为简化计算通常取Q=I 。3.4.1 线性连续系统的李雅普诺夫稳定判据例3.6 分析系统的稳定性。87

32、解 取Q=I，代入 根据矩阵相等的定义，得到下列方程组：3.4.1 线性连续系统的李雅普诺夫稳定判据88解得 验证正定性：因为所以，P是正定的。因此，系统是（大范围）渐近稳定的，李雅普诺夫函数为3.4.2 线性离散系统的李雅普诺夫稳定判据设线性定常离散系统的状态方程为89取李雅普诺夫函数令 为离散系统的李雅普诺夫方程。 线性离散系统的李雅普诺夫稳定判据：线性定常离散系统渐近稳定的充分必要条件是，给定任一正定实对称阵Q，存在一个正定实对称阵P，满足离散系统的李雅普诺夫代数方程3.4.2 线性离散系统的李雅普诺夫稳定判据90 例3.7 分析系统的稳定性 解： 选Q=I，代入离散系统的李雅普诺夫代数

33、方程得 根据矩阵相等的定义得：解得 采用塞尔维斯特准则P为正定实对称阵，系统是大范围渐近稳定。李雅普诺夫函数为3.4.2 线性离散系统的李雅普诺夫稳定判据例3.8 确定系统平衡点处大范围渐近稳定的条件91解： 选Q=I，代入离散系统的李雅普诺夫代数方程（3.38）得 根据矩阵相等的定义，得到下列方程组：系统稳定的条件为 THE END92第4章 线性系统动态性能分析 第4章 线性系统动态性能分析当系统用状态方程描述时，可以通过求解状态方程分析系统动态特性。因此，本章讨论系统状态方程的求解问题。状态方程的求解实际上是求解线性微分方程组。求解一阶线性常系数微分方程组，通常是很容易的，可是，求解一阶

34、线性时变微分方程组却并非易事。下面引入状态转移矩阵的概念，使得定常系统和时变系统的求解公式具有一个统一的形式。本章重点讨论状态转移矩阵的定义、性质和计算方法。94第4章 线性系统动态性能分析4.1 线性连续定常系统状态方程的求解 4.2 线性连续时变系统状态方程的求解4.3 线性离散系统状态方程的求解954.1 线性连续定常系统状态方程的求解 4.1.1齐次状态方程的求解设线性定常系统齐次状态方程为961矩阵指数法 定义为状态转移矩阵，和A一样也是nn阶方阵由矩阵理论974.1.1齐次状态方程的求解 2状态转移矩阵状态转移矩阵的性质：984.1.1齐次状态方程的求解状态转移矩阵的计算方法（四种

35、） 直接求解法：根据定义 拉氏变换求解 待定系数法： 凯莱哈密顿（简称C-H）定理 标准型法求解：非奇异变换（对角型和约当型）994.1.1齐次状态方程的求解适合于计算机求解，求出的解不是解析形式（1）根据状态转移矩阵的定义求解（2）用拉氏变换法求解关键在于求出（sI-A）的逆即预解矩阵，再进行拉氏反变换。 维数3.状态转移矩阵的计算方法100两边取拉氏变换得：整理得：齐次状态方程：设初始状态：由解的唯一性得：可知拉氏反变换得：预解矩阵关键任务：？4.1.1齐次状态方程的求解（2）拉普拉斯变换法计算状态转移矩阵 前面已经解得：1014.1.1齐次状态方程的求解例 4-1 设系统状态方程如下，试

36、用拉氏变换法求解 解： 121024.1.1齐次状态方程的求解341031积分解法4.1.2非齐次状态方程的求解注意到x(t)分为两部分：一是初始状态的响应，称为转移分量；二是输入引起的响应，称为受控分量。线性系统叠加原理性质的反映。设线性连续定常系统的非齐次状态方程为4.1.2非齐次状态方程的求解104例4.1 求解状态方程解 前面已经解得系统的状态转移矩阵为4.1.2非齐次状态方程的求解105由式（4.14）得状态方程的解为4.1.2非齐次状态方程的求解1062拉氏变换解法4.1.2非齐次状态方程的求解107例4.2 用拉氏变换求解例4.1。与前面结果相同。4.2 线性连续时变系统状态方程

37、的求解108设线性时变系统的动态方程为4.2.1 齐次状态方程的解状态转移矩阵满足矩阵微分方程4.2.2状态转移矩阵的性质可逆性 ：传递性： 对第二变元的偏导数 ：4.2.3 状态转移矩阵的计算109线性时变系统的状态转移矩阵既是时间的函数，又是初始时刻的函数。因此，它的计算比计算线性定常系统的状态转移矩阵要困难得多，一般用级数近似法计算，即 例4.3计算状态转移矩阵 其中4.2.3 状态转移矩阵的计算110于是4.2.4 非齐次状态方程的解1114.3 线性离散系统状态方程的求解1124.3.1齐次状态方程的解线性离散系统状态转移矩阵4.3.2状态转移矩阵的性质113（1）满足自身矩阵差分方

38、程及初始条件：（2）传递性：（3）可逆性： 4.3.3 状态转移矩阵的计算114Z反变换计算方法4.3.3 状态转移矩阵的计算115例4.5 求下列线性定常离散齐次状态方程的状态转移矩阵 4.3.4线性定常离散系统非齐次状态方程的求解116设初始状态为x(0)，由迭代法得： 状态方程的解为4.3.4线性定常离散系统非齐次状态方程的求解117Z变换方法 例4.6 求解下列线性定常离散系统的状态方程： 解（1）求状态转移矩阵 4.3.4线性定常离散系统非齐次状态方程的求解118 （2）求状态轨线 Z反变换，得 THE END119第5章 线性系统的能控性和能观性分析 第5章 线性系统的能控性和能观

39、性分析能控性、能观性和稳定性一样，是控制系统的重要性质，是实现各种控制和状态估计的基础，在控制理论中起着核心的作用。本章首先介绍能控性、能观性的概念和能控性、能观性的判别准则。然后介绍状态空间模型的对角线标准型、能控标准型与能观标准型以及传递函数的几种标准型实现。最后简单介绍对偶原理和线性系统的规范分解。121第5章 线性系统的能控性和能观性分析5.1 能控性和能观性问题5.2 线性定常系统的能控性 5.3 线性定常系统的能观性5.4 状态空间模型的对角线标准型5.5 能控标准型与能观标准型5.6 传递函数的几种标准型实现5.7 对偶原理1225.1 能控性和能观性问题 123能控性、能观性的

40、概念是卡尔曼（Kalman）在1960年首先提出的。系统的状态空间描述可用图5.1表示。采用状态反馈可以实现各种控制，例如最优控制，如图5.2所示。124最优控制问题的任务是寻求控制作用，使系统达到预期状态。首要问题是系统的状态能否被控制？系统的能控性问题。5.1 能控性和能观性问题125为了实现状态反馈控制，应该能够测量全部状态，但实际状态是难以测量的，往往需要从可以测量的输出中估计出来。状态估计的任务就是设计状态估计器，从输出中估计出状态，以实现状态反馈。首要问题是从输出中能否估计出状态？系统的能观测性问题。5.1 能控性和能观性问题1265.1 能控性和能观性问题观察如下系统:显然，u只

41、能控制 而不能影响 ，我们称状态变量 是可控的，而 是不可控的。当系统所有状态可控，则称系统状态完全可控；如有一个状态变量是不可控的，则该系统是状态不可控的。能控性：指外输入u(t) 对系统状态变量x(t)和输出变量y(t)的支配能力，回答了u(t)能否使x(t)作任意转移的问题1275.1 能控性和能观性问题能观测性：指由系统的输出y(t)识别状态变量x(t)的能力，它回答了状态变量能否由输出反映出来。不能通过y(t)反映的状态为不能观状态观察如下系统结构图：可以称 是可观测的， 是不可观测的。5.1 能控性和能观性问题128下面用一个特殊的例子来粗略地说明能控性、能观性的概念。显然，x2与

42、i无关，与x1也无关，所以是不能控的。而y与x1无关，所以是不能观的。注意：上面只是粗略地说明。事实上，即使有关也不一定能控或者能观。1295.2.1 能控性的定义1.连续系统的能控性 定义：对于线性（定常、时变）系统，若对状态空间中的任意状态 和另一状态 ，存在一个有限的时间 和一个分段连续输入 ，能在 内使状态转移到 ，则称此状态是能控的，否则称为不能控的。5.2 线性定常系统的能控性若系统所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。5.2.1 能控性的定义130 2.离散系统的能控性定义 在有限时间区间 内，若存在无约束的阶梯控制序列 ，能使系统从任意初态 转移到任

43、意终态 ，则称该系统是状态完全能控的，简称是能控的。在上述能控性定义中，把系统的初始状态和终端状态都取为状态空间中的任意非零有限点，这种定义方式虽然具有一般性，但不便于数学处理。不失一般性，可以把终端状态规定为状态空间中的原点 。也可以把初始状态规定为状态空间中的原点，这种情况通常称为系统的能达性。对于线性定常系统，能控性和能达性是等价的。 5.2.2 能控性判别准则131能控性判别准则：线性定常（连续、离散）系统状态完全能控的充分必要条件是，由A，B构成的能控性判别矩阵满秩。即例5.1 判别下列系统的能控性。解: 所以，系统不（完全）能控。5.2.2 能控性判别准则132例5.2 判别下列系

44、统的能控性。 解: 所以，系统状态完全能控。5.2.2 能控性判别准则133 例5.3 判别下列系统的能控性。 解: 第二行与第三行成比例，所以系统不完全能控。5.2.2 能控性判别准则134 例5.4 判别下列系统的能控性。 解: 因为 所以，系统完全能控。5.2.2 能控性判别准则135 例5.5 判别下列系统的能控性。 解: 由于的前三列组成的矩阵的行列式不为0，因此所以系统完全能控。5.2.3 能控性第二判别准则136定理：在任何非奇异线性变换下，线性定常（连续、离散）状态方程的能控性保持不变。 证明：设线性定常连续系统的状态方程为经非奇异线性变换变换为 S的能控阵为 因为P是可逆即满

45、秩的，所以类似地，可以证明线性离散系统的情况。5.2.3 能控性第二判别准则137能控性第二判别准则特征值互异的情况设线性定常系统具有互异的特征值，则其状态完全能控的充分必要条件是：经非奇异线性变换后的对角线标准型： 阵不包含元素全为零的行。5.2.3 能控性第二判别准则138上述定理在判别对角线标准型状态方程的能控性时尤为简单。例如，容易判别下面四个系统的能控性。 完全能控 不完全能控 完全能控 不完全能控5.2.3 能控性第二判别准则139能控性第二判别准则重特征值情况若线性定常系统具有重特征值，且每一个重特征值对应一个特征向量，则系统状态完全能控的充分必要条件是：其经过非奇异变换后的约当

46、标准型中，每个约当小块的最后一行对应的阵的各行元素不全为零。5.2.3 能控性第二判别准则140例如下面四个系统：完全能控不完全能控完全能控不完全能控5.3 线性定常系统的能观性1415.3.1 能观性的定义定义：对线性定常系统，如果对任意给定的输入 总存在有限观测时间 ，使得根据 期间的输出 ，能唯一地确定系统初始时刻的状态 ，则称状态 是能观测的或者能观的。若系统的每一个状态都是能观的，则称系统是状态完全能观的，或简称是能观的。 1425.3 线性定常系统的能观性5.3.2 能观性判别准则 定常线性（连续、离散）系统充分必要条件是：能观测判别矩阵满秩，即 状态完全能观的5.3 线性定常系统

47、的能观性143例5.6 已知系统的动态方程为分析系统的能观性。 解所以，系统是能观的。5.3 线性定常系统的能观性144例5.7 已知系统的动态方程为 分析系统的能观性。 所以，系统是不可观的。解：5.3 线性定常系统的能观性145例5.8 已知系统的动态方程为分析系统的能观性。解 由能观性判别准则,有所以，系统是能观的。1465.3 线性定常系统的能观性例5.9 已知系统的动态方程为分析系统的能观性。解 由能观性判别准则所以，系统是不能观的。5.3.3 能观性第二判别准则147能观性第二判别准则：设线性定常系统中的A阵具有重特征值，且每一个重特征值只对应一个特征向量，则系统状态完全能观的充要

48、条件是经非奇异线性变换后的约当标准型中与每个约当块首行相对应的那些列，其元素不全为零。5.3.3 能观性第二判别准则148 系统完全能观系统不完全能观系统完全能观5.3.3 能观性第二判别准则149 系统不完全能观系统完全能观系统不完全能观5.4 状态空间模型的对角线标准型 这些内容在线性代数中已经作了充分的介绍，这里只归纳基本方法。读者也可以跳过这部分内容。5.4.1 系统的特征值和特征向量定义：若在向量空间存在一非零向量v,使150则称为矩阵A的特征值。任何满足上式的非零向量v称为矩阵A的对应于特征值的特征向量。例5.10 计算特征向量 解 计算A的特征值解之得： 5.4.1 系统的特征值

49、和特征向量151计算 的特征向量 解方程组得： 可以取任意相等的值，使 为非零向量，例如，取则 类似上面的计算可得 5.4.2 化矩阵A为对角阵1521. 的特征根互异当矩阵A具有相异的特征值时，取 为与 相对应的A的特征向量，则例5.11 将下列状态空间模型变换成对角线标准型。5.4.2 化矩阵A为对角阵153解 例5.10中已得到A的特征根为： 特征向量分别为 因此变换阵为5.4.2 化矩阵A为对角阵154则动态方程的对角线的标准型为5.4.2 化矩阵A为对角阵1552. A为特征根互异的相伴（友）矩阵使A化为对角线型的变换阵P是一个范得蒙矩阵，即5.4.2 化矩阵A为对角阵156例5.1

50、2 将矩阵变换为对角矩阵。解 容易求得A的特征值为 所以变换矩阵为 容易验证，可使A对角化，对角线上的元素为特征值-1，-2，-3。 5.4.2 化矩阵A为对角阵1573. 有重特征值，但具有n个独立的特征向量例5.13 将矩阵变换为对角矩阵。 解：特征方程为 特征根为： 代入 ，得5.4.2 化矩阵A为对角阵158解得v31=0。可见，对v11,v21没有约束，因此可以任取，只要使v1,v2为非零向量，并且互相独立。 例如，取v11=1，v21=0， 得取v11=0，v21=1 ，得显然是互相独立的两个特征向量。类似，求 的特征向量得：容易验证5.5 状态空间模型的能控标准型与能观标准型15

51、9选取不同的状态变量，系统状态空间模型便具有不同的形式，某些特定的形式称为标准型。状态空间模型的标准型，对于系统分析设计往往是很方便的。例如，对角线标准型对于状态转移矩阵的计算、能控性与能观性的分析都是十分方便的。但是从另外的角度来看，对角线标准型并不一定是合适的，其它标准型也许更为适用。能控标准型对于系统的状态反馈设计是方便的，能观标准型对于系统状态观测器的设计以及系统辨识是方便的。本节介绍如何将状态空间模型化成能控标准型和能观标准型。在下面的讨论中，将单输入单输出连续和离散线性定常系统都记为 ，线性变换后的系统记为5.5.1 第一能控标准型160定义：具有下列形式的状态方程称为第一能控标准

52、型。定理：具有第一能控标准型的状态方程是能控的。任一能控状态方程均可通过非奇异线性变换 ，变换为第一能控标准型，其中5.5.1 第一能控标准型161例5.18 将状态方程变换为第一能控标准型。解 首先检查系统的能控性。系统能控 第一能控标准型为 因为 所以变换阵T为系统的特征方程为 1625.5.1 第一能控标准型验证例5.19 将下述系统变换为第一能控标准型。变换阵：5.5.2 第二能控标准型163定义：具有下列形式的状态方程称为第二能控标准型： 定理：具有第二能控标准型的状态方程是能控的。任一能控状态方程均可变换为第二能控标准型，其线性变换为 5.5.2 第二能控标准型164验证例5.20

53、 将例5.19系统变换为第二能控标准型。解 由例5.19计算结果得5.5.3 第一能观标准型165定义：具有下列形式的状态空间模型称为第一能观标准型定理：具有第一能观标准型的动态方程是能观的。任一能观动态方程均可以变换为第一能观标准型，其变换为 5.5.3 第一能观标准型166例5.21 将动态方程变换为第一能观标准型。解：1）判别系统能观性：因为所以，系统能观，可以变换为能观标准型。 系统特征方程为则第一能观标准型为5.5.3 第一能观标准型1672）求变换矩阵5.5.4 第二能观标准型168定义：具有下列形式的动态空间表达式称为第二能观标准型。定理：具有第二能观标准型的动态方程是能观的。任

54、一能观动态方程均可以变换为第二能观标准型，其变换为 5.6 传递函数的几种标准型实现 169设单变量系统的传递函数为设G(s)为既约分式，由长除法得 5.6.1 能控标准型实现 1705.6.1 能控标准型实现171引进新的变量Z(s)，可用微分方程描述为取状态变量为 则能控标准型实现为 5.6.1 能控标准型实现172例5.22 求 能控标准型实现。解能控标准型实现为5.6.2 能观标准型实现1735.6.2 能观标准型实现174 例5.23 求能观标准型实现。解 由式(5.51)，能观标准型实现为5.7 对偶原理定义：若线性（连续或离散）定常系统 和，满足下列对偶关系： ， ， ，则称 和

55、 互为对偶系统。175对偶原理：一个系统的能控性等价于其对偶系统的能观性；一个系统的能观性等价于其对偶系统的能控性。图5.7 对偶系统定理 对偶系统具有相同的特征方程，它们的传递函数矩阵互为转置。即 1765.8 线性系统的规范分解系统结构分解的意义： 对于不能控或不能观系统来说，有效区分系统的能控、能观测以及不能控和不能观测部分，可以简化系统的分析和设计，也利于解决系统的实现问题。系统结构分解的方法非奇异线性变换状态空间分布图四种子系统能控能观子系统能控不能观能观不能控不能观不能控1775.8.1 能控性结构分解目的：将系统显性分解为能控和不能控两部分，为实现做准备(1)将状态空间描述变换为

56、能控性结构分解标准型：定理1：如果线性定常系统： 状态不完全能控，即，则一定存在非奇异变换178则能控性结构分解标准型：其中：结论：能控性结构分解主要在于寻找非奇异变换阵TC上三角阵5.8.1 能控性结构分解1795.8.1 能控性结构分解其中 是k 维能控部分： 是n-k 维不能控部分：零极点对消后简化（2）系统能控性矩阵的秩为能控子系统的秩（3）系统的传递函数与能控子系统的相同180u不能直接控制 ，且 也不能通过 间接受u的影响能控性分解示意图：能控部分不能控部分5.8.1 能控性结构分解1815.8.1 能控性结构分解请判断其能控性，若状态不完全能控，请按能控性分解。例：线性定常系统动

57、态方程如下：1）求能控性判别矩阵的秩解：系统状态不完全能控线性无关的列1825.8.1 能控性结构分解易得 ：2）按能控性进行分解,先构造非奇异矩阵Tc 方法：取Qc中线性无关的前两列为Tc中的前两列， 并保证其逆Tc-1存在，构造变换阵如下：1835.8.1 能控性结构分解（3）能控性结构分解标准型为：1845.8.2 能观性结构分解目的：将系统显性地分解为能观测和不能观测两部分。 也是观测器设计基础。定理2:如果线性定常系统： 状态不完全能观测,即其能观性判别矩阵的秩：（1）使状态空间描述变换为能观性结构分解标准型：则存在非奇异变换：1855.8.2 能观性结构分解写成方程为：其中：186

58、5.8.2 能观性结构分解其中 是k 维能观部分 是n-k 维不能观部分（2）系统能观测性矩阵的秩为能观测子系统的秩零极点对消后简化（3）系统的传递函数与能观子系统的相同1875.8.2 能观性结构分解对y没有直接影响，而 中又不含 的信息。能观测性分解示意图：能观测部分不能观测部分BoBNou1885.8.2 能观性结构分解判断其能观测性，如果状态不完全能观，按能观测性进行分解。例：线性定常系统动态方程如下1）求能观测性判别矩阵的秩解：系统状态不完全能观测。线性无关1895.8.2 能观性结构分解方法：取Qo中线性无关的前两行为To逆中的前两行，基于保证其逆T存在的原则，补充第三行，构造变换

59、阵：由此可以求出To ：2）构造非奇异变换矩阵To线性无关的两行1905.8.2 能观性结构分解可得能观测性结构分解标准型系统为：1915.8.3 系统结构的规范分解将状态空间描述变换为：定理3：如果线性定常系统： 状态不完全能控和 不完全能观测，则存在非奇异变换：能控子空间能观测子空间能控能观能控不能观不能控能观不能控也不能观1925.8.3 系统结构的规范分解其中：能控能观测：能控不能观测：能控部分不能控能观测：不能控不能观测：不能控部分1935.8.3 系统结构的规范分解能控能观测性分解示意图：1945.8.3 系统结构的规范分解非奇异变换阵的构造：逐步分解法原系统能控能观测：能控不能观

60、测：能控：不能控：能控性分解132不能控能观测：不能控不能观测：195其中，各变换阵如下：5.8.3 系统结构的规范分解THE END196第6章 状态反馈控制与状态观测器设计 198第6章 状态反馈控制与状态观测器设计问题： 1.反馈控制的作用？ 2.古典控制理论中的反馈控制方式？ 3.现代控制理论中的反馈控制方式？第6章 状态反馈控制与状态观测器设计由于采用了状态方程描述系统，所以可以采用状态变量进行反馈。由于状态空间描述了系统内部信息的传递关系，比微分方程、传递函数等外部描述更深入地揭示了系统的动态特性，所以，采用状态反馈比采用输出反馈具有更好的控制特性。此外采用状态反馈不但可以实现闭环