几何证明的拐杖-辅助线

1、几何证明的拐杖-辅助线编制人：李金泽编制日期：2016.6.6 培训师：李金泽 目录 CONTENTS132温故知新趣味引入知识梳理4典题探究目录 CONTENTS576当堂练习休息时间一（可展示一页PPT，内容：休息10分钟！）该模块可自由穿插进前五部分。休息模块（二）同上8游戏活动模块入门考10分钟 努力！每一个成功者都有一个开始。勇于开始,才能找到成功的路。温故知新探究三角形全等的思路（1）已知两边（2）已知一边一角（3）已知两角温故知新答案：趣味引入唐僧师徒摘桃子 一天，唐僧命徒弟悟空、八戒、沙僧三人去花果山摘些桃子。不长时间，徒弟三人摘完桃子高高兴兴回来。师父唐僧问：你们每人各摘回多

2、少个桃子？ 八戒憨笑着说：师父，我来考考你。我们每人摘的一样多，我筐里的桃子不到100个，如果3个3个地数，数到最后还剩1个。你算算，我们每人摘了多少个？ 沙僧神秘地说：师父，我也来考考你。我筐里的桃子，如果4个4个地数，数到最后还剩1个。你算算，我们每人摘了多少个？ 悟空笑眯眯地说：师父，我也来考考你。我筐里的桃子，如果5个5个地数，数到最后还剩1个。你算算，我们每人摘多少个？ 唐僧很快说出他们每人摘桃子的个数。你知道他们是怎么算出来的吗？趣味引入辅助线之歌 图中若有角分线，可向两边作垂线。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两边把线连。三角形

3、中有中线，延长加倍等中线。知识梳理常见辅助线的作法有以下几种：一、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”二、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”三、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理四、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”五、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长

4、，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目 典题探究一、倍长中线（线段）造全等（“8”字模型） 例1求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半证：AD=DE,BD=CD，ADB=CDEABDEDC 从而 AB=CE 在ACE中 AC+CEAE 即 AC+AB2AD 2AD(AC+AB)典题探究二、角分线，分两边，对称全等要记全截取等长构全等典题探究例2已知，AB2AC，12，DADB。求证：DCAC。证明： 取AB的中点E,连接DE AB=2AC AE=AC 1=2,AD=AD ADEADC AED=ACD DA=DB,E是A

5、B中点 DEAB AED=90 ACD=90 ACCDE典题探究三、只要看到平分线上的点，要想到向两边作垂线了（角平分线上的点到角两边距离相等）例3.已知，在ABC中，A90，ABAC，12。求证：BCABAD。证：作DE垂直于BC BD是ABC的角平分线,AD=DE,BD=BD ABDEBD 则AB=BE,由条件知道DEC为等腰直角三角形,DE=EC=AD 因此BC=BE+EC=AB+ADE典题探究例4.已知，ABAD，12，CDBC。求证：ADCB180。证：作CE垂直于AB,作CF垂直于AD；1=2,CFA=CEA,AC共边 ACEACFCE=CF 又BC=CD,CEB=CFD BCED

6、CF B=CDF,故B+ADC=180EF休息10分钟！休息时间一典题探究四、角平分线垂线，角平分线平行线，等腰三角形要呈现，线段和差倍分都实现。（等腰三角形的好伙伴 ）典题探究例5.已知，ABAC，BAC90，12，CEBE。求证：BD2CE。证：延长CE、BA,相交于点F. 在BCE和BFE中, BEC = 90= BEF ,BE为公共边,CBE = FBE ,BCE BFE , 可得：CE = EF ,即有：CF = 2CE ；在CAF和BAD中, ACF = 90-AFC = ABD ,AC = AB ,CAF = 90= BAD ,CAF BAD , 可得：CF = BD ,则有：B

7、D = 2CE .F典题探究五、过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”例6：已知ABC中，AD是BAC的平分线，AD又是BC边上的中线.求证：AB=AC.证明：做BE平行AC交AD延长线于E. 易证：2=E得BDE CDA 由2=1 得AB=EB.得AB=AC. 图1图2学能训练答案：学能训练学能训练答案：学能训练当堂练习练1、如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE.解：延长AE到M,使EM=AE,连结DM 易证DEM CEA C=MDE,DM=AC 又BD=DC=AC DM=BD,ADC=CAD 又AD

8、B=C+CAD ADM=MDE+ADC ADM=ADB ADM ADB BAD=MAD 即AD平分BAE 又BD=DC=AC DM=BD,ADC=CADM当堂练习练2、已知，四边形ABCD中，ABCD，12，34。求证：BCABCD。以BE为对称轴,作AB的对称轴线EF交BC于F. 1=2,BE=BE,BAE=BFE. ABEBFE. AB=BF ABCD,BAD=180-CDE EFC=D. ,3=4 ,CE=CE. CFECDE CD=CF BC=AB+CDF当堂练习练3、已知，在ABC中，CAB=2B，AE平分CAB交BC于E，AB2AC。求证：C90证明： 过E作EDAB于D,则AB=

9、2AD,AE平分CAB,CAB=2BAE, CAB=2B,EAB=B,EA=EB, AB=2AC,AD=AC, 在AED与AEC中, AD=AC,EAD=EAC,AE=AE, AEDADC, C=ADE=90.D当堂练习练4、已知如图1，ABC中，AD是BC 边上的中线 ,求证：AD解：如图1，延长AD到E,使DE=AD , ADC=BDE,BD=DC ,BDECDA ,BE=CA . 在ABE中,AEAB+BE ,2ADAB+AC AD 图1图1当堂练习练5、如图所示ADDC，BCDC，E是DC上一点，AE平分DAB，BE平分ABC，求证：AB=AD+BC。解析：过E作FEAB AE平分DA

10、B,ADDC ED=EF ADEAFE AD=AF 同理可证：BC=BF AB=AD+BCABCDEF当堂练习附加题：已知，CE、AD是ABC的角平分线，B60。求证：ACAECD。解：在AC上取点F，使AF=AE AD是A的平分线 EAOFAE AO=AO AEOAFO EO=FO ，AOEAOF CE是C的平分线 DCOFCO B60 A+C18060120 COD=CAOOCAA2C260 OCF180AOF-COD180606060 OCFCOD OC=OC OCDCFOCF=CD AC=AF+CFAE+CD 即：AE+CD=ACF当堂练习附加题：如图，ABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D，若EB=CF。求证：DE=DF。解：过D作EMAF交