测量误差知识

1、关于测量误差知识第一张，PPT共三十三页，创作于2022年6月第五章 测量误差知识第一节 观测误差概述 对未知量进行测量的过程称为观测，测量所获得的数据称为观测值。观测值与真实值（简称真值）之间的差异称为观测误差或测量误差。用li 代表观测值，X代表真值，则其中i 就是观测误差，通常称为真误差（简称误差）。第二张，PPT共三十三页，创作于2022年6月1、产生观测误差的原因（1）仪器、工具（仪器因素） 仪器构造上的缺陷和仪器本身精密度的限制。（2）观测者（人为因素） 观测者的技术水平和感官能力。（3）外界条件（环境因素） 环境温度、湿度、风力、透明度、大气折光等。第三张，PPT共三十三页，创作

2、于2022年6月2、观测误差的分类和处理方法 观测误差可分为粗差、系统误差和偶然误差三种。（1）粗差 粗差又称 “不正当误差” “过失误差” ，属于大量级误差。含有粗差的测量值称为“坏值”或“异常值”。产生原因：作业人员的疏忽大意、失职（如照错目标、 读错、记错等）；仪器受到干扰或发生故障；容许误 差取得过小等。处理办法：严格按照测量规范；进行必要的重复观测； 通过多余观测进行严密检核、验算。含粗差的观测值 都不能用，一旦发现粗差，观测值必须舍弃并重测。第四张，PPT共三十三页，创作于2022年6月观测误差的分类和处理方法（2）系统误差（system error） 在一定观测条件下对观测量作一

3、系列的观测，大小和符号保持不变或按一定规律变化的误差。系统误差具有积累性。 产生原因：如经纬仪竖盘指标差对竖直角的影响、地球 曲率对测距和高程的影响等。消减办法：严格检校仪器；在观测方法和程序上采取必 要措施，如角度测量中采取盘左、盘右观测；找出 产生系统误差的原因和规律，对观测值进行改正， 如对距离观测值进行三项改正，对竖直角进行指标 差改正等 。第五张，PPT共三十三页，创作于2022年6月观测误差的分类和处理方法（3）偶然误差（accident error） 在一定观测条件下进行一系列观测，大小和符号呈现偶然性的误差称为偶然误差， 又称随机误差。此类误差表面上看来没有规律性。产生原因：不

4、固定，难以控制，如估读误差、照准误差 等，其大小、符号纯属偶然。处理办法：粗差可以发现并剔除，系统误差可加以改 正，但偶然误差是不可避免的。 大量的偶然误差具有统计规律性，可对其进行统计 分析，并运用其统计特性来建立衡量测量精度的相 关标准。第六张，PPT共三十三页，创作于2022年6月偶然误差的特性3、偶然误差的特性 偶然误差在消除了粗差和系统误差的观测值中占主导地位。因此，本章主要研究偶然误差。 对某未知量进行n次观测，其偶然误差具有统计规律。统计大量的实验结果，表明偶然误差有如下特性：（1）范围（有界性）在一定观测条件下的有限个观 测中，偶然误差的绝对值不超过一定限值；（2）数值（超小性

5、）绝对值小的误差出现的频率 大，绝对值大的误差出现的频率小；（3）符号（相等性）绝对值相等的正、负误差出现 的频率大致相等； 第七张，PPT共三十三页，创作于2022年6月偶然误差的特性（4）累加相消性 当观测次数无限增大时，偶然误差的算术平均值极限为零，即 其中，中括号“ ”表示变量代数和。频率直方图 以误差大小为横坐标，以频率 k/n 与区间d的比值 （k/n）/ d为纵坐标，用直方图表示偶然误差的分布情况。第八张，PPT共三十三页，创作于2022年6月偶然误差的特性误差分布曲线 误差个数 n，同时无限缩小误差区间d ，频率直方图成为光滑曲线，即误差分布曲线，是正态分布曲线，函数式为：为概

6、率密度函数，为误差分布标准差：第九张，PPT共三十三页，创作于2022年6月第二节 衡量观测值精度的标准 从统计学角度上说，精度是指误差分布的密集或离散程度，它体现了观测结果的优劣。衡量精度的标准主要有以下几种：1、中误差 标准差是衡量精度的一种理论表达式。但观测次数不可能无限多，因此实用中以中误差作为精度衡量标准的一种，其定义为：第十张，PPT共三十三页，创作于2022年6月衡量观测值精度的标准 中误差又称均方误差。式中2=(i)2，i为观测真误差，中误差的几何意义即为偶然误差分布曲线的两个拐点横坐标。中误差与精度成反比。 中误差与真误差均为绝对误差。2、相对误差 采用中误差m的绝对值与观测

7、值 L的比值作为衡量精度的指标，称为相对中误差，是相对误差的一种，一般用K表示，即第十一张，PPT共三十三页，创作于2022年6月衡量观测值精度的标准 距离测量中，还常用相对较差来检核，其定义为： 相对较差是相对真误差，它反映往返测量的符合程度。 【注意】不能用相对误差来衡量测角精度，因为测角误差与角度大小无关。第十二张，PPT共三十三页，创作于2022年6月衡量观测值精度的标准3、极限误差和容许误差 极限误差是偶然误差绝对值的限值。偶然误差绝对值大于 3的概率仅为0.3%，可以认为3是真误差的极限，即3为极限误差： 测量实践中，用容许误差对偶然误差的绝对值进行限制。根据精度要求的不同，测量规

8、范常作如下规定：或第十三张，PPT共三十三页，创作于2022年6月第三节 误差传播定律 设观测值 Z 是独立观测变量 X1， X2， Xi ， Xn的函数，即 Z = f（X1， X2， Xi， ， Xn）。Z 的中误差为mZ ，各独立变量对应的观测中误差分别为m1，m2，mi ，mn 。各变量观测中误差与其函数中误差之间的关系，称为误差传播定律，由泰勒级数展开可推导得到其表达式为（推导过程见附录1）：第十四张，PPT共三十三页，创作于2022年6月误差传播公式简单函数的中误差传播公式函数名称 函数式 中误差传播公式倍数函数和差函数线性函数第十五张，PPT共三十三页，创作于2022年6月误差传

9、播定律（例题）【例5-1】y= Dsin，观测值 D= 225.85m0.06m， = 157 00 3020。求y的中误差 my。解 根据误差传播公式有则y的中误差 my 为及，第十六张，PPT共三十三页，创作于2022年6月第四节 等精度直接观测平差 除了标准实体或特殊观测量（如三角形内角和），任何单个未知量的真值都无法确知。为可靠估计真值，只有通过重复观测，提高测量成果精度。 为消除重复观测值之间的矛盾，尽可能的估计真值，就必须按一定的数据处理原则，采用适当计算方法，对观测值加以必要而又合理的调整，予以适当改正，从而求得观测量的最佳估值，并对观测质量进行评估。这一数据处理过程称为测量平差

10、或观测平差。 在相同条件下进行的观测称为等精度观测，所得观测值称为等精度观测值。对一个未知量的直接观测值进行平差称为直接观测平差。第十七张，PPT共三十三页，创作于2022年6月最或是值1、最或是值 平差结果是得到未知量最可靠的估值，最接近真实值，称为最或是值。等精度直接观测平差中，观测值的算术平均值是未知量的最或是值。观测值与最或是值之差，称为最或是误差，用vi 表示： 设对某量进行了n次等精度观测，其观测值为l1，l2， li ， ln ，该未知量的真值为X，各观测值的真误差为1， 2， i ， n ，则其最或是值为：v=0第十八张，PPT共三十三页，创作于2022年6月评定精度（观测值中

11、误差）2、评定精度 由于单个未知量的真值不可知，因此真误差也就不可知，所以不能直接由中误差的定义来求中误差。但是可以通过有限个等精度观测值 li 求出最或是值 x，然后求出最或是误差 vi ，进而计算中误差 m 。 由真误差、中误差的关系，利用最或是误差的概念，可得等精度观测的观测值中误差计算公式（推导过程见附录2） ：第十九张，PPT共三十三页，创作于2022年6月评定精度（最或是值中误差） 由最或是值 x、观测值中误差 m，运用误差传播定律，可得最或是值中误差（推导过程见附录2） ： 由上式可知，最或是值（算术平均值）的中误差与观测次数平方根成反比，因此增加观测次数 n可提高最或是值的精度

12、。但当 n达到一定数值后（如n=10），再增加观测次数，则工作量增加，而提高精度的效果却不明显。故应设法提高观测值本身的精度。第二十张，PPT共三十三页，创作于2022年6月评定精度（例题）【例5-2】对某角度进行了5次等精度观测，观测结果列于下表。试求观测值的中误差 m。观测值最或是误差v2l1=35 18 28l2=35 18 25l3=35 18 26l4=35 18 22l5=35 18 24+3013190191x= l /n= 35 18 25 v=0v2=20解 计算最或是值 x、最或是误差 vi 并列于表中。则观测值中误差m为第二十一张，PPT共三十三页，创作于2022年6月第

13、五节 不等精度直接观测平差 若观测时仪器精度不同，或观测方法不同，或外界条件不同，不同观测条件下的观测称为不等精度观测，获得的观测值称为不等精度观测值。 对某未知量进行不等精度观测时，各观测值的中误差不同，观测值也具有不同的可靠性。因此，在对观测值进行最可靠估值时，就 不能简单的取算术平均值。 不等精度观测值的可靠性，可用观测值“权”来表示。观测值精度越高，其权越大。 需要指出的是，权只具有相对意义，起作用的是各观测值权的比值。权通常用字母 p 表示，且恒为正。第二十二张，PPT共三十三页，创作于2022年6月权与中误差的关系1、权与中误差的关系 观测值的中误差越小，其值越可靠，权就越大。因此

14、可用观测值的中误差来定义观测值的权。设 n 个不等精度观测值的中误差为mi（i=1，2，n），则权可由下式来定义：式中，可取任意正常数。 选择适当的值可使权成为便于计算的数值。第二十三张，PPT共三十三页，创作于2022年6月权与中误差的关系（例题）【例5-3】对某一角度进行了n次不等精度观测，求算术平均值 x 的权。解 设一测回角度观测值的中误差为m，算术平均值 x的中误差为 ，设= m2 ，由权的定义可得：算术平均值 x 的权为等于 1 的权称为单位权一测回观测值的权为角度观测的权与其测回数成正比第二十四张，PPT共三十三页，创作于2022年6月加权平均值及其中误差2、加权平均值及其中误差

15、 设不等精度观测值 li 的权为 pi（i=1，2，n），则加权平均值 L0为不等精度观测值的最或是值，即： 加权平均值中误差可用最或是误差 vi = li L0 来表示：第二十五张，PPT共三十三页，创作于2022年6月附录1 中误差传播公式 设观测值 Z 是独立观测变量 X1， X2， Xn的函数，即 Z = f（X1， X2， Xn）。Z 的中误差为mZ ，各独立变量对应的观测中误差分别为m1，m2，mn 。各变量观测中误差与其函数中误差之间的关系，称为误差传播定律。现推导中误差传播公式如下。 设（1）式（1）中： Xi 独立变量真值； li 独立变量 Xi 的观测值； i li 的偶然

16、误差。第二十六张，PPT共三十三页，创作于2022年6月附录1 中误差传播公式 将式（2）按多元函数泰勒级数展开，有： 则（2）（3） 式（2）中， Z 为函数 Z 的误差，即：（4）第二十七张，PPT共三十三页，创作于2022年6月附录1 中误差传播公式 又设各独立变量都观测了 k 次，则Z 的平方和为：（5）第二十八张，PPT共三十三页，创作于2022年6月附录1 中误差传播公式 由偶然误差的相消性可知，当观测次数 k时，上式中im（im）的总和趋于0，并由中误差的概念，有：（6） 式（6）中， i=1，2，n。将（6）式带入（5）式并整理可得中误差传播公式：第二十九张，PPT共三十三页，创作于2022年6月附录2 观测值与最或是值的中误差公式1、观测值的中误差公式 某未知量的 n 次等精度观测值为l1，l2，ln，则真误差i 及最或是误差 vi 分别为：（7） 式（7）二式相减，可得：（8） 令 x X=，代入式（8），则有：（9）第三