测定金属的杨氏模量

1、测定金属的杨氏模量实验日期：2014年3月4日星期二下午 姓名：一、CCD成像测定杨氏模量：实验目的：（1）用金属丝的伸长测定杨氏模量；（2）用CCD成像系统测量微小长度变化；（3）用逐差法、作图法和最小二乘法处理数据。实验仪器：测定杨氏模量专用支架，显微镜，CCD CAMERA 型号WAT-308A DC+12V（CCD摄像机，监视器），米尺（带有卡口），螺旋测微器（分度0.01mm，量程0-25mm），电子天平（精度0.01g）实验原理：（1）由胡克定律我们知道在弹性限度内：=E，其中是应力，E为杨氏模量，为应变。那么对于截面积为S，长为L，在力F作用下形变L时，有如下关系：E=FLSLF

2、，S，L比较容易测量，但是L比较微小难以测量，所以实验中用CCD成像进行观察和直接测量。则由此可以测定杨氏模量E。（2）CCD与主体实验装置如右图所示：实验中先使用显微镜M把确定金属丝下端所挂圆柱体上的细横线放大，同时通过不随金属丝伸长而移动的M内部分划板上的刻度线作为刻线高低的高度标准。然后利用CCD成像进行观察。实验内容与数据处理：1、认识和调节仪器：（1）预热CCD显示屏，调节支架S竖直，调节钳形平台的两边螺丝的松紧，使得钳形平台既可以很好的限制金属丝的转动又不用造成过多的摩擦干扰。（2）先调节显微镜目镜，看清清晰的分划板像，然后调节物镜与金属丝下挂的圆柱上的细横线的远近，使得可以同时看

3、清分划板和细横线的像（3）打开和连接CCD，放置在显微镜后较近的位置，仔细调节位置使得分划板像清晰，此时也可微调显微镜目镜。然后调节显微镜的前后位置旋钮，使得细横线也变清晰。（此时要注意微调显微镜前后的旋钮时要对应移动CCD的前后，保持分划板的清晰）反复调节可以得到分划板和细横线都比较清晰的像。2、观测金属丝受外力拉伸后的变化：在砝码盘上一次加砝码，质量约为200.0g(需要具体重新测定精确值)。金属丝伸长后读出对应的读数ri（i=1,29），再加上一个略轻砝码，再一次减去砝码，读出ri：mi+4-mi/gri+4-ri/mm(ri+ri)/2/mm表1：测量金属丝受外力伸长变化数据im/gm

4、i/gri/mmri/mm1199.98 199.98 3.10 3.11 3.11 2200.36 400.34 3.24 3.25 3.25 0.50 800.33 3199.91 600.25 3.37 3.38 3.38 0.48 800.98 4200.26 800.51 3.49 3.50 3.50 0.48 800.72 5200.17 1000.68 3.61 3.62 3.62 0.48 800.87 6199.99 1200.67 3.73 3.75 3.74 7200.56 1401.23 3.85 3.86 3.86 4r/mm4m/g8200.00 1601.23 3

5、.97 3.98 3.98 0.48 800.7 9200.32 1801.55 4.09 4.10 4.10 4r_ave/mm4m_ave/g10100.50 1902.05 4.15 0.0050.1表中已用逐差法进行计算得到平均加四个砝码产生的伸长量与加的重量。4r=4r_ave2+e32=0.0052+0.03320.02mm4m=4m_ave2+e32=0.12+0.02320.1g 其中e表示求平均的单个数据的不确定度（我主要以单次测量的极限不确定度来估计）。3、测量金属丝直径d与金属丝长度L：表2：金属丝直径d的测量数据i12345d(ave)d/mm0.323 0.319 0

6、.320 0.319 0.318 0.321 i678910d(ave)d/mm0.319 0.321 0.321 0.322 0.324 6.18E-04零点读数d0=-0.001mm，则取d=0.322mm，d=d_ave2+e32=(6.1810-4)2+0.004320.002mm其中e为螺旋测微器的允差，取e=0.004mm。又L=78.85cm，卡扣米尺单次测量，我估计e=0.05cm(卡得比较好时)。L=e3=0.03cm, LL=78.85cm0.03cm4、利用逐差法处理数据求杨氏模量E：关于伸长量r与对应砝码重量m的逐差法处理已经写在前面。则： E=m g LS r=m g

7、 Ld24 r=0.8007kg9.801(kgms-2)0.7885m40.32210-3m20.4810-3m=1.581011PaEE=4m4m2+4r4r2+2dd2+LL2=0.1800.72+0.020.482+20.0020.3222+0.0378.852=(18007)2+1242+180.52+12628.332=0.04则E=0.061011Pa，且可以看到对伸长量的测量不确定占杨氏模量的不确定度的主要部分。所以逐差法处理数据计算所得杨氏模量为：EE=(1.580.06) 1011Pa5、用作图法（最小二乘法）处理数据求杨氏模量E：图1：伸长量r所加砝码质量m关系图：图中画

8、了伸长量r的误差杆，以0.02mm估计，由于m的误差很小因此没有画在图中。所得线性拟合系数r=0.9994，线性很好。斜率：kk=(6.090.05)10-6mm/g=(6.090.05)10-6m/kg而：dd=0.3220.002mm，LL=78.85cm0.03cm， E= g LS k= g Ld24 k=9.801(kgms-2)0.7885m40.32210-3m26.0910-6m/kg =1.561011PaEE=kk2+2dd2+LL2=0.056.092+20.0020.3222+0.0378.852=1121.82+180.52+12628.3320.015E=0.021

9、011Pa EE=(1.560.02) 1011Pa从E不确定度的计算来看k的相对不确定度是比较小的，比直径测量的影响还要小。但是直径测量的精度也已经达到了仪器允差的精度，而且螺线测微器已经是常见长度测量仪器中最精密的了，因此这样的实验设计可以说已经非常完善了，没有浪费任何可以简易的提高精度的方法。如果真要讨论再提高精度的话，从逐差法的数据可以看出，伸长量测量的不确定度偏大，我认为这不是来源于测量，我倾向于是使用的金属丝材料在拉伸时均匀程度没有那么理想（当然本实验中已经很好了）。可以考虑用更加优质的(比如性质和尺寸更均匀)金属丝材料来做实验可能可以得打更高的精度。【讨论：通过观察实验数据可以看

10、到，加前两个砝码，特别是第一个砝码时伸长量明显较大，而砝码加得较多后则伸长量稳定不少，说明线一开始未拉直。若剔除前两组数据线性拟合可得r=0.99993的线性，算的E=1.591011Pa。可能仍有偏小。若此金属丝真实E值仍应比此值大，我估计可能L测量有错，若L少算5cm或10cm，最后算的E可达到1.71011Pa或1.81011Pa，可惜没办法回头检查。】二、梁弯曲法测定杨氏模量：实验目的：（1）用梁的弹性弯曲测定金属材料的杨氏模量（2）用读数显微镜测量微小长度变化实验仪器：刀口及基座两个，金属梁，砝码及悬挂砝码的框架，读数显微镜，刻度尺（分度1mm），游标卡尺（分度值0.02mm），螺旋

11、测微器（分度值0.01mm，量程25mm），电子天平（精度0.01g）实验原理：一根长l，厚h，宽a的矩形梁，两端自由地放在水平刀口上，中点悬挂重物G时，梁中点的挠度y，在yl时，y=Gl34Eah3 , G=mg,m为所挂物体质量。则 E=mgl34yah3实验中采用下图装置进行测量：读数显微镜始终瞄准刀口处的梁的上沿，依次加砝码可以读出对应重物质量下的挠度，线性拟合可以得到 k=ym ，则E=gl34kah3实验内容：（1）仔细调节两边刀口等高。将待测的矩形梁安放在仪器刀口上，套上金属框使刀刃恰好落在两刀口中间，挂好砝码盘。（2）调节读数显微镜上下左右位置，使镜筒轴线对正金属框上小窗。调节

12、显微镜目镜看清叉丝。前后移动显微镜，知道看清梁的边缘，在进行微调使显微镜中的叉丝与梁的边缘。再进行微调使叉丝和梁边缘无视差，读出高度并记录。（3）顺序加砝码，同时下降显微镜读出梁原来边缘的位置并记录。（4）消除螺距差后反向做一次，即一次减砝码。（5）测出梁的有效长度，测出矩形横断面的宽a，与厚度h，适当多次测量。（6）按顺序测量砝码的重量。实验数据及处理：1、挠度y的数据：表3.刀口处横梁边缘高度值数据im/gmi/gri/mmri/mm10037.109 37.145 2200.65 200.65 36.144 36.140 3200.87 401.52 35.233 35.196 4200

13、.88602.40 34.329 34.278 5200.16 802.56 33.408 33.356 6201.23 1003.79 32.478 32.431 7200.21 1204.00 31.540 31.497 图2_1：加砝码过程挠度与砝码重量的关系最小二乘法拟合后r=0.99993，线性非常好，斜率的绝对值：k1k1=4.6010-3210-5m/kg图2_2：减砝码过程挠度与砝码重量的关系最小二乘法拟合后r=0.9998，线性很好，其斜率的绝对值：k2k2=4.6610-3310-5m/kg则：k=k1+k22=4.6310-3m/kgk=(k12)2+k222=210-5

14、m/kg所以kk=4.6310-3210-5m/kg2、L，a，h等的测量数据：表4、矩形梁厚度h的测量数据1234567h/mm1.261 1.262 1.263 1.260 1.266 1.268 1.264 have=1.263 ,h_ave0.001mm, h=have2+e32=0.003mm其中仪器允差e=0.004mm，螺旋测微器零点读数为 h0=0.000mm，所以：hh=1.2630.003mm表5、矩形梁宽度a的测量数据1 2 3 4 5 6 7 a/mm10.00 10.00 10.00 10.02 10.00 10.02 10.00 aave=10.01mm ,a_av

15、e0.004mm, a=aave2+e32=0.01mm其中仪器允差e=0.02mm，游标卡尺零点读数为 a0=0.00mm，所以：aa=10.010.01mm矩形梁有效长度L=20.00cm，由于支柱分开摆放，自由度较多，很难测量准确，同时刀口认为摆放有不平行情况，我估计测量极限不确定度为e=0.2cm，则LL=20.00.1mm3、计算杨氏模量E：E=gL34kah3=2.101011PaEE=kk2+aa2+3hh2+3LL2=1231.52+110012+314212+3120020.017则E=0.041011Pa：EE=2.100.041011Pa可以看到E的计算过程中，L和h的不

16、确定度影响都比较大，L为主。L的误差来源是实验装置过于粗糙，因为两个支柱是独立的，实验中基本凭借肉眼摆放并让两者刀口平行，用刻度尺测量时也非常困难，浪费了刻度尺的精度。如果要提高实验精度，可以直接机械制作一体的支柱，可以很好地控制刀口的间距和高度以及平行度，这样可以大大提高测量精度。此外，虽然从k的误差来看不大，但是由前一个实验CCD法的结果可知，虽然k的精度较高，但是从CCD法逐差法处理的数据来看，伸长量的测量误差还是比较大的。因此我估计这里弯曲法实验中挠度的测量误差对实验结果影响也较大。三、光杠杆法测定杨氏模量：实验目的：（1）用金属丝伸长测定杨氏模量；（2）用光杠杆测量微小长度变化；实验

17、仪器：测定杨氏模量专用装置（包括光杠杆，砝码，镜尺组），米尺（带卡口，分度0.1cm），螺旋测微器（分度值0.01mm，量程25mm），刻度尺（分度值0.1cm）实验原理：杨氏模量的基本知识同前不再介绍。光杠杆测量方法：光杠杆方法原理的示意图如下：光杠杆支点固定，一端搭在金属丝下安装的支架上，随金属丝伸长而移动，另一端放镜面，反射光路。从望远镜中观察可以看到竖尺的反射像，叉丝与竖尺像的竖直方向相对移动与金属丝伸长有一定关系。因为R远大于D，还有很好的放大效果。易知L=D2Rl ,则结合杨氏模量知识可知：E=8mgLRd2Dl通过加减砝码可以线性拟合m与l的关系的斜率k=l/m，则：E=8gLR

18、d2Dk实验内容：1、打开制动器，调节支架铅直。2、调整光杠杆和镜尺组，使镜面竖直。粗调望远镜，用眼睛观察使其高度与镜面等高，左右位置合适。望远镜光轴水平。3、仔细调光杠杆镜子俯仰使得在望远镜处肉眼可见竖尺的反射像。4、然后细调望远镜，先看清叉丝，再调远近。粗调较好时即可看到竖尺像，调节清晰。最好微调光杠杆与镜尺组使同一高度竖尺的刻度落在叉丝上。5、记下r0，依次加砝码，同时记下望远镜中对应的位置数据ri，然后依次减砝码记下ri;6、用米尺测量金属丝长L，平面镜与竖尺的距离R，用螺旋测微器测量钢丝直径d，用刻度尺测量D，测量每个砝码的重量并记录。7、计算E，估计不确定度。实验数据：表5、金属丝直径d的测量数据1234567d/mm0.319 0.321 0.320 0.320 0.319 0.321 0.322 螺旋测微器零点读数为0.000mm。则d=0.320mm. dave=0.0004mm。d=d_ave2+e32=(410-4)2+0.004320.002mm表6、m与l测量数据表im/gmi/gli/cmli/cml_ave/cm00.00 0.00 5.38 5.18 5.28 1200.12 200.12 5.73 5