正弦定理余弦定理应用举例距离高度角度

1、关于正弦定理余弦定理应用举例距离高度角度第一张，PPT共三十七页，创作于2022年6月1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量:距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.第二张，PPT共三十七页，创作于2022年6月实际应用问题中有关的名称、术语1.仰角、俯角、视角。（1）.当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫仰角。（2）.当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫俯角。（3）.由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般这两条视线过被观察物的两端点）水平线视线视线仰角俯角第三张，PPT共三十七页，创作于2022年6月2.方向角、方位角。（1）.方向角：指北

2、或指南方向线与目标方向线所成的小于900的水平角叫方向角。（2）.方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的角叫方位角。东西北南600300450200ABCD点A在北偏东600，方位角600.点B在北偏西300，方位角3300.点C在南偏西450，方位角2250.点D在南偏东200，方位角1600.第四张，PPT共三十七页，创作于2022年6月3.水平距离、垂直距离、坡面距离。水平距离垂直距离坡面距离坡度（坡度比） i: 垂直距离/水平距离坡角: tan=垂直距离/水平距离第五张，PPT共三十七页，创作于2022年6月要测量不可到达的两点间的距离,可用哪些方法?如图:设A、B两点在河的两

3、岸，怎样测量两点之间的距离?AB第六张，PPT共三十七页，创作于2022年6月方案一:构造直角三角形AB在河岸的一侧取一点C,使得ACBCC若能测得AC的长及BAC,那么AB即可求出此方案有缺陷吗?第七张，PPT共三十七页，创作于2022年6月 如图,设A,B两点在河的两岸.需要测量A,B两点间的距离,测量者在A的同侧河岸边选定一点C.测出AC=55米,求A,B两点间的距离. BAC=45,题型分类 深度剖析题型一 与距离有关的问题第八张，PPT共三十七页，创作于2022年6月如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。.AB.DC基线第九张，PPT共三十七页

4、，创作于2022年6月 要测量对岸A、B两点之间的距离，选取 相距 km的C、D两点,并测得ACB=75, BCD=45,ADC=30,ADB=45,求 A、B之间的距离. 分析题意，作出草图，综合运用正、 余弦定理求解.【例2】第十张，PPT共三十七页，创作于2022年6月解 如图所示在ACD中，ACD=120，CAD=ADC=30，AC=CD= km.在BCD中，BCD=45，BDC=75，CBD=60.在ABC中，由余弦定理，得第十一张，PPT共三十七页，创作于2022年6月练习1 海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛 成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，那么B

5、岛和C岛间的距离是 。ACB10海里6075答：海里解：应用正弦定理，C=45BC/sin60 =10/sin45 BC=10sin60 /sin45 第十二张，PPT共三十七页，创作于2022年6月 解：如图，在ABC中由余弦定理得：A 我舰在敌岛A南偏西50相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西10的方向以10海里/小时的速度航行问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？CB 我舰的追击速度为14n mile/h【例3】第十三张，PPT共三十七页，创作于2022年6月又在ABC中由正弦定理得：0.6186B 38013故我舰行的方向为北偏东11047A 我舰在敌岛A南偏西

6、50相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西10的方向以10海里/小时的速度航行问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？CB第十四张，PPT共三十七页，创作于2022年6月 求距离问题要注意：（1）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.(3)阅读课本第11页和第12页的例1,例2的距离测量方法.第十五张，PPT共三十七页，创作于2022年6月 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度A

7、B的方法分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA,并测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出CA的长。第十六张，PPT共三十七页，创作于2022年6月解：选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上。由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是，CD=a,测角仪器的高是h.那么，在ACD中，根据正弦定理可得例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法 题型二 与高度有关的问题第十七张，PPT共三十七页，创作于

8、2022年6月练习1 如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？第十八张，PPT共三十七页，创作于2022年6月AA1BCDC1D1分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。解：答：烟囱的高为.第十九张，PPT共三十七页，创作于2022年6月例2.在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30，60,则塔高为多少米 解析 作出示意图如图， 由已知：在RtOAC中，OA=20

9、0，OAC=30，则OC=OAtanOAC =200tan 30= 在RtABD中，AD= ，BAD=30， 则BD=ADtanBAD=第二十张，PPT共三十七页，创作于2022年6月练习2 在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角75，在塔底C处测得A处的俯角45。已知铁塔BC部分的高为30m，求出山高CD.分析：根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长解：在ABC中，BCA=90+=1350, ABC=90-=150, BAC=-=300, BAD=750.根据正弦定理，第二十一张，PPT共三十七页，创作于2022年6月第二十二张，PPT共三十七页，创作于2022年6月练习3 如图所示，测

10、量河对岸的 塔高AB时，可以选与塔底B在同一水 平面内的两个测点C与D，现测得 BCD=，BDC=，CD=x，并 在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB. 解 在BCD中，CBD=-第二十三张，PPT共三十七页，创作于2022年6月 解斜三角形应用题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求；（2）依题意画出示意图；（3）分析与问题有关的三角形；（4）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形, 逐步求解问题的答案；（5）注意方程思想的运用；（6）要综合运用立体几何知识与平面几何知识.第二十四张，PPT共三十七页，创作于2022年6月它等于地球椭圆子午线上纬度1分（一度等于六十分，一圆周为36

11、0度）所对应的弧长。 1海里=1.852公里(千米) (中国标准) n mile：海里，航海上度量距离的单位。 没有统一符号第二十五张，PPT共三十七页，创作于2022年6月例1 如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为，距离为10n mile的处，并测得渔轮正沿方位角为105 的方向，以n mile/h的速度向小岛靠拢我海军舰艇立即以n mile/h的速度前去营救求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1 ,时间精确到min）北北BC105方位角：指从正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角题型三 与角度有关的问题第二十六张，PPT共三十七

12、页，创作于2022年6月北北BC105解：设舰艇收到信号后xh在处靠拢渔轮，则21x，x，又AC=10, ACB=45+(180105)=120.由余弦定理，得：化简得：解得：x=（h）=40(min)(负值舍去）第二十七张，PPT共三十七页，创作于2022年6月由正弦定理，得所以21.8，方位角为45 +21.8 =66.8 答：舰艇应沿着方位角66.8 的方向航行，经过min就可靠近渔轮第二十八张，PPT共三十七页，创作于2022年6月练习：海中有岛A，已知A岛周围8海里内有暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见A岛在北偏东75，航行20 海里后，见此岛在北偏东30，如货轮不改变航向继续前进，

13、问有无触礁危险。ABCM北北第二十九张，PPT共三十七页，创作于2022年6月解：在ABC中ACB=120ABC=15由正弦定理得：由BC=20 ,可求AC 得AM= 8.978无触礁危险ABCM北北7530第三十张，PPT共三十七页，创作于2022年6月例2.在海岸A处,发现北偏东45方向,距离A n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的 方向,距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以 10 n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜, 问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 分析 如图所示，注意到最快追上走 私船且两

14、船所用时间相等，若在D 处相遇，则可先在ABC中求出BC， 再在BCD中求BCD.第三十一张，PPT共三十七页，创作于2022年6月则有CD=10 t，BD=10t.在ABC中，AB= -1，AC=2，BAC=120, 由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=（ -1）2+22-2（ -1）2cos 120=6,BC= ， 即CBD=90+30=120，在BCD中，由正弦定理，得BCD=30.即缉私船北偏东60方向能最快追上走私船. 解:设缉私船用t h在D处追上走私船，第三十二张，PPT共三十七页，创作于2022年6月如图.当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的 B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即 前往救援.同时把消息告知在甲船的南偏西.相距10海里C处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处营救(角度精确到1).练习2第三十三张，PPT共三十七页，创作于2022年6月 如图:甲船以每小时 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行. 当甲船位于 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的 处，此时两船相距20海里. 当甲船航行20分钟到达 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的 处，此时两船相距 海里，问乙船每小时航行多少海里？ 例3第三十四张，PPT共三十七页，创作于2022年6月例4 如图所示，已知半圆的直径AB=2，