新教材2021-2022学年人教A版选择性必修第二册 - 第一课时　函数的极值 学案

1、53.2函数的极值与最大(小)值新课程标准解读核心素养1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件数学抽象、直观想象2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值数学运算3.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系逻辑推理第一课时函数的极值“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，说的是庐山的高低起伏，错落有致在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，它却是其附近的最低点问题在数学上，这种现象如何来刻画呢？知识点一函数的极值1极小值：函数yf(x)在点x

2、a的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都eq avs4al(小)，f(a)eq avs4al(0)；而且在点xa附近的左侧f(x)eq avs4al()0，右侧f(x)eq avs4al()0，我们把a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值2极大值：函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都eq avs4al(大)，f(b)eq avs4al(0)；而且在点xb附近的左侧f(x)eq avs4al()0，右侧f(x)eq avs4al()0.我们把b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值3极值：极小值点、

3、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值eq avs4al()对极值概念的再理解(1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值；(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个；(3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系；(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点；(5)单调函数一定没有极值 知识点二求函数yf(x)极值的方法一般地，求函数yf(x)的极值的方法是：解方程f(x)0. 当f(x0)0时：(1)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0

4、，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值eq avs4al()yf(x)极值点x0与f(x0)0的关系一般来说，“f(x0)0”是“函数yf(x)在点x0处取得极值”的必要不充分条件若可导函数yf(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极值，那么f(x0)0；反之，若f(x0)0，则点x0不一定是函数yf(x)的极值点 1.(多选)如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，则()A在x2时，函数yf(x)取得极值B在x1时，函数yf(x)取得极值Cyf(x)的图象在x0处切线的斜率小于零D函数yf(x)在区间(2，2)上单调递增解

5、析：选AD由图可知，x2是导函数f(x)的一个变号零点，故当x2时，函数f(x)取得极值，选项A正确；x1不是导函数f(x)的一个变号零点，故当x1时，函数f(x)不能取得极值，选项B错误；yf(x)的图象在x0处的切线斜率为f(x)0，选项C错误；当x(2，2)时，f(x)0，此时函数yf(x)单调递增，选项D正确2已知函数f(x)的导数为f(x)4x34x，且f(x)的图象过点(1，6)，当函数f(x)取得极大值5时，x的值应为()A1B0C5 D5解析：选B设f(x)x42x2c，又f(x)的图象过点(1，6)，所以c5.故f(x)x42x25.又当f(x)0时，x0或1或1，所以当函数

6、f(x)取得极大值5，即f(x)5时，x0.3函数f(x)x33x的极大值等于_，极小值等于_解析：由题意知f(x)3x23，令f(x)3x230，得x1，当x(，1)时，f(x)0，当x(1，1)时，f(x)0，所以当x1时，函数取极大值f(1)2；当x1时，函数取极小值f(1)2.答案：22不含参数的函数求极值例1(链接教科书第91页例5)求函数f(x)eq f(x2,ex)的极值解函数f(x)的定义域为R，f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(x2,ex)x(2x)ex.令f(x)0，得x(2x)ex0，解得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(

7、，0)0(0，2)2(2，)f(x)00f(x)单调递减极小值0单调递增极大值4e2单调递减因此，当x0时，f(x)有极小值，并且极小值为f(0)0；当x2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)eq f(4,e2).eq avs4al()函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域；(2)求方程f(x)0的根；(3)用方程f(x)0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；(4)由f(x)在方程f(x)0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况提醒当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然 跟踪训练1.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且

8、函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)解析：选D由函数的图象可知，f(2)0，f(2)0，并且当x0；当2x1时，f(x)0，则函数f(x)有极大值f(2)又当1x2时，f(x)2时，f(x)0，则函数f(x)有极小值f(2)2设函数f(x)xex，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点 Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点解析：选D因为f(x)xe

9、x，所以f(x)exxexex(1x)当f(x)0，即ex(1x)0时，解得x1，所以当x1时，函数f(x)为增函数同理可得，当x0，函数f(x)在(0，)上单调递增，函数f(x)无极值(2)当a0时，令f(x)0，解得xa.当0 xa时，f(x)a时，f(x)0.f(x)在xa处取得极小值，且f(a)aaln a，无极大值综上可知，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值eq avs4al()求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题讨论的依据有两种：一是看参数是否对f(x)的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；

10、二是看f(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论 跟踪训练求函数f(x)x33axb(a0)的极值解：f(x)3(x2a)(a0)，当a0恒成立，即函数在(，)上单调递增，此时函数没有极值；当a0时，令f(x)0，得xeq r(a)或xeq r(a).当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，eq r(a)eq r(a)(eq r(a)， eq r(a)eq r(a)(eq r(a)，)f(x)00f(x)单调递增极大值f(eq r(a)单调递减极小值f(eq r(a)单调递增f(x)的极大值为f(eq r(a)2aeq r(a)b，极小值为f(eq r

11、(a)2aeq r(a)b.角度二已知函数的极值求参数值或范围例3(1)已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处取极值10，则a()A4或3B4或11C4 D3(2)若函数f(x)eq f(1,2)x2(a1)xaln x没有极值，则()Aa1 Ba0Ca1 D1a0，当a0时，eq f(a,x)10，令f(x)0，得0 x0，得x1.f(x)在x1处取极小值当a0，f(x)eq f(2,x)2，令f(x)0得0 x1，令f(x)1，故f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以x1是极大值点，符合题意，故选A.2设aR，若函数yexax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是_

12、解析：yexax，yexa，由题意知方程exa0有大于零的解当x0时，ex1，aex1.答案：(，1)利用导数研究方程根(函数零点)的问题例4已知函数f(x)x33xa(a为实数)，若方程f(x)0有三个不同实根，求实数a的取值范围解令f(x)3x233(x1)(x1)0，解得x11，x21.当x0；当1x1时，f(x)1时，f(x)0.所以当x1时，f(x)有极大值f(1)2a；当x1时，f(x)有极小值f(1)2a.因为方程f(x)0有三个不同实根，所以yf(x)的图象与x轴有三个交点，如图由已知应有eq blc(avs4alco1(2a0，,2a0，)解得2a2，故实数a的取值范围是(2

13、，2)母题探究1(变条件)本例中，若方程f(x)0恰有两个根，则实数a的值如何求解？解：由例题知，函数的极大值f(1)2a，极小值f(1)2a，若f(x)0恰有两个根，则有2a0或2a0，所以a2或a2.2(变条件)本例中若方程f(x)0有且只有一个实根，求a的范围解：由例题可知，要使方程f(x)0有且只有一个实根，只需2a0，即a2.3(变条件、变设问)讨论方程eq f(ln x,x)a的根的情况解：令f(x)eq f(ln x,x)，则定义域为(0，)，f(x)eq f(1ln x,x2).令f(x)0，得xe.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，)f(x)

14、0f(x)eq f(1,e)因此，xe是函数f(x)的极大值点，极大值为f(e)eq f(1,e)，函数f(x)没有极小值点，其图象如图当0aeq f(1,e)时，eq f(ln x,x)a没有实数根eq avs4al()利用导数研究方程根(函数零点)的问题的步骤(1)利用导数判断函数的单调性；(2)研究函数的极值情况；(3)在上述研究的基础上画出函数的大致图象；(4)直观上判断函数的图象与x轴的交点或两个图象的交点的个数若含有参数，则需要讨论极值的正负 三次函数的极值与零点的关系利用信息技术工具，根据给定的a，b，c，d的值，可以画出函数f(x)ax3bx2cxd(a0)的图象，当a4，b1

15、，c5，d1时，f(x)的图象如图所示改变a，b，c，d的值，观察图象的形状：(1)你能归纳函数f(x)的图象的大致形状吗？它的图象有什么特点？你能从图象上大致估计它的单调区间吗？(2)运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间问题探究1给定三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，求导得f(x)3ax22bxc.用表示方程f(x)0的根的判别式，有以下结论：(1)当4(b23ac)0时，有两个极值点；当4(b23ac)0时，无极值点(2)函数f(x)的图象存在水平切线，则f(x)0有实数解，从而4(b23ac)0；(3)函数在R上单调递增，则a0且4(b23ac)0.2对于三次函数f(x

16、)ax3bx2cxd(a0)，为了描述方便简洁，这里只给出a0的情形令x1，x2为f(x)的极值点，用表示f(x)3ax22bxc对应方程的根的判别式，则结合零点存在性定理，有如下结论：(1)yf(x)有一个零点0或f(x1)f(x2)0；(2)yf(x)有两个零点eq blc(avs4alco1(0，,f（x1）f（x2）0；)(3)yf(x)有三个零点eq blc(avs4alco1(0，,f（x1）f（x2）0.)3相应函数图象的情况如下：(1)三次函数有一个零点意味着函数单调或者极大值和极小值同号，如图所示；(2)三次函数有两个零点意味着函数有两个极值点，且其中一个极值点为零点，如图所

17、示；(3)三次函数有三个零点，则函数的极大值和极小值异号，如图所示；迁移应用1已知函数f(x)x33xm只有一个零点，则实数m的取值范围是()A2，2B(，2)(2，)C(2，2) D(，22，)解析：选Bf(x)x33xm，f(x)3x23.由f(x)0，得x1或x1，此时函数单调递增；由f(x)0，得1x1，此时函数单调递减即当x1时，函数f(x)取得极大值；当x1时，函数f(x)取得极小值要使函数f(x)x33xm只有一个零点，则需满足f(1)f(1)0，即(m2)(m2)0，解得m2或m2.综上，实数m的取值范围是m2或m2.2若eq f(1,3)x3ax10有两个不同的实数根，求实数

18、a的取值范围解：令f(x)eq f(1,3)x3ax1，则f(x)x2a.由f(x)0有两个不同的实数根，得eq blc(avs4alco1(0（是方程f（x）0的根的判别式），,f（x1）f（x2）0（x1，x2是f（x）的极值点）.)由0，得a0，令f(x)0，得x1eq r(a)，x2eq r(a)，所以f(x1)eq f(1,3)(eq r(a)3aeq r(a)1eq f(2,3)(a)eq sup6(f(3,2)1，f(x2)eq f(1,3)(eq r(a)3aeq r(a)1eq f(2,3)(a)eq sup6(f(3,2)1，则f(x1)f(x2)eq blcrc(avs4

19、alco1(1f(2,3)（a）sup6(f(3,2)eq blcrc(avs4alco1(1f(2,3)（a）sup6(f(3,2)1eq f(4,9)(a)30，解得aeq r(3,f(9,4).综上，实数a的取值为eq r(3,f(9,4).1(多选)定义在R上的可导函数yf(x)的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是()A3是f(x)的一个极小值点B2和1都是f(x)的极大值点Cf(x)的单调递增区间是(3，)Df(x)的单调递减区间是(，3)解析：选ACD当x3时，f(x)0，3是极小值点，无极大值点，增区间是(3，)，减区间是(，3)故选A、C、D.2设函数f(x)ex(x1)(

20、x2)，则()Af(x)的极大值点在(1，0)内Bf(x)的极大值点在(0，1)内Cf(x)的极小值点在(1，0)内Df(x)的极小值点在(0，1)内解析：选A依题意f(x)ex(x23x2)，f(x)ex(x2x1)，令f(x)0，解得xeq f(1r(5),2).当xeq f(1r(5),2)时，f(x)0，当eq f(1r(5),2)xeq f(1r(5),2)时，f(x)1时取得极小值故选项A正确3当x1时，三次函数有极大值4，当x3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是()Ayx36x29x Byx36x29xCyx36x29x Dyx36x29x解析：选B三次函数过原点，故可设为yx3bx2cx，y3x22bxc.又x1，3是y0的两个根，eq blc(avs4alco1(13f(2b,3)，,13f(c,3)，)即eq blc(avs4alc