上海市实验学校2022届高三上学期第一次月考数学试题

1、 上海市实验学校2021学年度第一学期高三数学月考试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1. 设集合，则 _.2. 不等式的解集是_3. 已知，命题：若，则且的逆否命题是_4. 已知且，则 的取值范围是 _ （答案用区间表示）5. 设，若，则的最大值为_6. 已知集合M，若，则实数a取值范围是_7. 函数的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则_.8. 已知对于任意非零实数m，不等式|2m1|1m|m|(|x1|2x3|)恒成立，则实数x的取值范围为_9. 如图，某地要在矩形区域内建造三角

2、形池塘，、分别在、边上.米，米，设，.则写出关于的函数解析式，并写出的取值范围_.10. 若函数的值域为，则的值为_.11. 已知函数在上不是单调函数，设、为常数，若，且，则的取值范围为_.12. 已知函数，若关于的方程有8个不同的实数根，则实数的取值范围是_.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.13. 条件甲：；条件乙：，则甲是乙的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不也不必要条件14. 已知，下列不等式中正确的是（ ）.A. B. C. D. 15. 设x，y满足约束条件，且的最大值

3、为1，则的最小值为（ ）A. 64B. 81C. 100D. 12116. 、与、是4个不同的实数，若关于的方程的解集不是无限集，则集合中元素的个数构成的集合为（ ）A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤.17. 如图，在直三棱柱中，异面直线与所成角大小为.（1）求三棱柱的体积；（2）设为线段的中点，求二面角的大小.（结果用反三角函数表示）18. 已知函数定义域是，且当时，.（1）求的值；并证明在定义域上是增函数；（2）解不等式.19. （1）解关于的不等式；（2）若关于的不等式的解集为空集，（1）中不等式的解集是，中有且只有三个元素，求

4、实数的取值范围.20. 已知集合，集合，集合（1）用列举法表示集合C；（2）设集合C的含n个元素所有子集为，记有限集合M的所有元素和为，求的值；（3）已知集合P、Q是集合C两个不同子集，若P不是Q的子集，且Q不是P的子集，求所有不同的有序集合对的个数；21. 设函数，当点是函数图象上的点时，点是函数图象上的点（1）写出函数的解析式；（2）若当xa+2，a+3时，恒有，试确定的取值范围；（3）把的图象向左平移个单位得到的图象，函数，（）在的最大值为，求的值 上海市实验学校2021学年度第一学期高三数学月考试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分

5、，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1. 设集合，则 _.【答案】【解析】【分析】先求集合A与集合B并集，再与集合C求交集【详解】因为，所以，因为，所以，故答案为：2. 不等式的解集是_【答案】【解析】【分析】移项通分化简，等价转化为，进一步等价转化为二次不等式(组),注意分母不能为零，然后求解即得.【详解】原不等式等价于，化简得，又等价于，解得：，故答案为：.3. 已知，命题：若，则且的逆否命题是_【答案】若或，则【解析】【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可【详解】由逆否命题定义可得原命题的逆否命题为：若或，则故答案为：若或，则.【点睛】本题主要考查四种命题的关系，掌握逆否命题

6、的定义是解决本题的关键4. 已知且，则 的取值范围是 _ （答案用区间表示）【答案】（3,8）【解析】【分析】根据不等式的性质，求得待求量的范围.【详解】设，则，解得 ，即，又且，且，.故答案为：（3,8）5. 设，若，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】由已知条件可得，进而得到最大值【详解】，即，当且仅当“”时取等号.故答案为：【点睛】本题考查利用一元二次函数求最值，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意等号成立的条件.6. 已知集合M，若，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】分别求得a0，a0，a0三种情况下，x的解集，根据题意，列出不等式，即可求得a的

7、范围.【详解】由集合M，得(ax5)(x2a)0时，原不等式可化为，若，则解得或，所以只需满足，解得；若，则解得或，所以只需满足，解得9a25，当a0时，当时，(ax5)(x2a)0恒成立，不符合题意，综上，实数a的取值范围是【点睛】解题的关键是掌握高次不等式的解法，即保证x最高次幂系数为正，分解因式，令各个因式等于0，求得对应的x，并按从小到大的顺序，标记在数轴上，从右上角开始，“奇穿偶回”，结合不等号，求得解集.7. 函数的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则_.【答案】64【解析】【分析】首先根据对数函数的性质得到，从而得到，再计算即可.【详解】对于函数，令，求得，可得它的的图象恒

8、过定点点A在幂函数的图象上，则故答案为：8. 已知对于任意非零实数m，不等式|2m1|1m|m|(|x1|2x3|)恒成立，则实数x的取值范围为_【答案】(，31，)【解析】【详解】由题意只要求|x1|2x3|恒成立时实数x的取值范围1.只需|x1|2x3|1.当x时，原式等价于1x2x31，即x3，x3.当x1时，原式等价于1x2x31，即x1，1x1.当x1时，原式等价于x12x31，即x5，x1.综上x的取值范围为(，31，)9. 如图，某地要在矩形区域内建造三角形池塘，、分别在、边上.米，米，设，.则写出关于的函数解析式，并写出的取值范围_.【答案】（），【解析】【分析】运用两角和的正

9、切函数公式，化简整理可得关于的函数解析式，由可求得定义域【详解】因为，所以，由题意得，则，化简得，由，得，所以关于的函数解析式为（），故答案为：（），10. 若函数的值域为，则的值为_.【答案】【解析】【分析】设，利用法可得出关于的二次不等式，利用根与系数的关系可求得实数的值.【详解】设，可得，由题意可知，关于方程在上有解，若，可得，则；若，则，即，由题意可知，关于的二次方程的两根为、，由韦达定理可得，解得.综上所述，.故答案为：.11. 已知函数在上不是单调函数，设、为常数，若，且，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】可判断出在上为增函数，从而要使在上不是单调函数，便可得，从而求出，得

10、，从而可求得，进而可求得结果【详解】因为，所以，所以在上为增函数，因为在上不是单调函数，所以，即，得，因为，所以，所以，所以，所以，因，所以，所以，因为，所以的取值范围为，故答案为：12. 已知函数，若关于的方程有8个不同的实数根，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】作出函数的图象，利用数形结合求解，利用换元法转化为一元二次方程根的分布情况，即有两个根，满足，或有两个根，满足， 从而可求出实数的取值范围【详解】作出函数的图象如图所示，设，由图象可知，当时，有3个根，当时，有4个根，当时，有5个根，当时，有6个根，当时，有3个根，当时，有0个根，方程有8个不同的实数根，则等价为有两个根

11、，满足，或者等价为有两个根，满足，设由得，即，解得，由得，则，此时由得或，满足，综上，或，故答案为：二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.13. 条件甲：；条件乙：，则甲是乙的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不也不必要条件【答案】B【解析】【详解】由，根据不等式的性质可得；由，而时，成立，不成立，所以甲是乙的必要不充分条件，故选B.14. 已知，下列不等式中正确的是（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】举反例可排除A、B、D，再证明C正确即可【详解】取可得，故A错

12、误； 取可得，故B错误； 取 可得，故D错误； 选项C，故正确故选：C【点睛】本题考查不等式比较大小，举反例是解决问题的关键，属基础题15. 设x，y满足约束条件，且的最大值为1，则的最小值为（ ）A. 64B. 81C. 100D. 121【答案】D【解析】【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线得最优解，从而得的关系式，然后用“1”的代换，配凑出积为定值，用基本不等式得最小值【详解】作出约束条件表示的可行域，如图，内部（含边界），作直线直线 ，中，由于，是直线的纵截距，直线向上平移时，纵截距增大， 所以当直线经过点时，取得最大值，则，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为1

13、21故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值解题思路是利用简单的线性规划求得变量满足的关系式，然后用“1”的代换凑配出定值，再用基本不等式求得最小值求最值时注意基本不等式的条件：一正二定三相等，否则易出错16. 、与、是4个不同的实数，若关于的方程的解集不是无限集，则集合中元素的个数构成的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意转化为两个函数的图象交点问题，不妨设，且，得到函数与的图象的交点问题，画出分段函数的图象，利用特殊值可判定1个交点，对于0和2个交点，结合绝对值的三角不等式和不等式的性质，导出矛盾，即可求解.【详解】由题意

14、，关于的方程的解集，可转化为函数与图象的交点，不妨设，且，即函数与的图象的交点，又由，设，由图象可知，当两个函数只有1个交点时，例如：时，可得唯一的一个交点坐标为.假设有0个交点，如图所示，由题意可得，所以，所以，由绝对值的三角不等式可得，所以这与矛盾，所以不可能为0个交点；假设有2个交点，如图所示，可得，所以，所以，明显矛盾，所以不可能有2个交点，其他0个交点和2个交点的情况均可化归为以上两类，综上所述，解集不是无限集时，集合的元素个数只有1个，即集合中元素的个数构成的集合为.故选：B.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤.17. 如图，在直三棱柱中，异面直

15、线与所成角的大小为.（1）求三棱柱的体积；（2）设为线段的中点，求二面角的大小.（结果用反三角函数表示）【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据已知条件求得三棱柱的高，由此求得三棱柱的体积.（2）利用向量法求得二面角的余弦值，进而求得其大小.【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，设，依题意可知，由于，所以由可解得.所以三棱柱的体积为.（2），设平面的法向量为，则，令，则，.平面的法向量为，设二面角为，由图可知为锐角.所以.18. 已知函数的定义域是，且当时，.（1）求的值；并证明在定义域上是增函数；（2）解不等式.【答案】（1），证明单调性见解析，（2）【解析

16、】【分析】（1）令，代入可求出的值，根据抽象函数的关系结合函数单调性的定义即可证明在定义域上是增函数；（2）由（1）将不等式转化为，再根据函数的单调性即可解不等式【详解】（1）因为函数的定义域是，所以令，则，所以，任取，且，因为，所以所以，因为，且，所以，所以，所以，所以在定义域上是增函数；（2）因为，所以不等式可化为，因为在定义域上是增函数，所以，即，解得或，所以不等式的解集为19. （1）解关于的不等式；（2）若关于的不等式的解集为空集，（1）中不等式的解集是，中有且只有三个元素，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为，（2）【

17、解析】【分析】（1）不等式等价于且，由开口方向和根的大小分五种情况讨论即可，（2）分三种情况求出集合A，再由（1）可知是中有且只有三个元素的必要条件，由列式求解即可【详解】（1）由，得，即且，当时，得，当时，由于，所以由且，得或，当时，由且，得且，当时，当时，解集为空集，当时，综上，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为，（2）当时，无解，满足题意，当时，有解，舍去，当时，则且，解得，综上，所以，当中有且只有三个元素，显然不可能，当时，,因为不合题意，舍去，当时， ，因为中有且只有三个元素，所以，解得，所以实数的取值范围为20. 已知集合，集合，集合（1）用列举法

18、表示集合C；（2）设集合C的含n个元素所有子集为，记有限集合M的所有元素和为，求的值；（3）已知集合P、Q是集合C的两个不同子集，若P不是Q的子集，且Q不是P的子集，求所有不同的有序集合对的个数；【答案】（1）；（2）；（3）2702个【解析】【分析】（1）先求出集合A，B，进而可得集合；（2）的每一元素在“总和”中均出现次，进而可得答案；（3）集合有个子集，不同的有序集合对有个，去除满足和的元素个数，可得答案【详解】（1）集合，集合，集合（2）时，对的任一元素，因为共有6个元素，故含有元素的子集为个，故的每一元素在“总和” 中均出现次，故；（3）集合有个子集，不同的有序集合对有个若，并设中含

19、有个元素，则满足的有序集合对有个，同理，满足的有序集合对有个，故满足条件的有序集合对的个数为【点睛】本题主要考查知识点是子集与真子集的区别与联系，集合的表示法，充分理解所给定义是解题的关键，有一定难度21. 设函数，当点是函数图象上的点时，点是函数图象上的点（1）写出函数的解析式；（2）若当xa+2，a+3时，恒有，试确定的取值范围；（3）把的图象向左平移个单位得到的图象，函数，（）在的最大值为，求的值【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）设点Q的坐标为（x，y），利用xx2a，yy，转化xx+2a，yy通过点P（x，y）在函数yloga（x3a）图象上，代入即可得到函数yg（x）的解析式；（2）通过xa+2，a+3，求出|f（x）g（x）|