分式函数值域的求法

1、分式函数ya 1x2b 1xc 1的值域a 2x2b 2xc 2函数值域是函数三要素之一,求函数值域无定法,且方法敏捷,是中学数学的一个难点；今日我们主要争论分式函数ya 1x2b 1xc 1的值域求法；xc 1就变为形如yb 1xc 1（b ,b2不同时为a2x2b 2xc2一、如a ,a2同时为零,就函数ya 1x2b 1a 2x2b 2xc 2b2xc2零）的函数,可以用分别常数法或求反函数法来求函数的值域；例求函数y2x1的值域x3解法：（分别常数法）利用恒等变形可化为：y2 x372x73x3所以,该函数的值域为y,2,：解法：（求反函数法）函数 y 2 x 1的反函数为 y 1 3

2、 x所以 原函数值域为 y y y 2（即反函数定义域为原函数x 3 x 2值域）；二、如 a ,a 2 不同时为零,但分子与分母有公因式子,可先约分再求值域；假如不约分,直接采纳下面三的方法,将加大运算量（如例 6）；例 求函数 y 2 x 1的值域x 3 x 2x 1解：可先将函数变为 y f x ； x 1 x 2 约分后函数变为 g x 1；x 2所以 g x 0约分后函数 g x 的定义域扩大了（严格来说 g x 与原函数 f x 不是同一个函数,但在不引起混淆的情形下也可直接约分）,g x 在处所对应的函数值 1,也是 f x 不能取到的值,所以函数y 2 x 1的值域是（,）（-

3、 , ）（,）；x 3 x 22例求函数 y x 5 x 6的值域x 2解：函数可变形为 y x 2 x 3 x 3,所以该函数的值域是 y y y 1；x 2三、如 a ,a 2 不同时为零,分子与分母没有公因式子,可以通过判别式法、分别常数法、基本不等式法求函数的值域；例函数yxx2xx1的值域2解法 1： 判别式法 将yx2 xxx1转化为关于x 的一元二次方程（y 看作参数）：x2xx1的值域）2 这是一个必有解的方程；争论使上方程有解的参数y的范畴,恰为函数yx2如y1,就 10冲突；由y1,这时由0 解得1y1 且y1；y1时,x1332综上所述知原函数的值域为1,13解法 2：

4、分别常数法 yxx2xx11x2111x1321 22 x4设g x x123,就g x 的值域是3,2441 3,1；所以,原函数值域为例 5：函数yx22x2的值域x1解：（基本不等式法）由于y2 xx2x2x1x111当x1时,x10,x110,y2当且仅当x0时等号成立；1当x1时,x10,x10,y2当且仅当x2时等号成立；所以函数的值域为, 2U2,；例 6：求函数yx2x12的值域x解：由于分子与分母有公因子,约分后可用上面二介绍的方法来求值域,假如不约分,也可直接用判别式法来求；将 y 2 x 1 转化为关于 x 的一元二次方程；x x 2当 y 0 时,x 1 不在函数定义域内；当 y 0 时, y 1 24 1 2 0即 3 y 1 20,当 3 y 1 20 时,y 1,此时 x 1 不在函数定义域内；3所以函数值域内 y ,0 U 0, 1 U , 1 3 3对于形如 ydx ax2 2ex bx cf（a 2d 20）的二次分式函数的求值域问题,只要函数2y ax2 bx c（a 2d 20）的定义域没有额外限制条件,就能够用判别式法求解,但不能用其在dx ex f指