北京邮电大学《高等数学》9.2 格林公式及其应用

1、9.2 格林公式及其应用 9.2.1 格林公式9.2.2 平面上曲线积分与路径无关的条件9.2.3 全微分方程1区域连通性的分类 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD2 格林公式定理9.2.1 3边界曲线L的正向 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边。4证明 (1)yxoabDcdABCE5同理可证yxodDcCEAB6(2)D两式相加得78GFDAB由(2)知CE910 xyoL（1） 简化曲线积分简单应用AB11xyoLAB12（2） 简化二重积分xyo13xyo14例3 计算 解 可直接化为

2、对x的定积分，但计算量较大。这里用格林公式。 从到xyoDA15DxyoA16解17xyoLyxo18xyo(注意格林公式的条件)19还可将结论更一般化（略） 小结（1）L是D的边界，在D上简单，而且 易于计算时，可应用格林公式计算 Oxyl1l2l3L注 此例中所作的辅助圆l是否一定要是D内的圆周（即r充分小）？ 20（2）L不封闭时，采取“补线”的方法： 要求右端的二重积分及曲线积分易于计算。 选用直线段、折线、圆、半圆、椭圆、抛物线等。 （3）如在D上P、Q一阶偏导连续，且处处有 则 如 D 内除点外均有 则 21 其中是包围点的与同向的光滑的简单闭曲线，特别地是以为中心的圆、椭圆等（半

3、径或长短半轴大小不限，只要内部没有别的“坏点”） 例5 计算 逆时针方向。 解22除原点外处处有 例5 计算 逆时针方向。 23（3） 计算平面面积24解2526GyxoBA如果在区域G内任意两条由点A到点B的曲线L1和L2, 都有： 平面上曲线积分与路径无关的条件27平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理9.2.2 设 是单连通域,在 内具有一阶连续偏导数,函数则以下四个条件等价:(2) 对 中任一分段光滑曲线 , 曲线积分与路径无关, 只与起止点有关. (3)在 内是某一函数的全微分,即 (4) 在 内每一点都有(1) 沿 中任意光滑闭曲线 ,有28说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记

4、为 证明 (1) (2)设为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线则(根据条件(1)29证明 (2)（3）在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点与路径无关,有函数 30证明 (3) （4）则从而在D内每一点都有 在D内具有连续的偏导数,设存在函数 使得设存在函数 使得31证明 (4)（1） 设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图) ,利用格林公式 , 得所围区域为证毕32说明:根据定理2,若在某区域内则2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;3)可用积分法求在域D内的原函数:

5、3)可用积分法求在域D内的原函数:33例7 设质点在力场作用下沿曲线 L :由移动到求力场所作的功W解 令则有可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.34思考 积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 !35例8 计算其中L 为上半从 O (0, 0) 到 A (4, 0).解 为了使用格林公式, 添加辅助线段它与L所围原式圆周区域为D , 则36例9 验证是某个函数的全微分,并求出这个函数. 证 设则由定理2 可知, 存在函数 u (x , y)，使。37例10 验证在右半平面内存在原函数 , 并求出它. 证 令则由定理 2 可知存在原函数

6、38或391.定义:判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数,（1）为全微分方程 则则称为全微分方程.（1）一个一阶微分方程写成（1）的形式后，如果它的左端恰好是某个函数的全微分，即三、全微分方程402.解法:1.应用曲线积分与路径无关.通解为2. 用分项组合凑全微分的方法全微分方程3.偏积分法41例1.求解解:因为故这是全微分方程. 则有因此方程的通解为42例2.求解解: 这是一个全微分方程 .用凑微分法求通解.将方程改写为即故原方程的通解为或43应用解法二求解全微分，需要记忆一些常见的全微分：44解1整理得公式法:例345解2整理得A 用曲线积分法:B 凑微分法:46C 偏积分法:原方程的通解为473 积分因子48例3解:49内容小结1 格林公式2 等价条件在 D 内与路径无关.在 D 内有对 D 内任意闭曲线L有在 D 内有设P,Q在单连通域D内具有一阶连续偏导数, 则有50思考与练习1 设且都取正向, 问下列计算是否正确 ?提示:512 设提示 52 备用题 1 设C为沿从点依逆时针的半圆, 计算解 添加辅助线如图,利用格林公式.原式 =到点532 质点M 沿着以AB为直径的半圆,从A