图形的折叠问题北师大版

1、图形的折叠问题（复习课）1 几何研究的对象是：图形的形状、大小、位置关系； 主要培养三方面的能力：思维分析能力、空间想象能力和逻辑推理能力； 折叠型问题的特点是：折叠后的图形具有轴对称图形的性质； 两方面的应用：一、在“大小”方面的应用；二、在“位置”方面的应用。2 折叠型问题在“大小”方面的应用，通常有求线段的长，角的度数，图形的周长与面积的变化关系等问题。一、在“大小”方面的应用1、求线段与线段的大小关系例1 如图，AD是ABC的中线，ADC=45，把ADC沿AD对折，点C落在点C的位置，求BC与BC之间的数量关系。解 由轴对称可知 ADC ADC , ADC=ADC=45, CD=CD=

2、BDBCD为Rt BC=2 BD= BC223练习1 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ） (A)2 (B)3 (C )4 (D)5例2 如图，折叠矩形的一边AD，点D落在BC边上点F处，已知AB=8，BC=10，则EC的长是 。解 设EC=x，则DE=8-x，由轴对称可知：EF=DE=8-x，AF=AD=10，又因AB=8，故BF=6，故FC=BC-BF=4。在RtFCE中，42+x2=(8-x)2，解之得x=3B4练习2 如图，在梯形ABCD中，DCAB，将梯形对折，使点D、C分别落在AB上

3、的D、C处，折痕为EF。若CD=3，EF=4，则AD+BC= 。2练习3 如图，将矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线MN上，若AB=3，则折痕AE的长为（ ）。 (A) 33/2 (B) 33/4 (C ) 2 (D) 23EC52、求角的度数例3 将长方形ABCD的纸片，沿EF折成如图所示；已知EFG=55，则FGE= 。70练习4 如图，矩形ABCD沿BE折叠，使点C落在AD边上的F点处，如果ABF=60，则CBE等于（ ）。 (A)15 (B)30 (C )45 (D)60A63、求图形的全等、相似和图形的周长例4 如图，折叠矩形ABCD一边AD，使点D落在BC边的一

4、点F处，已知折痕AE=55 cm，且tanEFC=3/4. (1)求证：AFBFEC； (2)求矩形ABCD的周长。证明：（1）B=C=D=90，又根据题意RtADERtAFE,AFE=90 , AFB=FEC ,AFBFEC.7解（2）由tanEFC=3/4，设EC=3k，则FC=4k，在RtEFC中，得EF=DE=5k。DC=AB=8k, 又ABFFCE, = 即 =ABBF8kBFFCCE4k3k BF = 6k , AF = 10k在RtAEF中, AF2+EF2 = AE2 (10k)2 + (5k)2 = (55)2 , k2 = 1 , k = 1 , k = 1 (取正值),矩

5、形的周长为36k，即36cm。8练习5 如图，将矩形纸片ABCD沿一对角线BD折叠一次（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示），将得到的所有的全等三角形（包括实线、虚线在内）用符号写出来。练习6 如图，矩形纸片ABCD，若把ABE沿折痕BE上翻，使A点恰好落在CD上，此时，AE:ED=5:3，BE=55，求矩形的长和宽。答案：ABDCDB, CDBEDB, EDBABD, ABFEDF.答案：矩形的长为10，宽为8。94、求线段与面积间的变化关系例5 已知一三角形纸片ABC，面积为25，BC的长为10，B和C都为锐角，M为AB上的一动点(M与A、B不重合)，过点M作MNBC，交AC于点N，设MN=

6、x. (1)用x表示AMN的面积SAMN。 (2)AMN沿MN折叠，设点A关于AMN对称的点为A，AMN与四边形BCMN重叠部分的面积为y.试求出y与x的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多少？10解（2）AMNAMN，设AMN中MN边上的高为h1，AEF中EF边上的高为h2.EFMN,AEFAMN. AMNABC, AEFABCABC中BC边上的高h=5,h1:x=5:10,h1= x .又h2=2h1-5=x-5, = ( )2,SAEF=( )225=(x-5)2SAEFSABCh25X-55y=SAMN-SAEF= x2-(x-5)2= -

7、 x2+10 x 25.当点A在四边形BCNM内或在BC边上（如图1），即0 x5时，y= x2。图1当点A在四边形BCNM外，即5x10时，y=SAMN-SAEF（如图2）图211综上所述，当 0 x5 时，y= x2；当5 x 10 时，y = - x2+10 x - 25。 当0 x5 时, 取x=5 ，y最大= 52=254；当 5 x 254 , x=203 时,y最大=253 .12练习7 如图，把一张边长为a的正方形的纸进行折叠，使B点落在AD上，问B点落在AD的什么位置时，折起的面积最小，并求出这最小值。O解： 如图，设MN为折痕，折起部分为梯形EGNM，B、E关于MN对称，所

8、以BEMN，且BO=EO，设AE=x，则BE= 。由RtMOB ，得： ，BM= = = .作NFAB于F，则有RtMNF ,FM=AE=x,从而CN=BM-FM= = 。S梯形BCNM= 。=(x-a/2)2+3/8 a2 . 当x=a2 时，Smin=(38 )a2.13例6 将长方形ABCD的纸片，沿EF折成如图所示，延长CE交AD于H，连结GH。求证：EF与GH互相垂直平分。二、在“位置”方面的应用 由于图形折叠后，点、线、面等相应的位置发生变化，带来图形间的位置关系重新组合。1、线段与线段的位置关系证明：由题意知FHGE，FGHE， 。又 ，四边形 是 ，FE与GH互相垂直平分。14

9、2、点的位置的确定例7 已知：如图，矩形AOBC，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴，y轴上，点A坐标为(0,3)，OAB=60，以AB为轴对折后，使C点落在D点处，求D点坐标。x y 解由题意知，OA=3，OAB=60，OB=3tan60=33 .RtACBRtADB, AD=AC=OB=33 .xy过点D作Y轴垂线，垂足为E，在直角三角形AED中，ED= ，AE= ，故OE= 。故点D的坐标为（3/23 ，- 3/2）。15练习8 如图，在直角三角形ABC中，C=90，沿着B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合。当A满足什么条件时，点D恰好是AB的中点？写出一个你

10、认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB中点。条件：A=30证明：由轴对称可得，BCEBDE， BC=BD ，在ABC中， C=90 ，A=30 ， BC= AB ， BD = AB ，即点D为AB的中点。16； 聚星娱乐 vcg49wfv 仍然还是断了线的珠子侧耳听着门外平车轱辘碾着石子路“咣当咣当”的声音越来越远，秀儿抚摸着耿正昨晚送给她的那支滑溜无比的橘黄色笛子，眼泪止不住哗哗地流淌下来。秀儿长这么大，第一次感到了刻骨铭心的痛昨晚她和耿正出了耿家小院儿后，不约而同地朝着村南的一棵大槐树走去。这棵大槐树的树干虽然没有多么粗，但树冠很大，树杈里经常会有山雀做窝。小的时候，耿正经常爬上树杈里为

11、秀儿掏鸟蛋玩儿。大槐树的旁边，还有几棵人们后来散栽的杨柳树，它们就好像不听话的孩子一样，没规没矩地胡乱站在那里。小的时候，每当炎热的夏日里在野外疯玩儿时，耿正就会从这些杨柳树上折一些软软细细的嫩枝条，亲手编一个漂亮的“凉帽”给秀儿戴在头上。“凉帽”的周围飘荡着许多翠绿翠绿的鲜嫩树叶，这些清凉的树叶轻轻地抚着秀儿的脸，舒服极了。带着这样的“凉帽”，即使在阳光下奔跑，也不用担心会晒黑了脸。有耿正亲手编的“凉帽”，秀儿的脸永远都是白白净净的。大槐树下有几块儿平整光滑的大石头，是大人们专门搬来摆放在那里的。大槐树的周围有不少耕地，人们在地里劳作的时间长了感到乏累时，就会来到大槐树下，坐在这些石头上歇息

12、一会儿，然后再去地里接着干活儿。小的时候，秀儿和耿正经常坐在这些大石头上，高高兴兴地分享各自带来的美食：秀儿娘做的五香炒面豆、秀儿姥娘家的香瓜、耿正娘煮的茶叶蛋、耿正姥娘家的大饼有时候，耿正会把刚听爹讲的那些天南地北的有趣儿故事转述给秀儿听，给秀儿吹笛子，尤其是那些刚跟爹学会的小曲儿；或者拿根树枝，把刚学会的字写在大石头旁边的土地上教给秀儿念，教秀儿怎么写他们的童年，永远都是欢笑和快乐；但昨天晚上，秀儿哭了，而且是有生以来第一次那么痛心地哭当他们默默地在那块最平整光滑的大石头上坐下来后，耿正出神地凝望着不远处的家门好一会儿没有说话。坐在旁边的秀儿也不说话，只是目不转睛地望着心爱的耿正。明亮的月光此刻被大槐树的枝叶挡住了，耿正的面轮看起来有些模糊，但尚未成年已日渐英俊潇洒的耿正在秀儿的心里。秀儿没有哥哥，记得小的时候，她曾经是那么得羡慕耿英，眼红她有这么好的一个哥哥！然而此刻，她很高