北京高考数学理科试题及答案

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页，150分。考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结 束后，将本试卷和答题卡一并收回。第一部分(选择题共40分)、选择题共8小题，每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。2已知集合A=x|x2x=0,B=0, 1, 2,若 AB(A) 00, 1(C) 0, 2(D) 0, 1, 2下列函数中，在区间(0,土比上为增函数的是(A) y = x 1(B)2y=(x -1)y=2y=log0.5(x 1)x - -1 cos 二曲线a| y 二 2 sin 二(e为

2、参数)的对称中心(A)在直线y =2x上(B)在直线y = -2x上(C)在直线y =x 1上(D)在直线y =x+1上(4)当m=7,n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的 s值为(A) 7(B) 42(C) 210(D) 840设an是公比为q的等比数列，则“ q1”是“ an”为递增数列的(A)充分且不必要条件(B)必要且不充分条件(C)充分且必要条件(D)既非充分也非必要条件x y -2 -0(6)若x, y满足4kx _y +2 0且z=y-x的最小值为 y -0(A) 2(B)-2(C)(D) 在空间坐标系 Oxyz 中，已知 A(2,0,0) , B(2,2,0) , C(0,

3、2,0) , 口(1,1,0)，若 S , S2 ,S3分别表示三棱锥D-ABC在xOy, yOz , zOx则坐标平面上的正投影图形的面积，则(A) 81 = 82 = 83 (B)&=$2且83&(C) S = S3 且 S3#S2(D)S2 = S3 且S -S3A同学每科成绩不低于 B同学,(8)有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀” “合格” “不合格”三种.若且至少有一颗成绩比 B高，则称 “A同学比B同学成绩好，”现在若干同学，他们之中没有一个人比另个人成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的。问满足条件的多少学生(A) 1(B) 3(C) 4 (D ) 5第二部分

4、(非选择题 共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。一 i 1 2(9)复数.=.i -144+彳 (10)已知向量a、b满足|a|=1, b=(2,1)且Za+b=0,则|人尸.2(11)在设曲线C经过点(2,2),且 -x2 =1具有相同渐近线，则C的方程是 .4(12)若等差数列an满足a7+a8+a90 ,a7+a100,6a0),若Jl JTf(x)在区间 上具有单调6 2性，且二 2 二f(2) = f(TJT)=-f (一),则f (x)的最小正周期为6三、解答题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。1(15)(本小题13分)如图，在ABC中，/B

5、=一, AB=8,点D在BC边上，且CD=2, cos/ADC= 37(1)求 sin/BAD. (n)求 BD , AC 的长.(16)(本小题13分)李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下(假设各场比场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188A赛相互独立)主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512(I )从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；(n)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6,另一场不超过 0.6的概率；(m)记X是表中10个命

6、中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记 X为李明在这场比赛中的命中次数，比 E(X) 和x的大小(17)(本小题14分)如图，正方形 AMDE的边长为2, B, C分别为AM和MD的中点，在五棱锥 P-ABODE 中，F为PE的中点，平面 ABC与棱PD, PC分别相较于点 G、H . ( I)求证： AB/FG;(n)若PA，平面ABODE ,且PA=AE,求直线BC与平面ABF所成的角，并求线段 PH的长(18)(本小题13分)已知函数f ( x) = xcosx si nxx 0,2】(i)求证：f(x)M0； (n)若 a csin-x b 在(0,) x2恒成立，求a的最大值与

7、b的最小值.22(19)(本小题14分)已知椭圆 C ： x +2y =4. (i)求椭圆C的离心率；(n)设。为原点，若点A在椭圆G上，点B在直线y=2上，且OA_LOB ,求直线AB与圆x2 + y2 = 2 的位置关系，并证明你的结论.(20)(本小题13分)对于数对序列P(a1,b)，(a2,b2),，(an,bn),记(P)=a b Tk(P) =b maxTy(P), a a? Ill aj (2 k n) ,其中 maxTy(P), a1 +a2+川+aj表示Ty(P)和aI+a2 +川+ ak两个数中最大的数.(i)对于数对序列P(2,5) , (4,1),求T1(P), Tz

8、(P);(n)记m为四个数a、b、c、d的最小值，对于两个数对(a,b) , (c,d)组成的数对序列 P(a,b) , (c,d)和P(c,d), (a,b),试分别对 m =a和m=b时的情况比较 Tz(P)和Tz(P)的大小;使T5(P)最小，并写出T5(P)的值(只需写出结论)绝密考试结束前2014年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理)(北京卷)参考答案一、选择题(共 8小题，每小题5分，共40分) TOC o 1-5 h z (1) C(2) A(3) B(4) C(5) D(6) D(7) D(8) B二、填空题(共 6小题，每小题5分，共30分)(9) -1(10) J5 H

9、YPERLINK l bookmark144 o Current Document 22x y HYPERLINK l bookmark89 o Current Document 11 3 -12 =1 y = 12x(12)8(13) 36( 14)兀三、解答题(共 6小题，共80分)(15)(共 13 分)解：(I)在 MDC 中，因为 COS/ADCsin ADC4.37所以 sin BAD = sin( ADC 一 B)(n)在MBD中，由正弦定理得H 33二 AB sin . BADsin ADB8 _14_ _34a e7在MBC中，由余弦定理得所以AC =7(16)(共 13 分

10、)解:(I)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过 0.6的场次有5场，分别是主场 2,主场3,所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(n)设事件 A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过则 C=AB JAB , A,B 独立。 32根据投篮统at数据，P(A) =_,P(B)=-55所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6 , 一场不超过一场不超过 0.6的概率为(田)EX =X(

11、17)(共14分)25解:(I)在正方形中，因为 B是AM的中点，所以AB II DE o又因为AB二平面PDE,所以AB II 平面 PDE,因为(n)所以因为AB II FG oPA_L底面 ABCDE所以 PA_LAB, PA.L AE.如图建立空间直角坐标系 Axyz,则A(0,0,0) ,B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2), F(0,1,1),BC =(1,1,0).CM xAB U平面ABF,且平面 ABF n平面PDF = FG设平面ABF的法向量为 n = (x, y, z),则n AB = 0, 口 x = 0, T 即 4,n AF =0, y z =0.

12、令 z=1,则y = 1。所以n = ( 0： 1 ,1设直线 BC与平面 ABF所成角为a,则sin a = cos n, BCn BC In| BC设点H的坐标为（U,V, W）.。因为点H在本底PC上，所以可设ph* = zpC（0 Z 1）,即(u, v, w 2)=人(2,1, 2).。所以 u=2九,v =九,w = 2 2九。因为n是平面ABF的法向量，所以n AH =0,即（0,1,1） 2九，九,2 2九）= 0。解得2，4 2 2、一,所以点H的坐标为（一，一，一）.33 3 3所以PH =, (4)2 (2)2 (-4)2 =2, 333(18)(共13分)解:(I)由

13、f (x) = xcosx-sinx得f (x) =cosx -xsin x - cosx = -xsin x。o,一一 2nj- n I因为在区间（0 ）上f （x） =xsinx30,所以f （x）在区间i0, 上单调递减。22从而 f(x) Wf (0) = 0。sinx b ” 等价于 “ sin x- bx 0时， a” 等价于 “ sin xax a0”x令 g(x) =sin x -cx ,则 g (x) = cosx -c ,当cE0时，g（x） 0对任意xW（0,一）恒成立。2当c21时，因为对任意 x-(0,1), g(x) =cosx - c- n10 ,所以g(x)在区

14、间|0,-上单调递减。冗从而g（x） g（0） =0对任意xe （0,一）恒成立。231当 0 c g(0) = 0。进一步， g(x)0对一 一 、一 一 2任意xw (0,)恒成立”当且仅当 g(-) =1 c0,即00对任意xw(0,一)恒成立;2g(x) 0对任意xw (0,三)恒成立。2 TOC o 1-5 h z sin x2所以，右a b对任意x=(0,)恒成立，则a最大值为 一，b的年小值为1.x2二(19)(共 14 分)解：22(I )由题意，椭圆 C的标准方程为 人 +匕=1。 HYPERLINK l bookmark47 o Current Document 422.2

15、22. 2所以 a =4,b =2,从而 c = a -b = 2。因此 a = 2, c = J2。一 、 c -.2故椭圆C的离心率e =。a 222.(n)直线AB与圆x +y =2相切。证明如下:设点A,B的坐标分别为(x0,y0) , (t,2)，其中x0 00因为OA _L OB ,所以 OA OB = 0 ,即 tx0 +2y0 = 0 ,解得 t 二2yoox0t2_当x0 =t时，y =,代入椭圆C的方程，得t =J22故直线AB的方程为x=J2。圆心O到直线AB的距离d =J2。此时直线AB与圆x2 +y2 =2相切。y0 -2当X0#t时，直线 AB的方程为y-2 =(xt),x0 -t即(yo -2)x -(xo -t)y +2x ty0 =0 ,圆心0到直线AB的距离又 xo2 +2y。2 =4, t =_红故 xo此时直线AB与圆x2 +y2 =2相切。(20)(共 13 分)解：(I) T1(P)=2+5=7Ti(P) -1 maxi1(P),2 4max：7,6? =8() T2(P) = max ia b d,a c d)T2(P)二 max ic d b, c a b .当 m=a 时，T2(P) = max1c+d +b,c + a+b = c + d +b因为 c+d +b4c + b+d ,且 a+c+d Ec + b+ d ,所以