全国初中数学竞赛试题及答案资料

1、精品文档中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.）1（甲）如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式a2|ab|(ca)2|bc|可以化简为（）（A）2ca（B）2a2b（C）a（D）a1（乙）如果a22，那么11213a的值为（）（A）2（B）2（C）2（D）222（甲）如果正比例函数y=ax（a0）与反比例函数y=bx（b0）的图象有两个交点，其中一（A）1（B）2a1个交点的坐标为（3，2），那么另一个交点的坐标为（）（A）（2，3）（B）（3，2）（C）（2，3）（D）（3，2）2y（乙）在平面直角坐标系xOy中，满足

2、不等式x2y22x2y的整数点坐标（x，）的个数为（）（A）10（B）9（C）7（D）53（甲）如果a，b为给定的实数，且1ab，那么1，a1，2ab，ab1这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）11（C）（D）4243（乙）如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，ABC是等边三角形ADC30，AD=3，BD=5，则CD的长为（）（A）32（B）4（C）25（D）4.5“4（甲）小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币小倩对小玲说：你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（）精品文档精品文档（A

3、）1（B）2（C）3（D）44（乙）如果关于x的方程x2pxq0（p，q是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（）（A）5（B）6（C）7（D）85（甲）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为p，p，p，p，则0123p，p，p，p中最大的是（）0123（A）p0（B）p1（C）p2（D）p35（乙）黑板上写有1，共100个数字每次操作先从黑板上的数中选取2个数11123100a，b，然后删去a，b，并在黑板上写上数abab，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（）（A）201

4、2（B）101（C）100（D）99二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）6（甲）按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否487？”为一次操作.如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是.6（乙）.如果a，b，c是正数，且满足abc9，11110abc，那么的值abbcca9bccaab为7（甲）如图，正方形ABCD的边长为215，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则DMN的面积是.7（乙）.如图所示，点A在半径为20的圆O上，以OA为一条ECA对角线E作矩形OBAC，设直线BC交圆O于D、两点，若OC12，段CE、BD的长度差是。

5、则线OBD8（甲）.如果关于x的方程x2+kx+34k23k+92=0的两个实数根分别精品文档x精品文档为x，x，那么x112220112012的值为8（乙）设n为整数，且1n2012.若(n2n3)(n2n3)能被5整除，则所有n的个数为.9（甲）.2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分.比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为.9（乙）如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称（x，y，z）是三角形数若（a，b，c）和（，）均为三角

6、形数，且abc，则111abcac的取值范围是.10（甲）如图，四边形ABCD内接于O，AB是直径，AD=DC.分别延长BA，CD，交点为E.作BFEC，并与EC的延长线交于点F.若AE=AO，BC=6，则CF的长为.10（乙）已知n是偶数，且1n100若有唯一的正整数对（a，b）使得a2b2n成立，则这样的n的个数为三、解答题（共4题，每题15分，共60分）11（甲）已知二次函数yx2（m3）xm2，当1x3时，恒有y0；关于x的方程x2（m3）xm20的两个实数根的倒数和小于910求m的取值范围5CO11（乙）.如图所示，在直角坐标系xOy中，点A在y轴负半轴上，点B、C分别在x轴正、负半

7、轴上，AO8,ABAC,sinC4yBx。点D在线段AB上，连结CD交Ey轴于点E，且SCOESADE。试D求图像经过B、C、E三点的二次函数的解析式。12（甲）.如图，O的直径为AB，精品文档A精品文档O过点O，且与O内切于点BC为O上的点，OC与O交于点D，且ODCD点11E在OD上，且DCDE，BE的延长线与O交于点F，求证：BOCDOF1112（乙）如图，O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是ABD的内心.求证：（1）OI是IBD的外接圆的切线；（2）AB+AD=2BD.13（甲）.已知整数a，b满足：ab是素数，且ab是完全平方数.当a2012时，求a的最小

8、值.精品文档精品文档13（乙）给定一个正整数n，凸n边形中最多有多少个内角等于150？并说明理由14（甲）.求所有正整数n，使得存在正整数x，x，x122012122012n.xxx122012，满足xxx122012，且14（乙）将2，3，n（n2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a，b，c（可以相同），使得abc，求n的最小值参考解答精品文档精品文档一、选择题1(甲).C解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知ba0c，且bc，所以a2|ab|(ca)2|bc|a(ab)(ca)(bc)a1（乙）B解：11213a1211121122111121221y1；y2；y0；y1；y0；

9、y2；y1；y0；y2.2（甲）D解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.2（乙）B解：由题设x2y22x2y，得0(x1)2(y1)22.因为x，y均为整数，所以有(x1)20，(x1)20，(x1)21，(x1)21，(y1)20；(y1)21；(y1)20；(y1)21.解得x1，x1，x1，x0，x0，x0，x2，x2，x2，.以上共计9对（x，y）3（甲）D解：由题设知，1a1ab12ab，所以这四个数据的平均数为1(a1)(ab1)(2ab)34a2b44，中位数为(a1)(ab1)44a2b24，44a2b34a

10、2b1于是.4443（乙）B解：如图，以CD为边作等边CDE，连接AE.由于AC=BC，CD=CE，BCD=BCA+ACD=DCE+ACD=ACE，精品文档精品文档所以BCDACE，BD=AE.又因为ADC30，所以ADE90.在eqoac(,Rt)ADE中，AE5，AD3，于是DE=AE2AD24，所以CD=DE=4.yn2(xn)，2n=(2y7)154（甲）D解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，x，y均为非负整数.由题设可得x2n(y2)，消去x得(2y7)n=y+4，151.2y72y7因为152y7为正整数，所以2y7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，

11、6，11从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，74（乙）C解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为q0，故方程的根为一正一负由二次函数yx2pxq的图象知，当x3时，y0，所以323pq0，即3pq9.由于p，q都是正整数，所以p1，1q5；或p2，1q2，此时都有p24q0.于是共有7组（p，q）符合题意5（甲）D解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以p9，p，p，p3636363601238910，因此p最大35（乙）C解：因为abab1(a1)(b1)，所以每

12、次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变设经过99次操作后黑板上剩下的数为x，则精品文档精品文档11x1(11)(1)(1)231(1)，100解得x1101，x100二、填空题6（甲）7x19解：前四次操作的结果分别为3x2，3(3x2)2=9x8，3(9x8)2=27x26，3(27x26)2=81x80.由已知得27x26487，81x80487.解得7x19.容易验证，当7x19时，3x24879x8487，故x的取值范围是7x196（乙）.7两边乘以abc9得解：在11110abbcca9cabcab310即7abbccaabbcca7（甲）8解：连接DF，记正方形ABCD的

13、边长为2a.由题设易知BFNDAN，所以ADANDN2，BFNFBN12由此得AN2NF，所以ANAF.3在eqoac(,Rt)ABF中，因为AB2a，BFa，所以AFAB2BF25a，于是cosBAFAB25AF5.由题设可知ADEBAF，所以AEDAFB，AME1800BAFAED1800BAFAFB90.于是AMAEcosBAF25a，5245MNANAMAFAMa，315精品文档MNDSAFDa2.精品文档又SAFDSMN4.MNDSAF15AFD148(2a)(2a)2a2，所以S21515因为a15，所以S287（乙）.5MND8.解：如图，设DE的中点为M，连接OM，则OMDE因

14、为OB20212216，所以OMOBOC161248BC205，CMOC2OM2，BM366455CEBD（EMCM）（DMBM）BMCM28（甲）3解：根据题意，关于x的方程有39=k24(k23k)0，42由此得(k3)20643628555=0，解得x1=x2=.又(k3)20，所以(k3)2=0，从而k=3.此时方程为x2+3x+94322012=1223解：2n3n故x12011xx28（乙）.1610=22n45n29因此5|(n49)，所以n41(mod5)，因此n5k1,或5k2201254022所以共有2012-402=1610个数9（甲）8解：设平局数为a，胜（负）局数为b

15、，由题设知2a3b130，由此得0b43.又ab(m1)(m2)2，所以2a2b(m1)(m2).于是0b130(m1)(m2)43，精品文档精品文档87(m1)(m2)130，由此得m8，或m9.当m8时，b40，a5；当m9时，b20，a35，a故m8ab55，不合题设.229（乙）.35a12c解：依题意得：111，所以bca，代入（2）得abc(1)bca(2)11111，两边乘以a得abccac1aacaa即cac，cca，化简得a23acc20，两边除以c2得ca2a3()10c所以35a352c2另一方面：abc，所以ac1综合得35a12c另解：可令ak，由（1）得b(1k)c

16、，代入（2）化简得k23k10，解得c，2353535k另一方面：abc，所以k1，综合得2210（甲）322解：如图，连接AC，BD，OD.由AB是O的直径知BCA=BDA=90.依题设BFC=90，四边形ABCD是O的内接四边形，所以BCF=BAD,k1所以eqoac(,Rt)BCFeqoac(,Rt)BAD，因此BCBACFAD.因为OD是O的半径，AD=CD，所以OD垂直平分AC，ODBC，精品文档于是DE，BEBA，精品文档OE2.因此DCOBDE2CD2AD，CE3AD.由AEDCEB，知DEECAEBE因为AEBA322BA，BA=22AD，故所以2AD3ADBA322CFADB

17、ABC32BC222.10（乙）.12a解：依题意得na2b2abb由于n是偶数，a+b、a-b同奇偶，所以n是4的倍数，即n4k，当1n100时，4的倍数共有25个，但要满足题中条件的唯一正整数对（a，b），则：kp或kp2，其中p是素数，因此，k只能取下列12个数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、4、9、25，从而这样的n有12个。三、解答题11（甲）解：因为当1x3时，恒有y0，所以24（m3）（m2）0，2即（m1）0，所以m1（3分）当x1时，y0；当x3时，y0，即(1)2(m3)(1)m20，且323(m3)m20，解得m5（8分）设方程x2m3xm20的两个实数根

18、分别为x，x，由一元二次方程根与系数的关12系得xxm3，xxm21212因为精品文档xx10 xxm2101212xx119m39，所以12，精品文档解得m12，或m2因此m12（15分）11（乙）.解：因为sinABC=AO，AO8，COESCDBSeqoac(,1)AOB所以点E的坐标为(0，)（也可由直线CD交y轴于点E来求得.）4AB50)0)n所以AB=10由勾股定理，得BOAB2AO26易知ABOACO，因此CO=BO=6于是A(0，8)，B(6，C(6，设点D的坐标为(m，)由S，得SADE111所以BCnAOBO，12(n)862222解得n4因此D为AB的中点，点D的坐标为

19、(3，4)因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为eqoac(,A)BC的重心，83设经过B，C，E三点的二次函数的解析式为ya(x6)(x6)将点E的坐标代入，解得a=227故经过B，C，E三点的二次函数的解析式为y28x227312（甲）证明：连接BD，因为OB为O的直径，所以1ODB90又因为DCDE，所以CBE是等腰三角形（5分）设BC与O交于点M，连接OM，则OMB90又1因为OCOB，所以BOC2DOM2DBC2DBFDOF1（10分）又因为BOC，DOF分别是等腰BOC，等腰DOF的顶角，所以11BOCDOF1（15分）12（乙）.证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和

20、同弧上圆周角相等的性质知：CIDIADIDA，精品文档于是b=am.精品文档CDICDBBDIBACIDAIADIDA所以CIDCDI，CI=CD同理，CI=CB故点C是IBD的外心连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA=OC，所以OIAC，即OICI故OI是IBD外接圆的切线（2）如图，过点I作IEAD于点E，设OC与BD交于点F由BCCD，知OCBD因为CBF=IAE，BC=CI=AI，所以RtBCFRtAIE所以BF=AE又因为I是ABD的内心，所以ABADBD2AEBDBD2BFBD故ABAD2BD也可由托勒密定理得：ABCDADBCACBD，再将AC2BC2CD代入即得结论ABA

21、D2BD。13（甲）解：设ab=m（m是素数），ab=n2（n是自然数）.因为(a+b)24ab=(ab)2，所以(2am)24n2=m2，(2am+2n)(2am2n)=m2.（5分）（1）当n1时，因为2am+2n与2am2n都是正整数，且2am+2n2am2n(m为素数)，所以2am+2nm2，2am2n1.(m1)2m21解得a，n.442（m1）4（10分）(m1)2又a2012，即2012.4(891)2又因为m是素数，解得m89.此时，a=2025.4当a2025时，m89，b1936，n1980.此时，a的最小值为2025.（2）当n0时，因为a2012，所以b0，从而得a的最小值为2017（素数）。综上所述，所求的a的最小值为2017。（15分）精品文档精品文档13（乙）.解：设凸n边形最多有k个内角等于150，则每个150内角的外角都等于30，而凸n边形的n个外角和为360，所以k36012，只有当n12时，30k才有最大值12.（5分）下面我们讨论n12时的情况：（1）当n12时，显然，k的值是11；（2）当n3,4,5,6,7时，k的值分别为1，2，3，4，5；（3）当n8,9,10,11时，k的值分别为7，8，9，10.（10分）综上所述，当3n7时，凸n边形最多有n2个内角等于150；当8n