2022年湖北省鄂州市中考数学试卷

2022年湖北省鄂州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）

1.（3分）实数9的相反数等于（）

A.-9B.+9C.1D.-i

2.（3分）下列计算正确的是（）

A.b+b2=b3B.b6b3=b2C.（2b）3=6b3D.3b-2b=b

3.（3分）孙权于公元221年4月自公安“都鄂”，在西山东麓营建吴王城，

并取“以武而昌”之意，改鄂县为武昌.下面四个汉字中，可以看作是轴对称图

形的是（）

A.以B.武C.而D.昌

4.（3分）如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体组成，它的主视

图是（）

B.e.m

5.（3分）如图，直线k〃k，点C、A分别在I1、I2上，以点C为圆心，CA长

为半径画弧，交k于点B,连接AB.若NBCA=150°,则N1的度数为（）

A.10°B.15°C.20°D.30°

6.（3分）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数

学模型.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代,

我们就用数学模型2n来表示.即：21二2,22=4,23=8,24=16,25=32,……,请

你推算22。22的个位数字是（）

A.8B.6C.4D.2

7.（3分）数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数丫=

kx+b（k、b为常数，且kVO）的图象与直线y=：x都经过点A（3,1）,当kx+

)

x<lD.x>1

8.（3分）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计

了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°,将形状规则的铁球放入

槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要

求.图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知。0的直径就是铁球的

直径,AB是。0的弦,CD切。0于点E,AC±CD>BD±CD,若CD=16cm,AC=BD=4cm,

则这种铁球的直径为（）

A.10cmC.20cmD.24cm

9.（3分）如图，已知二次函数y=ax?+bx+c（a、b、c为常数，且aW

0）的图象顶点为P（1,m）,经过点A（2,1）.有以下结论：①aVO；②abc>

0；③4a+2b+c=l；®X>1时，y随X的增大而减小；⑤对于任意实数t,总有

at2+bt<a4-b,其中正确的有（）

10.（3分）如图,定直线MN〃PQ,点B、C分别为MN、PQ上的动点,且BC=12,

BC在两直线间运动过程中始终有NBCQ=60°.点A是MN上方一定点，点D是PQ

下方一定点，且AE〃BC〃DF,AE=4,DF=8,AD=24遮，当线段BC在平移过程中,

A.24V13B.24V15C.12mD.12V15

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）

11.（3分）计算：V4=.

12.（3分）为了落实“双减”，增强学生体质，阳光学校篮球兴趣小组开展

投篮比赛活动.6名选手投中篮圈的个数分别为2,3,3,4,3,5,则这组数据

的众数是.

13.（3分）若实数a、b分别满足a2-4a+3=0,b2-4b+3=0,且a#

b,则工+：的值为.

14.（3分）中国象棋文化历史久远.某校开展了以“纵横之间有智慧攻防

转换有乐趣”为主题的中国象棋文化节.如图所示是某次对弈的残局图，如果建

立平面直角坐标系，使“白巾”位于点（-1,-2）,“焉”位于点（2,-2）,那么“兵”

在同一坐标系下的坐标是

15.（3分）如图，已知直线y=2x与双曲线y=；（k为大于零的常数，且x

>0）交于点A,若OA=遍，则k的值为.

16.（3分）如图，在边长为6的等边AABC中，D、E分别为边BC、AC上的

点，AD与BE相交于点P,若BD=CE=2,则AABP的周长为

三、解答题（本大题共8小题，共计72分.解答应写出必要的文字说明、

证明过程或演算步骤）

17.（8分）先化简，再求值：言一看其中好3.

18.（8分）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校举行了“青年大

学习，强国有我”知识竞赛活动.李老师赛后随机抽取了部分学生的成绩（单位：

分,均为整数），按成绩划分为A、B、C、D四个等级，并制作了如下统计图表（部

分信息未给出）：

（1）表中好,C等级对应的圆心角度数为；

（2）若全校共有600名学生参加了此次竞赛，成绩A等级的为优秀，则估

计该校成绩为A等级的学生共有多少人？

（3）若A等级名学生中有3人满分，设这3名学生分别为TrT2,T3,

从其中随机抽取2人参加市级决赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到Ti，

的概率.

等级成绩"分人数

A90<x<10015

B80<x<90a

C70<x<8018

Dx<707

19.（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,且NCDF=N

BDC、ZDCF=ZACD.

(1)求证：DF=CF；

(2)若NCDF=60°,DF=6,求矩形ABCD的面积.

20.(8分)亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽一一鄂州花湖机场，于2022

年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻.如图，

市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°,同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看

见飞机A的仰角为30°.若斜坡CF的坡比二1：3,铅垂高度DG=30米(点E、G、

C、B在同一水平线上).求：

(1)两位市民甲、乙之间的距离CD；

(2)此时飞机的高度AB.(结果保留根号)

21.(8分)在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小

明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回

家.小明离家的距离y(km)与他所用的时间x(min)的关系如图所示：

y/km.

（1）小明家离体育场的距离为km,小明跑步的平均速度

为km/min；

(2)当15WxW45时，请直接写出y关于x的函数表达式;

（3）当小明离家2km时，求他离开家所用的时间.

22.（10分）如图，aABC内接于P是＜30的直径AB延长线上一点，Z

PCB=Z0AC,过点0作BC的平行线交PC的延长线于点D.

（1）试判断PC与。。的位置关系，并说明理由;

（2）若PC=4,tanA=1,求△0CD的面积.

23.(10分)某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=ax2(a>0)型

抛物线图象.发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F(0,的

4a

距离MF,始终等于它到定直线1：y=-；的距离MN(该结论不需要证明)，他们

4a

称：定点F为图象的焦点，定直线1为图象的准线，y=-；叫做抛物线的准线

4a

方程.其中原点。为FH的中点，FH=2OF=;.

2a

例如：抛物线y=12,其焦点坐标为F(0,1),准线方程为1：y=-*其

中MF=MN,FH=20H=1.

【基础训练】

(1)请分别直接写出抛物线y=2x2的焦点坐标和准线1的方

程：，.

【技能训练】

(2)如图2所示，已知抛物线y=Jx2上一点P到准线1的距离为6,求点

O

P的坐标；

【能力提升】

(3)如图3所示，已知过抛物线y=ax?(a>0)的焦点F的直线依次交抛

物线及准线1于点A、B、C.若BO2BF,AFF,求a的值；

【拓展升华】

(4)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中

末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB,使得其中较长一段AC是全

线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：*=竿=与1.后人把空这个数称

AoAC2N

为“黄金分割”数，把点c称为线段AB的黄金分割点.

如图4所示，抛物线y=；x2的焦点F(0,1),准线1与y轴交于点H(0,

T),E为线段HF的黄金分割点,点M为y轴左侧的抛物线上一点•当案=或

时，请直接写出△HME的面积值.

24.（12分）如图1,在平面直角坐标系中，RtZXOAB的直角边0A在y轴的

正半轴上，且0A=6,斜边0B=10,点P为线段AB上一动点.

（1）请直接写出点B的坐标；

（2）若动点P满足NP0B=45°,求此时点P的坐标；

（3）如图2,若点E为线段0B的中点，连接PE,以PE为折痕，在平面内

将4APE折叠，点A的对应点为A，,当PA'_LOB时，求此时点P的坐标；

（4）如图3,若F为线段A0上一点，且AF=2,连接FP,将线段FP绕点F

顺时针方向旋转60°得线段FG,连接0G,当0G取最小值时，请直接写出0G的

最小值和此时线段FP扫过的面积.

2022年湖北省鄂州市中考数学试卷

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）

1.（3分）实数9的相反数等于（）

A.-9B.+9C.1D.-i

答案：A

解析：实数9的相反数是：-9.

故选：A.

2.（3分）下列计算正确的是（）

A.b+b2=b3B.b6-rb3=b2C.（2b）3=6b3D.3b-2b=b

答案：D

解析：..・b与b?不是同类项，

・・・选项A不符合题意；

Vb6^b3=b3,

・•・选项B不符合题意；

V（2b）3=8b3,

・,・选项C不符合题意；

V3b-2b=b,

工选项D符合题意，

故选：D.

3.（3分）孙权于公元221年4月自公安“都鄂”，在西山东麓营建吴王城，

并取“以武而昌”之意，改鄂县为武昌.下面四个汉字中，可以看作是轴对称图

形的是（）

A.以B.武C.而D.昌

答案：D

解析：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直

线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形,

选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能

够互相重合，所以是轴对称图形，

故选：D.

4.（3分）如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体组成，它的主视

图是（）

解析：该几何体的主视图为：一共有两列，左侧有三个正方形，右侧有一个

正方形，所以A选项正确,

故选：A.

5.（3分）如图，直线h〃lz，点C、A分别在11、上，以点C为圆心'，CA长

为半径画弧，交h于点B,连接AB.若NBCA=150°,则N1的度数为（）

C.20°D.30°

答案：B

解析：由题意可得AC=BC,

，NCAB=NCBA,

VZBCA=150°,ZBCA+ZCAB+ZCBA=180°,

AZCAB=ZCBA=15°,

・・・11〃12，

AZ1=ZCBA=15°.

故选:B.

6.（3分）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数

学模型.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代,

我们就用数学模型2n来表示.即：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,……，请

你推算22。22的个位数字是（）

A.8B.6C.4D.2

答案：C

解析:V21=2,2?=4,23=8,24=16,25=32,.......,

・・・2的乘方的尾数每4个循环一次，

V2022^-4=505-2,

・・・22。22与22的尾数相同，

故选：C.

7.（3分）数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数丫=

kx+b（k>b为常数，且k<0）的图象与直线y=:x都经过点A（3,1）,当kx+

bV^x时，根据图象可知，x的取值范围是（）

y'

A.x>3B.x<3C.x<lD.x>l

答案：A

解析：由图象可得，

当x>3时，直线y[x在一次函数y=kx+b的上方，

当kx+bV：x时，x的取值范围是x>3,

故选：A.

8.（3分）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计

了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°,将形状规则的铁球放入

槽内时;若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要

求.图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知。。的直径就是铁球的

直径,AB是。0的弦，CD切。0于点E,AC_LCD、BD±CD,若CD=16cm,AC=BD=4cm,

则这种铁球的直径为（：）

A.10cmB.15cmC.20cmD.24cm

答案：C

解析：如图，连接OE,交AB于点F,连接0A,

・・・AC_LCD、BD±CD,

・・・AC〃BD,

VAC=BD=4cm,

・•・四边形ACDB是平行四边形，

・・・四边形ACDB是矩形，

AAB/7CD,AB=CD=16cm,

・・・CD切。0于点E,

AOE±CD,

AOE±AB,

・•・四边形EFBD是矩形，AF=iAB=1x16=8(cm),

AEF=BD=4cm,

设GO的半径为rcm,则0A=rcm,OF=OE-EF=(r-4)cm,

在RtZkAOF中，OA2=AF2+OF2,

Ar2=824-(r-4)2,

解得：r=10,

・•・这种铁球的直径为20cm,

故选：C.

9.(3分)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且aW

0)的图象顶点为P(1,m),经过点A(2,1).有以下结论：①aVO；②abc>

0；③4a+2b+c=l；®x>l时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t,总有

at2+bt<a4-b,其中正确的有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

答案：C

解析：①由抛物线的开口方向向下，

则a<0,故①正确；

②•・•抛物线的顶点为P(bm),

・・.一?=1,b=-2a,

2a

Va<0,

Ab>0,

・・•抛物线与y轴的交点在正半轴，

Ac>0,

Aabc<0,故②错误；

③•.•抛物线经过点A(2,1),

/.1=a•22+2b4-c,即4a+2b+c=l,故③正确；

④：抛物线的顶点为P(Lm),且开口方向向下,

・・・x>l时，y随x的增大而减小，即④正确；

⑤〈aVO,

at2+bt-(a+b)

=at2—2at—a+2a

=at2-2at+a

=a(t2-2t+1)

=a(t—l)2<0

Aat2+bt<a+b,则⑤正确

综上，正确的共有4个.

故选：C.

10.(3分)如图，定直线MN〃PQ,点B、C分别为MN、PQ上的动点，且BC=12,

BC在两直线间运动过程中始终有NBCQ=60°.点A是MN上方一定点，点D是PQ

下方一定点，且AE〃BC〃DF,AE=4,DF=8,AD=24>/3,当线段BC在平移过程中，

A.24V13B.24V15C.12V13D.12V15

答案：C

解析：如图，

作DLLPQ于L,过点A作PQ的垂线，过点D作PQ的平行线，它们交于点

R,延长DF至T,使DT=BC=12,连接AT,

AT交MN于B',作B'C1〃BC,交PQ于C',则当BC在B'P时，AB+CD

最小，最小值为AT的长，

可得AK=AE・sin60。=yAE=2>/3,DI^DFEBa二6后

:.AR=2V3+6x^3+4V3=12V3,

VAD=24>/3,

/.sinZADR=—=-,

AD2

AZADR=30°,

VZPFD9=60°,

AZADT=90°,

AAT=VAD24-DT2=J（24V3）2+122=12V3,

故答案为：C.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）

11.（3分）计算：V4=.

答案：2

解析：・.・22=4,

AV4=2.

故答案为：2

12.（3分）为了落实“双减”，增强学生体质，阳光学校篮球兴趣小组开展

投篮比赛活动.6名选手投中篮圈的个数分别为2,3,3,4,3,5,则这组数据

的众数是.

答案：3

解析：因为这组数据中3出现3次，次数最多，

所以这组数据的众数是3,

故答案为：3.

13.（3分）若实数a、b分别满足a2-4a+3=0,b2-4b+3=0,且d/

b,则工+：的值为.

ab------

答案：i

解析：・.•实数a、b分别满足a2-4a+3=0,b2-4b+3=0,且aWb,

・・・a、b可看作方程x2-4x+3=0的两个不相等的实数根，

则a+b=4,ab=3»

则原式/

故答案为：a

14.（3分）中国象棋文化历史久远.某校开展了以“纵横之间有智慧攻防

转换有乐趣”为主题的中国象棋文化节.如图所示是某次对弈的残局图，如果建

立平面直角坐标系，使气巾”位于点（-1,-2）,“焉”位于点（2,-2）,那么“兵”

在同一坐标系下的坐标是.

解析：根据平面内点的平移规律可得，

把“帅”向左平移两个单位，向上平移3个单位得到“兵”的位置，

/.-2+3）,

即（-3,1）.

故答案为：（-3,1）.

15.（3分）如图，己知直线y=2x与双曲线y=“（k为大于零的常数，且x

X

>0）交于点A,若OA=瓜则k的值为.

答案：2

解析：设A（x,y）,

•・•点A在直线y=2x上，且OA二通,

・・・A点坐标为(1,2),

•・•点A在双曲线y=：(x>0)上，

；・k二2,

故答案为：2.

16.(3分)如图,在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的

点，AD与BE相交于点P,若BD-CE-2,则4ABP的周长为.

A

答案：丝1臀

解析：••♦△ABC是等边三角形，

AAB=BC,ZABD=ZC=60°,

AB=BC

在4ABD和4BCE中，ZABD=ZC

BD=CE

AAABDS2ABCE(SAS),

工ZBAD=ZCBE,

:.ZAPE=ZABP+ZBAD=ZABP+ZCBE=ZABD=60°,

AZAPB=120°,

在CB上取一点F使CF=CE=2,则BF=BC-CF=4,

AZC=60°,

•••△CEF是等边三角形，

AZBFE=120°,

即NAPB=NBFE,

/.△APB^ABFE,

.APBF4

■——=—=-=oz.

设BP=x,贝!|AP=2x,

作BH_LAD延长线于H,

VZBPD=ZAPE=60°,

・・・NPBH=30°,

・・・PH=5BH=TX

・・・AH=AP+PH=2X+；=»

在RtZkABH中，AH24-BH2=AB2

即（声）2+停x）2=6）,

解得X=^或-殍（舍去）,

・・加岑,BP卷

12V7,6".,18542+18夕

/.AABP的周长为AB+AP+BP=6++=64-

777

故答案为：竺嘤

三、解答题（本大题共8小题，共计72分.解答应写出必要的文字说明、

证明过程或演算步骤）

m（8分）先化简,再求值：六一击,其中a:3.

解痴缶-U

a2-l

a+l

二(a+l)(a-l)

a+l

=a-

当a=3时，原式=3-1=2.

18.（8分）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校举行了“青年大

学习，强国有我”知识竞赛活动.李老师赛后随机抽取了部分学生的成绩（单位：

分,均为整数），按成绩划分为A、B、C、D四个等级，并制作了如下统计图表（部

分信息未给出）:

（1）表中好,C等级对应的圆心角度数为；

（2）若全校共有600名学生参加了此次竞赛，成绩A等级的为优秀，则估

计该校成绩为A等级的学生共有多少人？

（3）若A等级名学生中有3人满分，设这3名学生分别为TrT2,T3,

从其中随机抽取2人参加市级决赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到Ti，

的概率.

等级成绩"分人数

A90<x<10015

B80<x<90a

C70<x<8018

Dx<707

解答：（1）抽取的学生人数为：15+骂『60（人），

Aa=60-15-18-7=20,C等级对应的圆心角度数为：360°X为08。，

60

故答案为：20,108°；

（2）600X^=150（人）

60

答：估计该校成绩为A等级的学生共有150人；

（3）画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中恰好抽到T],T2的结果有2种,

・•・恰好抽到Ti，T2的概率为（=

o5

19.（8分）如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点0,且NCDFN

BDC、NDCF=NACD.

(1)求证：DF=CF；

(2)若NCDF=60°,DF=6,求矩形ABCD的面积.

解答：(1)证明：・・•四边形ABCD是矩形，

/.0C=jAC,0D=iBD,AC=BD,

A0C=0D,

・•.ZACD=ZBDC,

VZCDF=ZRDC,ZDCF=ZACD,

二ZCDF=ZDCF,

ADF=CF；

(2)解：由⑴可知，DF=CF,

VZCDF=60°,

•••△CDF是等边三角形，

ACD=DF=6,

VZCDF=ZBDC=60°,0C=0D,

AAOCD是等边三角形，

A0C=0D=6,

・・・BD=20D=12,

・・•四边形ABCD是矩形，

AZBCD=90°,

:.BC=VBD2-CD2=V122-62=6V3,

・•・S矩形ABCD二BC・CD=6V5X6=36

20.(8分)亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽一鄂州花湖机场，于2022

年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻.如图，

市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°,同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看

见飞机A的仰角为30°.若斜坡CF的坡比二1：3,铅垂高度DG=30米（点E、G、

C、B在同一水平线上）.求：

（1）两位市民甲、乙之间的距离CD；

（2）此时飞机的高度AB.（结果保留根号）

解答：（1）I•斜坡CF的坡比二1：3,DG=30米,

・DG1

••标=7

AGC=3DG=90（米），

在RtZkDGC中，DC=VDG2+GC2=,3（）2+90?=3oVio（米）,

・•・两位市民甲、乙之间的距离CD为30as米;

（2）过点D作DH_LAB,垂足为H,

则DG二BH=30米，DH=BG,

设BC=x米，

在Rtz^ABC中，ZACB=45°,

・・・AB=BC・tan45°=x（米）,

AAH=AB-BH=（x-30）米，

在RtZkADH中，ZADH=30°,

-A-H----x--3-0----V-3

Atan30°DH-x+90-3

Ax=60V3+90,

经检验：x=606+90是原方程的根,

AAB=(60V3+90)米,

・•・此时飞机的高度AB为（6075+90）米.

21.（8分）在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小

明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回

家.小明离家的距离y（km）与他所用的时间x（min）的关系如图所示：

（1）小明家离体育场的距离为km,小明跑步的平均速度

为km/min；

（2）当15<x<45时，请直接写出y关于x的函数表达式；

（3）当小明离家2km时，求他离开家所用的时间.

解答：（1）小明家离体育场的距离为2.5km,小明跑步的平均速度为隈=

1.0

ikm/min；

6

故答案为：2.5,；O；

设BC的解析式为：y=kx+b,

则［30k+b=2.5

人」U5k+b=1.5

解得：一石，

lb=45

.,.BC的解析式为：y=—2x+4.5,

JLO

二当15WxW45时，y关于x的函数表达式为：

2.5(15<x<30)

y=—x+4.5i30<x<45)；

15

(3)当y=2时，-^x+4.5=2,

JLO

•75

・.X=

2+：=12,

6

・••当小明离家2km时，他离开家所用的时间为12min或jnin.

22.(10分)如图，aABC内接于。0,P是。0的直径AB延长线上一点，Z

PCB=Z0AC,过点0作BC的平行线交PC的延长线于点D.

(1)试判断PC与00的位置关系，并说明理由;

(2)若PC=4,tanA=i,求△0CD的面积.

2

解答：(1)PC是。。的切线，理由如下：

・・・AB是。0的直径，

AZACB=90°,

AZ0AC+Z0BC=90o,

V0B=0C,

・・・Z0BC=Z0CB,

■:ZPCB=Z0AC,

AZPCB+ZOCB=90°,

AZPC0=90o,即0C_LPC,

・・・oc是半径，

・・・PC是。0的切线；

(2)在RtZkACB中,tanA=

AC

VtanA=-

29

•,•BC——1,

AC2

VZPCB=ZOAC,ZP=ZP,

AAPCB^APAC,

•,•PB—PC—BC=一1,

PCPAAC2

VPC=4,

APB=2,PA=8,

AAB=PA-PB=8-2=6,

.,.0C=0B=0A=3,

VBC/70D,

即土=4

CDOBCD3

ACD=6,

V0C±CD,

:.SAOCD=I•OC•CD=1x3x6=9.

23.（10分）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究丫=&乂2（a>0）型

抛物线图象.发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0,；）的

4a

距离MF,始终等于它到定直线1：y=-；的距离MN（该结论不需要证明），他们

4a

称：定点F为图象的焦点，定直线1为图象的准线，y=-；叫做抛物线的准线

4a

方程.其中原点。为FH的中点，FH=20F4.

2a

例如：抛物线y=gx2,其焦点坐标为F（0,b,准线方程为1：y=-去其

中MF=MN,中=20H=l.

【基础训练】

（1）请分别直接写出抛物线y=2x2的焦点坐标和准线1的方

程：，

【技能训练】

(2)如图2所示，已知抛物线y=：x2上一点P到准线1的距离为6,求点

O

P的坐标；

【能力提升】

(3)如图3所示，已知过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F的直线依次交抛

物线及准线1于点A、B、C.若BC-2BF,AF-4,求a的值；

【拓展升华】

(4)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中

末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB,使得其中较长一段AC是全

线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：与=竿=与1.后人把与1这个数称

AUACLL

为“黄金分割”数，把点c称为线段AB的黄金分割点.

如图4所示，抛物线y=：x2的焦点F(0,1),准线1与y轴交于点H(0,

4

7),E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点.当黑=加

MF

.1_1

**4a-8*

故答案为：(0,i),y=——

O了8

⑵Va=j,

・1_o

••1——L9

4X8

，准线为：y=-2,

二点P的纵坐标为:4,

・,・次=4,

.\x=±4V2,

・・・P(4>/2,4)或(-4V2,4)；

AAG=AF=4,BK=BF,FH=

・.・BK〃FH〃AG,

/.△CBK^ACFH,ACBK^ACAG,

.BK_BCBK_BC

**FH-CF*AG-AC,

・BF_2BF_2BF_2BF

*-3BF-3,T-3BF+4'

2a

・1

・・aq：

(4)设点M(m,7m2),

♦型=V2,

MF

・MH20

••标=2,

222

.m+(lm+l)_

・・m1=-2,m2=2(舍去)，

AM