优秀教案-任意角的三角函数

1、第一课时任意角的三角函数的定义知识与技能：1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角终边上一点，会求角的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。过程与方法：1理解并掌握任意角的三角函数的定义；2树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；3通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。情感态度与价值观：1使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式2学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；教学重点：三角函数的定义；三角函数的定义域及其确定方法；三角函数值在各个象限内

2、的符号以及诱导公式一教学难点：任意角三角函数的定义一复习引入思考：我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？第1页（共7页）余弦，正切依次为：sinA,cosA,tanA则sinMPOPrY结论：在RtABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦，abaccb锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数思考1:角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义.你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角的顶点与原点O重合,始边与x轴的正

3、半轴重合,那么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离ra2b20.过P作x轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为a,线段MP的长度为b.b;cosOMa;OPrP(a,b)tanMPb.OMaOMx思考2：对于确定的角，这三个比值是否会随点P在的终边上的位置的改变而改变Y第2页（共7页）P(a,b)1OMA(1,0)xsinMP呢？为什么?根据相似三角形的知识，对于确定的角，三个比值不以点P在的终边上的位置的改变而改变大小.我们可以将点P取在使线段OP的长r1的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：OMMPbb;cosa;tan.OPO

4、POMa单位圆:在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆称为单位圆.上述P点就是的终边与单位圆的交点,锐角的三角函数可以用单位圆上点的坐标表示.二新课讲授1.任意角的三角函数的定义结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数.如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:(1)y叫做的正弦(sine),记做sin,即siny；（2）x叫做的余弦(cossine),记做cos,即cosx；y叫做的正切(tangent),记做tan,（3）xP(x,y)YOA(1,0)x即tany(x0).x

5、思考3:在上述三角函数定义中,自变量是什么?对应关系有什么特点,函数值是什么?说明:(1)当2k(kZ)时，的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于y0，所以tan无意义,除此情况外，对于确定的值，上述三各值都是唯一确定的实数.x(2)当是锐角时，此定义与初中定义相同；当不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P(x,y)，从而就必然能够最终算出三角函数值.(3)正弦,余弦,正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.第3页（共7页）2.利用定义求角的三角函数值Y例1.求53的正弦,余弦和

6、正切值.5解：在直角坐标系中，作AOBx,A(1,0)53O3sin513AOB的终边与单位圆的交点坐标为(,)，所223515,cos,tan33232357思考：如果将变为呢？36B以sinay例2已知角的终边过点P(3,4)，求角的正弦,余弦和正切值.0思考：如何根据例题1解答思考：一般的，设角a终边上任意一点的坐标为（x,y）,它与原点的距离为r,则xy,cosa,tana，你能自己给出证明吗？rrx思考如果将题目中的坐标改为（-3a，-4a）,题目又应该怎么做？3三角函数的定义域和函数值符号探究：请根据上述任意角的三角函数定义，先将正弦，余弦和正切函数在弧度制下的定义域填入下表，再将

7、这三种函数的值再各象限的符号填入下表函数定义域ysinycosRR2k,kZ|ytan第4页（共7页）tana0例3,求证：当下列不等式组成立时，角a为第三象限角，反之也对sina0证明：如果sina0成立，那么角a的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的非负半轴重合;如果tana0，所以角a的终边可能位于第一或第三象限所以，角a的终边只能位于第三象限，时第三象限角反过来，请同学们自己证明变式训练（一）判断下列各式的符号1.sin3400cos26502.sin4tan(234)（二）求函数ysinatana的定义域4.诱导公式一由三角函数的定义，可以知道，终边相同的角的同一三角函数的值相

8、等，由此得到一组公式sin(ak2)sinacos(ak2)cosatan(ak2)tana利用公式一，可以把任意角的三角函数值，转化为求0到2的三角函数值例4.确定下列三角函数值的符号：（1）cos2500（2）sin(4)（3）tan(6720)（4）tan3第5页（共7页）变式训练（一）求下列各式的值1.cos2515tan()342.sin4200cos7500sin(6900)cos(6600)三.归纳小结：1.任意角的三角函数的定义2.三角函数的定义域及三角函数值的符号3.诱导公式四布置作业课本习题1.2A组第3,7,9题五课后反思六板书设计1.2.任意角的三角函数的定义2.利用定义求角的三角函数值3三角函数的定义域和函数值符号4.诱导公式一例4.确定下列三角函数一复习引入二新课讲授1.任意角的三角函数的定义例1.求切值53的正弦,余弦和正例3,求证：当下列不等式组成立时，角a为第三象限角，反