全国高中数学竞赛专题三角函数资料

1、精品文档三角恒等式与三角不等式一、基础知识定义1角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。定义2角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|=Lr,其中r是圆的半径。定义3三角函数：在直角坐标平面内，把角的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sin=yrx,余弦函数cos=,r正切函数

2、tan=yxxrr，余切函数cot=，正割函数sec=,余割函数csc=.yxy111定理1同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan=,sin=，cos=；cotcscsec商数关系：tan=sincos,cotcossin；乘积关系：tancos=sin,cotsin=cos；平方关系：sin2+cos2=1,tan2+1=sec2,cot2+1=csc2.定理2诱导公式（）sin(+)=-sin,cos(+)=-cos,tan(+)=tan,cot(+)=cot;（）sin(-)=-sin,cos(-)=cos,tan(-)=-tan,cot(-)=cot;（）sin(-)=sin,co

3、s(-)=-cos,tan=(-)=-tan,cot(-)=-cot;=cos,cos=sin,tan=cot（奇变偶不变，符号看象限）。（）sin222定理3正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（xR）的性质如下。单调区间：在区间2k2,2k2上为增函数，在区间2k,2k上为减函数，322最小正周期：2.奇偶性：奇函数有界性：当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时,y取最小值-1，值域为-1，1。22对称性：直线x=k+2均为其对称轴，点（k,0）均为其对称中心。这里kZ.定理4余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(xR)的性质。单调区间：在区间2k,2k+上单调

4、递减，在区间2k-,2k上单调递增。最小正周期：2。奇偶性：偶函数。有界性：当且仅当x=2k时，y取最大值1；当且仅当x=2k-时，y取最小值-1。值域为-1，1。,0均为其对称中心。这里kZ.对称性：直线x=k均为其对称轴，点k2定理5正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xk+)在开区间(k-,k+)上为增函数,222最小正周期为，值域为（-，+），点（k，0），（k+，0）均为其对称中心。2定理6两角和与差的基本关系式：cos()=coscossinsin,sin()=sincoscossin;tan()=(tantan)(1tantan).精品文档精品文档两角和与差的变式：sin

5、2sin2cos2cos2sin()sin()cos2sin2cos2sin2cos()cos()tantantantantantan三角和的正切公式：tan()1tantantantantantan定理7和差化积与积化和差公式:sin+sin=2sincos,sin-sin=2sincos,2222cos+cos=2coscos,cos-cos=-2sinsin,222211sincos=sin(+)+sin(-),cossin=sin(+)-sin(-),2211coscos=cos(+)+cos(-),sinsin=-cos(+)-cos(-).22定理8二倍角公式：sin2=2sinc

6、os,cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2,tan2=三倍角公式及变式：sin33sin4sin3，cos34cos33cos2tan(1tan2).0ssin(6)in11n(0sin3si6)，cos(60)coscos(60)cos344(1cos)(1cos)定理9半角公式:sin=,cos=,2222(1cos)sin(1cos)tan=.2(1cos)(1cos)sin2tan1tan22tan,cos2,tan1tan21tan21tan2定理10万能公式:sin22222.定理11辅助角公式：如果a,b是实数且a2+b20，则取始边在x轴正半轴，终边经过

7、点(a,b)的一个角为，ba则sin=,cos=，对任意的角.asin+bcos=(a2b2)sin(+).a2b2a2b2abc定理12正弦定理：在任意ABC中有2R，sinAsinBsinC其中a,b,c分别是角A，B，C的对边，R为ABC外接圆半径。定理13余弦定理：在任意ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。定理14射影定理：在任意ABC中有abcosCccosB，bacosCccosA，cacosBbcosA定理15欧拉定理：在任意ABC中，OI2R22Rr，其中O,I分别为ABC的外心和内心。定理16面积公式：在任意ABC中，外接圆半径为

8、R,内切圆半径为r，半周长pabc2224R则S11abcahabsinCrp2R2sinAsinBsinCrR(sinAsinBsinC)a1)p)p(pa(pb(c4定理17与ABC三个内角有关的公式：精品文档2t22(acotAbcoBtccoC)精品文档（1）sinAsinBsinC4cosABCcoscos;222ABC（2）cosAcosBcosC14sinsinsin;222（3）tanAtanBtanCtanAtanBtanC;ABBCCA（4）tantantantantantan1;222222（5）cotAcotBcotBcotCcotCcotA1;（6）sin2Asin2

9、Bsin2C4sinAsinBsinC.定理18图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象（相位1变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=sinx(0)的图象（周期变换）；横坐标不变，yy纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；=Asin(x+)(0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；=Asin(x+)(,0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。定义4函数y=sinxx,的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x-

10、1,1)，函数y=tanxx2222函数y=cosx(x0,)的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x-1,1).,的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x-,+).函数y=cotx(x0,)的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x-,+).定理19三角方程的解集，如果a(-1,1)，方程sinx=a的解集是x|x=n+(-1)narcsina,nZ。方程cosx=a的解集是x|x=2kxarccosa,kZ.如果aR，方程tanx=a的解集是x|x=k+arctana,kZ。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.22（1）若x0

11、,【解】若x,，则-1cosx0，所以cosx,0，定理20若干有用的不等式：，则sinxxtanx.2sinxtanx（2）函数y在(0,)上为减函数；函数y在(0,)上为增函数。xx2（3）嵌入不等式：设A+B+C=，则对任意的x,y,zR，有x2y2z22yzcosA2xzcosB2xycosC等号成立当且仅当yzsinA=zxsinB=xysinC.二、方法与例题1结合图象解题。例1求方程sinx=lg|x|的解的个数。【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|x|的图象，由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。2三角函数性质的应用。例2设x(0,),试比较cos(sinx

12、)与sin(cosx)的大小。22所以sin(cosx)0,又00，所以cos(sinx)sin(cosx).精品文档精品文档，则因为sinx+cosx=2sin(x+若x0,2)2，所以0sinx-cosxcos(2-cosx)=sin(cosx).【解法一】令sinx=2cos,1cos2x2sin0,综上，当x(0,)时，总有cos(sinx)0,0)是R上的偶函数，其图象关于点M,0对称，且在区间0,上t121211，所以y-1.所以函数值域为y1,因为t-1，所以.6图象变换：y=sinx(xR)与y=Asin(x+)(A,0).342是单调函数，求和的值。【解】由f(x)是偶函数，

13、所以f(-x)=f(x)，所以sin(x+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，对任意xR成立。又0，解得=，2精品文档精品文档333因为f(x)图象关于M,0对称，所以f(x)f(x)=0。44433取x=0，得f()=0，所以sin44320.所以k(kZ)，即=(2k+1)(kZ).2423又0，取k=0时，此时f(x)=sin(2x+)在0，上是减函数；22取k=1时，=2，此时f(x)=sin(2x+)在0，上是减函数；2210取k=2时，此时f(x)=sin(x+)在0，上不是单调函数，3222综上，=或2。37三角公式的应用。553例7已知sin(-)=，sin(+)=-

14、，且-,，+,2，求sin2,cos2的值。13132212【解】因为-,，所以cos(-)=-1sin2().213312又因为+,2，所以cos(+)=1sin2().213120所以sin2=sin(+)+(-)=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=,169cos2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=-1.例8eqoac(,已知)ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且112AC，试求cos的值。cosAcosCcosB2【解】因为A=1200-C，所以cosAC2=cos(600-C)，1111cos(1200C)cosC又由于c

15、osAcosCcos(1200C)cosCcosCcos(1200C)=2cos600cos(600C)2cos(600C)11cos1200cos(12002C)cos(12002C)2222，所以42cos2ACAC2cos32=0。解得cos22AC2AC32或cos。2228ACAC2又cos0，所以cos。222例9求证：tan20+4cos70=3sin20sin204sin20cos20sin202sin40【解】tan20+4cos70=+4sin20cos20cos20cos20sin20sin40sin402sin30cos10sin40cos20cos20sin80sin

16、402sin60cos203.cos20cos20精品文档zcosisin,则2cosz,从而,128cos7(z)7，展开即可.精品文档例10证明：cos7x7cos5x21cos3x35cosx64cos7x分析：等号左边涉及角7x、5x、3x、x右边仅涉及角x，可将左边各项逐步转化为sinx、cosx的表达式，但相对较繁.观察到右边的次数较高，可尝试降次.证明：因为cos3x4cos3x3cosx,所以4cos3xcos3x3cosx,从而有16cos6xcos23x6cos3xcosx9cos2x3(cos4xcos2x)1cos6x9(1cos2x)2232cos6x1cos6x6c

17、os4x6cos2x99cos2x,64cos7x2cos6xcosx12cos4xcosx30cos2xcosx20cosxcos7xcos5x6cos5x6cos3x15cos3x15cosx20cosxcos7x7cos5x21cos3x35cosx.评述：本题看似“化简为繁”，实质上抓住了降次这一关键，很是简捷.另本题也可利用复数求解.令11zz例11已知1tan2001,求证:sec2tan22001.1tan1tan1sin21cos(2)2证明：sec2tan2tan()1tan2001.1tan2001.有1证明：cotxcot2x,1tancos24sin(2)2n例12证明

18、：对任一自然数及任意实数xm(k0,1,2,n,m为任一整数），2k11cotxcot2nx.sin2xsin4xsin2nx思路分析：本题左边为n项的和，右边为2项之差，故尝试将左边各项“裂”成两项之差，并希冀能消去其中许多中间项.12cos2xcos2x2cos2xcos2xsin2xsin2x2sinxcosxsin2x同理1sin4xcot2xcot4x1sin2nxcot2n1xcot2nx评述：本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得.“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性，类似可证下列各题：tantan2tan2tan3tan(n1)tanntannn.tantan2tan222tan2

19、22ntan2ncot2n1cot2n1.cos0精品文档111cos1cot1cos1cos1cos2cos88cos89精品文档例13设ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c成等比数列，则sinAcotCcosAsinBcotCcosB的取值范围是（）)C.(,)D.(,)A.(0,)B.(0,515151512222解设a,b,c的公比为q，则baq,caq2，而sin(AC)qaaqaq2,q2q10,222q10.q51或q51.从而5151q，因此所求的取值范围是(,)故选C222的值为（）sinAcotCcosAsinAcosCcosAsinCsinBcotCcosBsinBc

20、osCcosBsinCsin(B)sinBbsin(BC)sin(A)sinAa因此，只需求q的取值范围因a,b,c成等比数列，最大边只能是a或c，因此a,b,c要构成三角形的三边，必需且只需abc且bca即有不等式组1551q,即解得aqaq2aq2251512222例14ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1，ABCAAcosBBcosCCcos111则sinAsinBsinCA2B4C6D8解：如图，连BA1，则AA1=2sin(B+A2222222cos(B)sinCsinB,同理BBcosBsinAsinC,CCcosCsinAsinB,22

21、2222sinAsinBsinCABCBCBC)2sin()2cos()222222ABCAABCACBAAcos2cos()coscoscoscos(C)111ABC2(sinAsinBsinC)AAcosBBcosCCcos2(sinAsinBsinC),原式=2.选A.111例15若对所有实数x，均有sinkxsinkxcoskxcoskxcosk2x，则k（）.A、6；B、5；C、4；D、3kkxkksx解：记fxsinxsincosxcoksx2co，则由条件，fx恒为0，取x2，得1k，则k为奇数，设k2n1，上式成为sinn1，因此n为偶数，令n2m，则ksin22k4m1，故选

22、择支中只有k3满足题意故选D例16已知fxx2a2b21xa22abb2是偶函数，则函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值是A2B.2C.22D.4精品文档精品文档解：由已知条件可知，a2b210，函数图象与y轴交点的纵坐标为a22abb2。令acos,bsin，则a22abb2cos22sincossin2cos2sin22。因此选A。例17已知,R，直线xyxy1与1sinsinsincoscossincoscos解：由已知可知，可设两直线的交点为(x,x)，且sin,cos为方程xtsintcos的交点在直线yx上，则sincossincos。x001，00的两个根，即为方程t2(cossi

23、n)tsincosx(cossin)0的两个根。0因此sincos(sincos)，即sincossincos0。1、cos(1x25x7x25x6)。2、已知函数f(x)sin(x)cos(x)215(x)，则f(x)的最小值为_。x443、已知sin(2)13，且k,n(n,kZ)。则sin22tan()tan的值是_.7、已知a0=1,an=1a212n2.(nN+)，求证：an8、已知sinAsin(),|A|1,求证:tan()4、设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(xc)=1对任意实数x恒成立，则2(1cos)的最大值。5、设00，求证

24、：sincosxcosx2.2sin精品文档精品文档12、求证：cos6cos42cos66cos781161sin1sin2sin3sin89=()45610.42sin(x)215152、解：实际上f(x)(x)，设g(x)2sin(x)(x)，则g(x)0，g(x)444444444xxx44212全国高中数学竞赛专题-三角恒等式与三角不等式实战演练答案1、解：根据题意要求，x25x60，0 x25x71。于是有x25x71。因此cos(1x25x7x25x6)cos01。因此答案为1。4x444441335313在,上是增函数，在,上是减函数，且y=g(x)的图像关于直线x对称，则对任

25、意x,，存在135g(x)2g(x)2g(x)235122x,，使g(x)=g(x)。于是f(x)f(x)，而f(x)在,上是减21112函数，所以f(x)f(5)44551545，即f(x)在,上的最小值是。445tan()sin()cos3122.3、解：1sin(2)sin(2)sin1sin1sin(2)tancos(ab)sin31sin(2)sin12sin由已知条件，上式对任意xR恒成立，故必有bsinc0(2)，ab10(3)14、解：令c=，则对任意的xR，都有f(x)+f(xc)=2，于是取ab，c=，则对任意的xR，af(x)+bf(xc)=1，2bcosc由此得1。a2

26、一般地，由题设可得f(x)13sin(x)1，f(xc)13sin(xc)1，其中0且tan，23于是af(x)+bf(xc)=1可化为13asin(x)13bsin(xc)ab1，即13asin(x)13bsin(x)cosc13bsinccos(x)(ab1)0，所以13(abcosc)sin(x)13bsinccos(x)(ab1)0。abcosc0(1)若b=0，则由(1)知a=0，显然不满足(3)式，故b0。所以，由(2)知sinc=0，故c=2k+或c=2k(kZ)。当c=2k时，cosc=1，则(1)、(3)两式矛盾。故c=2k+(kZ)，cosc=1。由(1)、(3)知ab1b

27、cosc，所以2a1。，所以sin5、【解】因为00,cos0.22所以sin（1+cos）=2sincos2=22sin2cos2cos2222222精品文档2cos2sin32=1643.2精品文档当且仅当2sin22cos222327922243=cos2,即tan=,=2arctan时，sin(1+cos)取得最大值。2222296、思路分析：等式左边同时出现tan18tan12、tan18tan12，联想到公式tan()tantan1tantan.证明：3tan18tan18tan123tan123(tan18tan12)tan18tan123(tan18t3tan(187、【证明】

28、由题设知an0，令an=tanan,an0,，3(tan18tan12)tan18tan123tan(1812)(1tan18tan12)tan18tan1213tan(1812)(1tan18tan12)1tan18tan121评述：本题方法具有一定的普遍性.仿此可证(1tan1)(1tan2)(1tan43)(1tan44)222等.2seca2则an=1tan2an1tanan11tanasina11cosan1n1n1n1tanan1tana.n因为n1，an0,，所以an=a，所以an=a.222又因为a0=tana1=1，所以a0=，所以a。4241a1nn101nn22n22n2

29、又因为当0 xx，所以atann.注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。另外当x0,时，有tanxxsinx，这是个熟2知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。8、分析：条件涉及到角、，而结论涉及到角，.故可利用()或()消除条件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A”入手.证法1：sinAsin(),sin()Asin(),|sin()coscos()sinAsin(),A|1,sin()(cosA)sincos(),|A|1,cosA0,从而cos()0,|A|1,|A|1,cosA0,cosA0,从而cos()0,sintan().cosA证法2：sincos从而

30、sin)0,sin()sinsinsin从而Acos()sintan()cos)sincossin(cossinA)Acos(0,tan()sin(cosAtan()cosA精品文档sin()sin精品文档sin()cos()sin22sin2,9、【解】因为sinA+scos(=2sin)sincossin()sincossin()sin()sin()sincossin()sin()sinsin()sintan().cossin()sin()cos()sinBsin(A)sinABABtan().23cos32sin3tan().CCCsinC+sin2sin3222,CABCABC32si

31、n3cos32sinAB又因为sinsin22443，所以sinA+sinB+sinC3sin=,当A=B=C=时，（sinA+sinB+sinC）max=.10、证明：sinsin1由，得sinA+sinB+sinC+sin4sin,3323333332注：三角函数的有界性、|sinx|1、|cosx|1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。cos()cos(),2222类似地sin()sin13cos()cos(),22222sinsin()sin(12)21sin(n)各项相加得,sin)sin(n)sinn1.22所以，sinsin()sin(n).153sin(2)sincos()cos(),222212n12n1sin(n)sincos()cos(),2222ncos()cos()22212n1cos()cos(222nn1sin()sin.nn122sin()sin22sin2评述：类似地，有coscos()cos(n)sinn1ncos()22sin2.利用上述公式可快速证明下列各式：coscos2cos3cosncoscoscos.coscoscoscos等.nn1sincos22351sincoscoscos