思想方法 第4讲 转化与化归思想

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2、殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案例1(1)(2020青岛模拟)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C：eq f(x2,a1)eq f(y2,a)1(a0)的离心率为eq f(1,2)，则椭圆C的蒙日圆的方程为()Ax2y29 Bx2y27Cx2y25 Dx2y24答案B解析因为椭圆C：eq f(x2,a1)eq f(y2,a)1(a0)的离心率为e

3、q f(1,2)，所以eq f(1,r(a1)eq f(1,2)，解得a3，所以椭圆C的方程为eq f(x2,4)eq f(y2,3)1，所以椭圆的上顶点A(0，eq r(3)，右顶点B(2,0)，所以经过A，B两点的切线方程分别为yeq r(3)，x2，所以两条切线的交点坐标为(2，eq r(3)，又过A，B的切线互相垂直，由题意知交点必在一个与椭圆C同心的圆上，可得圆的半径req r(22r(3)2)eq r(7)，所以椭圆C的蒙日圆方程为x2y27.(2)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则eq f(cos Acos C,1cos Acos C)等

4、于()A.eq f(4,5) B.eq f(1,5) C.eq f(3,5) D.eq f(2,5)思路分析求eq f(cos Acos C,1cos Acos C)考虑正三角形ABC的情况答案A解析令abc，则ABC为等边三角形，且cos Acos Ceq f(1,2)，代入所求式子，得eq f(cos Acos C,1cos Acos C)eq f(f(1,2)f(1,2),1f(1,2)f(1,2)eq f(4,5).一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.方法二命题的等价转化将题目已知条件或结论

5、进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决一般包括数与形的转化、正与反的转化、常量与变量的转化、图形形体及位置的转化例2(1)由命题“存在x0R，使m0”是假命题，得m的取值范围是(，a)，则实数a的值是()A(，1) B(，2)C1 D2思路分析命题：存在x0R，使m0是假命题任意xR，e|x1|m0是真命题m0”是真命题，可得m的取值范围是(，1)，而(，a)与(，1)为同一区间，故a1.(2)若对于任意t1,2，函数g(x)x3eq blc(rc)(avs4alco1(f(m,2)2)x22x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是_思路分析gx在t，3

6、上总不为单调函数先看gx在t，3上单调的条件补集法求m的取值范围答案eq blc(rc)(avs4alco1(f(37,3)，5)解析g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在区间(t,3)上为单调函数，则g(x)0在(t,3)上恒成立，或g(x)0在(t,3)上恒成立由得3x2(m4)x20，即m4eq f(2,x)3x在x(t,3)上恒成立，所以m4eq f(2,t)3t恒成立，则m41，即m5；由得m4eq f(2,x)3x在x(t,3)上恒成立，则m4eq f(2,3)9，即meq f(37,3).所以使函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为eq f(37,3)m0

7、和f(x)0的解集例3(2020全国)若2x2y0 Bln(yx1)0 Dln|xy|0答案A解析2x2y3x3y，2x3x2y3y.y2x3x2xeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)x在R上单调递增，x1，ln(yx1)ln 10.例4已知函数f(x)eln x，g(x)eq f(1,e)f(x)(x1)(e2.718)(1)求函数g(x)的极大值；(2)求证：1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,n)ln(n1)(nN*)思路分析gx的极值ln x0)令g(x)0，解得0 x1；令g(x)1.函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，g(x)

8、极大值g(1)2.(2)证明由(1)知x1是函数g(x)的极大值点，也是最大值点，g(x)g(1)2，即ln x(x1)2ln xx1(当且仅当x1时等号成立)，令tx1，得tln(t1)(t1)取teq f(1,n)(nN*)时，则eq f(1,n)lneq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,n)lneq blc(rc)(avs4alco1(f(n1,n)，1ln 2，eq f(1,2)ln eq f(3,2)，eq f(1,3)ln eq f(4,3)，eq f(1,n)lneq blc(rc)(avs4alco1(f(n1,n)，叠加得1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,n)lneq blc(rc)(avs4al