9讲第四章静定桁架及组合结构的特点平面结点法

1、结 构 力 学Structural Mechanics孟昭博 聊城大学 建筑工程学院4.1桁架的组成和特点4.2静定平面桁架的计算 4.3三种平面梁式桁架受力性能比较 *4.5静定空间桁架4.4静定组合结构第四章基本要求：理解理想桁架的概念；熟练掌握静定平面桁架杆件轴力的计算方法；能利用结点平衡的特殊情况判定零杆和等力杆；掌握静定组合结构的受力特点及内力计算方法。 内容重点：运用结点法、截面法计算桁架各杆轴力；静定组合结构内力的计算方法；三种平面梁式桁架的受力特点。 内容难点：合理地确定计算路径，恰当地选择隔离体和平衡方程。 4.1桁架的组成和特点4.1.1 桁架的组成由材料力学可知，受弯的实

2、心梁，其截面的应力分布是很不均匀的，因此材料的强度不能充分发挥。FpFp从受弯角度来说工字形截面梁优于矩形截面梁。矩形截面梁将中性轴附近没有得到充分利用的材料切去，得到工字形截面梁，既减少了自重，又节约了材料。计算简图 FN FN如果沿横向将中性轴附近的材料挖去，以节约材料减轻自重，使各个杆件承受轴力。这样得到的格构式体系称为桁架。桁架结构：是由直杆在端部相互连接（铰接）而成的以抗弯为主的格构式结构。上弦杆下弦杆竖杆斜杆跨度节间长度桁高弦杆：上弦杆、下弦杆腹杆：斜杆、竖杆4.1.2 桁架的特点 各杆件受力均以单向拉、压为主，通过对上下弦杆和腹杆的合理布置，可适应结构内部的弯矩和剪力分布。 桁架

3、梁和实腹梁（即我们一般所见的梁）相比，在抗弯方面，由于将受拉与受压的截面集中布置在上下两端，增大了内力臂，使得以同样的材料用量，实现了更大的抗弯强度。 在抗剪方面，通过合理布置腹杆，能够将剪力逐步传递给支座。这样无论是抗弯还是抗剪，桁架结构都能够使材料强度得到充分发挥，从而适用于各种跨度的建筑屋盖结构。 更重要的意义还在于，它将横弯作用下的实腹梁内部复杂的应力状态转化为桁架杆件内简单的拉压应力状态，使我们能够直观地了解力的分布和传递，便于结构的变化和组合。 在房屋建筑中，桁架主要用作屋盖的支撑结构，此时称为屋架。由于桁架结构的上述优点，在工程中得到广泛的应用。现在桁架结构常用于厂房、展览馆、体

4、育馆和桥梁等公共建筑中。 屋盖结构4.1.3 桁架的应用平面轻型桁架结构厂房天中矿业石材加工厂房武汉长江大桥主桁架纵梁 横梁在竖向荷载作用下计算主桁架时，为简化起见，可不考虑整个体系的空间作用，认为纵梁是支承在横梁上的简支梁，横梁又是支承在主桁架结点上的简支梁，于是可将荷载分配于两片主桁架上。这样，每片主桁架便可作为彼此独立的平面桁架来计算。4.1.4 桁架的计算假定1）各结点都是光滑的理想铰。2）各杆轴线都是直线，且通过结点铰的中心。3）荷载和支座反力都作用在结点上，且通过铰的中心。 满足以上假定的桁架，称为理想桁架。 通常在桁架的内力计算中，采用下列假定：理想桁架是各直杆在两端用理想铰相连

5、接而组成的几何不变体系（格构式结构、链杆体系）。 结点存在刚性杆件轴线不可能绝对平直杆件的轴线在结点处不可能准确交于一点存在非结点荷载，如自重结构空间作用实际桁架和理想桁架的差别主内力：按理想桁架算得的杆件的轴力称为主内力。次内力：考虑了非理想因素而产生的内力称为次内力。主内力与次内力66 1212 12 12 12 12 12 81.5 m1.8 m荷载单位：kN218468101214161173579111315起点终点桁架轴力刚架轴力误差(%)24-35.000-34.966 0.10 68-75.000-74.977 0.03 35 35.000 35.005-0.01 79 75.

6、000 74.991 0.01 23 54.672 54.560 0.21 67 23.431 23.392 0.17 65-30.000-29.958 0.14 109-12.000-11.981 0.16 大量的工程实践表明，一般情况下桁架中的主内力占总的内力的80%以上，也就是说，桁架的内力主要是轴力。 4.1.5 桁架的分类平面桁架空间桁架1、按维数分：平面桁架、空间桁架平面桁架：所有组成桁架的杆件以及荷载的作用线都在同一平面内（本章研究的重点）2、按形状分平行弦桁架三角形桁架折线（抛物线）桁架梯形桁架2、按形状分3、按受力特点分梁式桁架：竖向荷载作用下不引起支座水平反力 拱式桁架：竖

7、向荷载作用下引起支座水平反力4、按几何组成方式分1）简单桁架：由一个基本铰接三角形依次增加二元体而组成的桁架。2）联合桁架：由几个简单桁架按照两刚片或三刚片组成几何不变体系的规则构成的桁架。 3）复杂桁架：不按简单桁架和联合桁架这两种方式组成的其它静定桁架。4.2静定平面桁架的计算静定平面桁架计算方法，仍是隔离体平衡法。根据截取隔离体方式的不同，又区分为结点法和截面法。 4.2.1 结点法结点法是截取桁架结点为隔离体，利用平面汇交力系的两个平衡条件X=0、 Y=0 ，求各杆未知轴力的方法。结点法最适合用于计算简单桁架。利用结点法，与节点相连的各截断杆，均假设为拉力，若求解结果为正则杆件受拉，若

8、为负值则受压。1、对于斜杆内力的计算，一般不宜直接计算斜杆的轴力FN，而是将其分解为两个分力（如水平分力Fx和竖向分力Fy ），先计算出其中一个分力，再计算斜杆轴力。即利用力三角形与长度三角形对应边的比例关系简化。利用上述比例关系，就可以很简便地由其中一个力推算其它两个力，而不需要使用三角函数进行计算。 FNFxFylxlyloxyBa(长度三角形)(力三角形)FNA预备知识15 kN15 kN15 kN4 m4 m4 m3 m752164345 kN120 kN120 kN例1：用图示桁架为例，来说明结点法的应用。解：（1）可由桁架的整体平衡条件，求出支座反力，标注于上图中。15 kN1FN

9、12FN1315 kN15 kN15 kN4 m4 m4 m3 m752164345 kN120 kN120 kN2134/3 1 5/3 152520长度三角形 力三角形（2）取结点115 kN15 kN15 kN4 m4 m4 m3 m752164345 kN120 kN120 kN1152520力三角形3）取结点22FN25=-20kNFN21=-20 kN15 kNFN23=15kN15 kN15 kN15 kN4 m4 m4 m3 m752164345 kN120 kN120 kN4）取结点3FN31=25kN2015FN32=15kNFN34FN353FN35=-50YN35XN3

10、5FN34=XN35-XN31=-40kN-20kN15 kN15 kN15 kN4 m4 m4 m3 m752164345 kN120 kN120 kN5）取结点46）取结点5 46060051520503040045607512066060457545120712045451207）取结点68）取结点72、利用结点平衡的特殊情况，判定零杆和等力杆 （1）结点单杆的概念 在结点平面汇交力系中，除某一杆件外，其它所有待求内力的杆件均共线时，则此杆件称为该结点的结点单杆。即以结点为平衡对象能仅用一个方程求出内力的杆件，称为结点单杆（nodal single bar）。 1）结点只包含两个未知力杆

11、，且此二杆不共线，则每根杆件都是单杆。FP 单杆 单杆2）结点只包含三个未知力杆，其中有二杆共线，则第三根杆件是单杆。FP单杆（2）结点单杆的性质1）结点单杆的内力可由结点平衡条件直接求出。而非结点单杆的内力则不能由该结点的平衡条件直接求出。2）当结点无荷载时，结点单杆的内力必为零。（3）关于零杆的判断 2）T型结点：成T型汇交的三杆结点无荷载作用，则不共线的第三杆（又称单杆）必为零杆，而共线的两杆内力相等且正负号相同（同为拉力或压力）。1）L型结点：成L型汇交的两杆结点无荷载作用，则这两杆皆为零杆。 L型结点FN1=0FN2=0T型结点FN3=0(单杆)FN2= FN1FN1T型结点（推广）

12、FN1 =FPFN2=0FP (荷载)3、对称性的利用 对称结构在对称荷载的作用下，反力、内力都成对称分布。 对称结构在反对称荷载的作用下，反力、内力都成反对称分布，与对称轴重合的杆轴力为零。1234567891011ABCDABC请问:桁架中的零杆可以去掉吗？桁架中的零杆虽然不受力，但却是保持结构坚固性所必须的。因为桁架中的荷载往往是变化的，在一种荷载工况下的零杆，在另种荷载工况下就有可能承载。如果缺少了零杆，就不能保证结构的坚固性。分析桁架内力时，如首先确定其中的零杆，这对后续分析往往有利。例2：判断零杆练习：判断结构中的零杆FPFPFPFP123456789101112123455678

13、96aaa4FPFPFP练习：判断结构中的零杆1234567891011121314151617181920FPFP123456对称结构、反对称荷载，对称轴上T型结点无结点荷载时，两水平杆的轴力为零。与对称轴重合的轴力为零。对称结构、对称荷载作用下，对称轴上K型结点无结点荷载时，两斜杆的轴力为零。FPFP12345678910对称结构、对称荷载作用下，对称轴上K型结点无结点荷载时，两斜杆的轴力为零。12345678910对称结构、反对称荷载作用下，与对称轴垂直的杆轴力为零。否则，内力反对称，半根受拉，半根受压，不可能。FPFPaaaaFPFPFPFPFP/2FP/2FPFP/2FP/2练习：判

14、断结构中的零杆123456712345671234567对称结构、反对称荷载作用下，对称轴上杆轴力为零。1）X型结点：成X型汇交的四杆结点无荷载作用，则彼此共线的杆件的内力两两相等。 2）K型结点：成K型汇交的四杆结点，其中两杆共线，而另两杆在此直线同侧且交角相等，若结点无荷载作用，则不共线的两杆内力大小相等而符号相反。（4）关于等力杆的判断K型结点FN1FN3FN2= -FN1FN4 FN3aaX型结点FN1FN3FN2= FN1FN4= FN3若FN3=FN4，情况如何？（4）关于等力杆的判断3）Y型结点：成Y型汇交的三杆结点，其中两杆分别在第三杆的两侧且交角相等，若结点上无与该第三杆轴线

15、方向偏斜的荷载作用，则该两杆内力大小相等且符号相同。 Y型结点FN1FN3FN2= FN1aa第三杆1234567843m=12m4m40kN60kN80kNH=0V1=80kNV8=100kNN13N121X13Y13345结点18024060N23N24结点23406080N35X34Y34N34结点3-100604060-9050例3：234567843m=12m4m40kN60kN80kNH=0V1=80kNV8=100kN80_606040604030+-900-902015+75758075_100234567843m=12m4m40kN60kN80kNH=0V1=80kNV8=1

16、00kN-10060406050-900-9075758025-125例4: 试用结点法求杆1、2的轴力求解一个结点同时包含两个未知斜杆内力的简便方法FPFPABCDEFGH2m122m2m2m1m1mFP1.5FPFPFPFP A B C D EFGH2m122m2m2m1m1m3FP1.5FP-1.5FP3FP1）求支反力, 2）判定零杆,3）对A取隔离体，即可求NAC，对C点取隔离体，可求出N1、N2。法一、用常规结点法求解:CXYN1N20FP1.5FP1.5FP3FP03FPA-FP1.5FP3FPN1xN1yN2yN2xN2N10YX可由比例关系求得： 1）求支反力, 2）判定零杆

17、,3）求出AC杆内力并在A点分解。取结点C 为脱离体，并将1、2杆内力在D、G分解，建立力矩平衡方程 ：MG=0 即： 得： FP1.5FP3FPCFADGNACFN1Fx1FN2Fx2Fy1Fy2法二、简便解法：1.5FPFPFPFP A B C D EFGH2m122m2m2m1m1m3FP1.5FP-1.5FP3FP 可由比例关系求得水平方向建立平衡方程得：即： 得： FP1.5FP3FPCFADGFNACFN1Fx1FN2Fx2Fy1Fy21.5FPFPFPFP A B C D EFGH2m122m2m2m1m1m3FP1.5FP-1.5FP3FP注意：）杆件轴力可在杆轴线所在的直线上任意点分解，可沿任意方向分解（不一定分解为正交分力，只要满足平行四边形法则即可，）；在适当位置分解可使计算简化。）结点法不一定只能建立X、Y 方向力的方程，也可建立力矩方程（实质为“节点连同截断的杆端”一起为隔离体，而非节点这一个“点”作为隔离体）。讨论：对静定桁架，利用结点平衡条件可以唯一确定全部反力与内力。设：j 结点数，b 杆件数，r 支座链杆数。而每个结点可列出两个独立平衡方程，共有2j个独立方程。则桁架共有 b + r 个未知力（杆件轴力和支反力）