《3.1.1函数的平均变化率》教学案1

1、3.1.1函数的平均变化率教学案教学目标：1、知识目标：通过生活实例使学生理解函数增量、函数的平均变化率的概念；掌握求简单函数平均变化率的方法，会求函数的平均变化率；理解函数的平均变化率的含义，引出函数的瞬时变化率概念，简单应用为下一节导数概念的学习打好基础.2、能力目标：使学生在研究过程中熟悉数学研究的途径：背景数学表示应用，培养学生独立思考，解决问题的能力和在生活中建立数学模型，用数学理论解释生活问题、应用数学的能力.3、情感目标：使学生通过学习，了解简单的情景蕴涵建立模型解决问题的一般思想方法，鼓励学生主动探究、不惧困难，勇于挑战自我的思想品质.并养成学生探究总结型的学习习惯.教学重点：

2、函数自变量的增量、函数值的增量的理解教学难点：函数平均变化率的理解.教学过程：一、引入：1、情境设置：（图片）巍峨的珠穆朗玛峰、攀登珠峰的队员两幅陡峭程度不同的图片2、问题：当陡峭程度不同时，登山队员的感受是不一样的，如何用数学来反映山势的陡峭程度，给我们的登山运动员一些有益的技术参考呢？3、引入：让我们用函数变化的观点来研讨这个问题.二、例举分析：（一）登山问题例：如图，是一座山的剖面示意图:A是登山者的出发点，H是山顶，登山路线用y=f（x）表示yf怎样表示？分析：1、选取平直山路AB放大研究问题：当自变量X表示登山者的水平位置，函数值y表示登山者所在高度时，陡峭程度应函数值y的改变量：A

3、=y1-y直线AB的斜率:若A(xo,y),Bxi，新自变量x的改变量：Ax=xi-y-yAyk=i=-x-xAx10说明：当登山者移动的水平距离变化量一定(Ax为定值)时，垂直距离变化量(A)越大,则这段山路越陡峭；2、选取弯曲山路CD放大研究方法：可将其分成若干小段进行分析：如CD的陡峭程度可用直线CD的斜率表示(图略)结论：函数值变化量(A)与自变量变化量(心)的比值学反映了山坡的陡峭程度各Ax段的产不同反映了山坡的陡峭程度不同，也就是登山高度在这段山路上的平均变化量不同.Ax当越大，说明山坡高度的平均变化量越大，所以山坡就越陡；当越小，说明山坡高AxAxAyf(x)-f(x)度的平均变

4、化量小，所以山坡就越缓所以，亍=屮k高度的平均变化成Axx-xk+1k为度量山的陡峭程度的量，叫做函数(x)的平均变化率.三、函数的平均变化率与应用.1、定义：已知函数y=/(x)在点x=x及其附近有定义，令Ax=xx0；Ay二y-y二f(x)-f(x)二f(x+Ax)-f(x).则当Ax丰0时，比值f(xoJf(%)二学叫做函数y二f(x)在化到化+Ax之间的平均变化率.002、例题解析例1.求y二x2在到+Ax之间的平均变化率.解：当自变量从x0变到x0+Ax时，函数的平均变化率为f(x+Ax)-f(x)(x+Ax)2-x2v0V0=00=2x+Ax.当Ax取定值，x取不同数值时，该AxA

5、x00函数的平均变化率也不一样.可以由图看出变化.11/p=.rJ.4111if/1/12-1O12例2.求y二-在x到x+Ax之间的平均变化率.x00解：当自变量从x0变到x0+Ax时，11函数的平均变化率为f(x+Ax)f(x?)=x?+Axx?=-1AxAx(x+Ax)x00变式：某市2004年4月20日最高气温为33.4C，而此前的两天，4月19日和4月18日最高气温分别为24.4C和18.6C，短短两天时间，气温“陡增”14.8C，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2004年3月18日最高气温3.5C与4月18日最高气温18.6C进行比较，我们发现两者温差

6、为15.1C，甚至超过了14.8C.而人们却不会问题：当自变量t表示由3月18日开始计算的天数，T表示气温，记函数T二g(t)表示温度随时间变化的函数，那么气温变化的快慢情况应当怎样表示？分析：如图：1、选择该市2004年3月18日最高气温3.5C与4月18日最高气温18.6C进行AT比较，At二30,AT二18.63.5二15.10C，由此可知沁0.5033；At2、选择该市2004年4月18日最高气温18.60C与4月20日33.40C进行比较ATAt=2,AT二33.418.6二14.80C，由此可知沁7.4AtAT结论：函数值的平均变化率反映了温度变化的剧烈程度.AtAT各段的丁不同反映了温度变化的剧烈程度不同，也就是气温在这段时间内的平均变化At量不同当学越大，说明气温的平均变化量越大，所以升温就越快；当学越小，说明气AtAt温的平均变化量小，所