2022年湖南省湘潭市韶山实验中学高三数学理模拟试卷含解析

1、2022年湖南省湘潭市韶山实验中学高三数学理模拟试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数，则下列结论错误的是( )AD（x）的值域为0，1BD（x）是偶函数CD（x）不是周期函数DD（x）不是单调函数参考答案：C【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法 【专题】证明题【分析】由函数值域的定义易知A结论正确；由函数单调性定义，易知D结论正确；由偶函数定义可证明B结论正确；由函数周期性定义可判断C结论错误，故选D【解答】解：A显然正确；=D（x），D（x）是偶函数，B正确；D（x+1）=D（x），T=1为其一个

2、周期，故C错误；D（）=0，D（2）=1，D（）=0，显然函数D（x）不是单调函数，故D正确；故选：C【点评】本题主要考查了函数的定义，偶函数的定义和判断方法，函数周期性的定义和判断方法，函数单调性的意义，属基础题2. 已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2bc，a=3，则ABC 的周长的最大值为（）A2B6CD9参考答案：D【考点】余弦定理；正弦定理【分析】由已知利用余弦定理可求A，利用a=3和sinA的值，根据正弦定理表示出b和c，代入三角形的周长a+b+c中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可得到周

3、长的最大值【解答】解：a2=b2+c2bc，可得：bc=b2+c2a2，cosA=，A（0，），A=，由a=3，结合正弦定理得： =2，b=2sinB，c=2sinC，则a+b+c=3+2sinB+2sinC=3+2sinB+2sin（B）=3+3sinB+3cosB=3+6sin（B+），可知周长的最大值为9故选：D3. 函数f（x）=ex+2x3的零点所在的一个区间是（）A（）B（）C（）D（）参考答案：C【考点】函数零点的判定定理【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）?f（b）0（a，b为区间两端点）的为答案【解答】解：因为f（）=0，f（1）=e10，所以零点在区间（

4、）上，故选C4. 若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（）A120B150C180D240参考答案：C【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【专题】空间位置关系与距离【分析】由已知中一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，可得圆锥的母线是底面半径的2倍，进而得到圆锥侧面展开图的扇形的圆心角【解答】解：圆锥的侧面积为：rl，圆锥的底面面积为：r2，若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥的母线l是底面半径r的2倍，即l=2r，设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为，则2l=2r，即=180，故选：C【点评】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥中，侧面展开图的扇形的圆心角满足：360

5、=r：l=S底：S侧是解答的关键5. 函数y=sin2x+cos2x最小正周期为A. B. C. D.2参考答案：C由题意y=2sin(2x+)，其周期T=6. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A. B. C. D. 参考答案：C【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个底面为正方形的四棱锥，然后求解几何体的体积即可【详解】该三视图还原成直观图后的几何体是如图的四棱锥为三视图还原后的几何体，CBA和ACD是两个全等的直角三角形；，几何体的体积为：，故选：C【点睛】本题考查由三视图求体积，解决本题的关键是还原该几何体的形状7. 复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A第一象限

6、B第二象限C第三象限D第四象限参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出【解答】解：复数=的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限故选：A【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8. 将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g（x）的图象若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2，则2x1x2的最大值为（）ABCD参考答案：A【考点】3H：函数的最值及其几何意义；3O：函数的图象【分析】由已知可得g（x）=+1，若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2，则g（x1）=g

7、（x2）=3，则，结合x1，x2，可得答案【解答】解：函数的图象向左平移个单位，可得y=的图象，再向上平移1个单位，得到g（x）=+1的图象若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2，则g（x1）=g（x2）=3，则，即，由x1，x2，得：x1，x2， ，当x1=，x2=时，2x1x2取最大值，故选：A9. 已知实数，满足则的最小值为A B C D参考答案：A10. 若不等式组，所表示的平面区域被直线y=kx+2分成面积相等的两部分，则k的值为( )A1B2C3D4参考答案：A考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，根据直线将平面区域分成面积相等的两部分，得

8、到直线过AB的中点，求出相应的坐标即可得到k的值解答：解：作出不等式组对应平面区如图（三角形ABC部分），B（0，5），直线y=kx+2过定点C（0，2），C点在平面区域ABC内，要使直线y=kx+2将可行域分成面积相等的两部分，则直线y=kx+2必过线段AB的中点D由，解得（，），即A（，），AB的中点D（，），将D的坐标代入直线y=kx+2得=k+2，解得k=1，故选：A点评：本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域以及三角形的面积的应用，利用数形结合是解决本题的关键二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设等差数列满足：公差，且中任意两项之和也是该数列中的一项. 若，则

9、 ； 若，则的所有可能取值之和为 .参考答案：略12. （07年宁夏、 海南卷文）是虚数单位，（用的形式表示，）参考答案：答案：解析：13. 设a0，b1，若a+b=2，则的最小值为 参考答案：4+2【考点】7F：基本不等式【分析】=（）（a+b1）=3+1=4+【解答】解： =（）（a+b1）=3+1=4+当时，取等号故答案为：4+214. （6分）（2015?浙江模拟）函数f（x）=sinx+cosx的最小正周期为，单调增区间为，=参考答案：2, 2k，2k+,.【考点】： 正弦函数的图象；三角函数的周期性及其求法【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： 利用辅助角公式将三角函数进行化简

10、即可得到结论解：f（x）=sinx+cosx=sin（x+），则函数的周期T=2，由2kx+2k+，kZ，解得2kx2k+，kZ，故函数的递增区间为2k，2k+，f（）=sin（+）=sin=，故答案为：2，2k，2k+，【点评】： 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键15. 一个三角形数阵如下： 按照以上排列的规律，第n 行（n 3）从左向右的第3个数为_参考答案：略16. 某班级有50名学生，现用系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生。将这50名学生随机编号150号，并分组。第一组15号，第二组610号第十组4650号，若在第三组中抽得号码为12的

11、学生，则在第八组中抽得的是号码为 的学生。参考答案：3717. 在边长为的等边中，为边上一动点，则的取值范围是 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. (本小题满分14分)如图，直三棱柱，点分别为和的中点（1）证明：；（2）若二面角为直二面角，求的值参考答案：（1）连结，由已知三棱柱为直三棱柱，所以为中点.又因为为中点所以，又平面平面，因此 6分（2）以为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴建立直角坐标系，如图所示设则， 于是，所以，设是平面的法向量，由得，可取设是平面的法向量，由得，可取因为为直二面角，所以，解得14分19. 已知椭圆的离心

12、率为，一个焦点为（）求椭圆的方程；（）设直线交椭圆于，两点，若点，都在以点为圆心的圆上，求的值参考答案：（）解：设椭圆的半焦距为，则 1分 由， 得 ， 从而 4分 所以，椭圆的方程为 5分（）解：设将直线的方程代入椭圆的方程，消去得 7分由，得，且9分设线段的中点为，则， 10分由点，都在以点为圆心的圆上，得， 11分即 ， 解得 ，符合题意 13分所以 14分略20. （14分）已知椭圆（ab0）经过点P（0，1），离心率为，动点M（2，m）（m0）（）求椭圆的标准方程；（）求以OM为直径且被直线3x4y5=0截得的弦长为2的圆的方程；（）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直

13、径的圆交于点N，证明：线段ON的长为定值，并求出这个定值参考答案：【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由椭圆的离心率公式及b=1，即可求得a的值，求得椭圆方程；（）设圆的方程，利用点到直线的距离公式，即可求得m的值，求得圆的方程；（）过点F作OM的垂线，|ON|2=|OK|OM|，联立直线OM与FN直线方程，求得K点坐标，求得丨OK丨，|OM|，即可求得丨ON丨；则由向量?=0，则2x0+y0t=2，根据?=0，利用向量数量积的坐标运算，即可求得x02+y02=2，则=【解答】解：（）由题意得e=，则=，则a2=2b2，椭圆的焦点在x轴上，且经过点P（0，1），则b=1，a2=2，c2=a2b2

14、=1，椭圆方程为（）以OM为直径的圆的圆心为，半径，方程为，因为以OM为直径的圆被直线3x4y5=0截得的弦长为2，圆心到直线3x4y5=0的距离所以，解得m=4，所求圆的方程为（x1）2+（y2）2=5（）证明：过点F作OM的垂线，垂足设为K，由平面几何知：|ON|2=|OK|OM|则直线OM：，直线FN：，由得，（，），所以线段ON的长为定值；方法二：设N（x0，y0），则=（x01，y0），=（2，t），则=（x01，y0t），=（x0，y0），则?=0，2（x01）+ty0=0，整理得：2x0+y0t=2，由?=0，x0（x01）+y0（y0t）=0，x02+y02=2x0+y0t=2

15、，则|=，线段ON的长为定值【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查点到直线的距离公式，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题21. （本小题满分13分）已知函数，其中e=2.71828是自然对数的底数.（）求曲线y=f(x)在点(，f()处的切线方程；（）令，讨论h(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.参考答案：解：（）由题意又，所以，因此 曲线在点处的切线方程为，即 .（）由题意得 ，因为，令则所以在上单调递增.因为所以 当时，当时，(1)当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以 当时取得极小值，极小值是 ；(2)当时，由 得 ，当时，当时，单调递增；当时，单

16、调递减；当时，单调递增.所以 当时取得极大值.极大值为，当时取到极小值，极小值是 ；当时，所以 当时，函数在上单调递增，无极值；当时，所以 当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；所以 当时取得极大值，极大值是；当时取得极小值.极小值是.综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，极小值是；当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是极小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值， 极大值是；极小值是.22. （本小题满分14分）已知函数（）当时，求函数的极值；（）求函数在（为自然对数的底数）上的最大值；（）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？参考答案：（）（）由（1）知当时，在处取得极大值又，所以在上的最大值为24分当时，当时，；当时，在上单