函数的基本性质

1、考点 05 函数的基本性质（1）懂得函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；明白函数奇偶性的含义 .（2）会运用基本初等函数的图象分析函数的性质 .一、函数的单调性1函数单调性的定义定义增函数减函数一般地,设函数fx 的定义域为I ,假如对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值1x ,2x当x 1x 时,都有fx 1fx 2,当x 1x 时,都有fx 1fx 2,那么就说函数fx 在区间 D 上是增那么就说函数fx 在区间 D 上是减函数函数图象描述自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的设x x 2 , a b , 1x .如有x 1x 2 fx 10fx 20或2f x

2、 1f x20,就f x 在闭区间 a bx 1x2上是增函数；如有x 1x 2fx 1fx 2或f x 1f x0,就f x 在闭区间 a b 上是减函数 .x 1x 21 此为函数单调性定义的等价形式 . 2单调区间的定义如函数 yfx 在区间 D 上是增函数或减函数,就称函数 yfx 在这一区间上具有（严格的） 单调性,区间 D 叫做函数 fx 的单调区间留意： （1）单调性是与 “ 区间 ” 紧密相关的概念,一个函数在不同的区间上,可以有不同的单调性,同一种 单调区间用“ 和” 或“ ,” 连接,不能用“ ” 连接（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来争论,所以求函数的单调区间,必需

3、先求函数的定义域（3）“ 函数的单调区间是 A ” 与“ 函数在区间 B 上单调” 是两个不同的概念,留意区分,明显 B A . 1（4）函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制例如函数 y 分别在 ,0, 0,x内都是单调递减的,但不能说它在整个定义域,即 数的单调减区间为 ,0和0, 3函数单调性的常用结论,00, 内单调递减,只能分开写,即函（1）如fx,g x 均为区间A 上的增 减 函数,就yfxg x 也是区间 A 上的增 减函数；x 的单调性相同；如（2）如k0,就 kfx 与 fk0,就 kfx 与 fx 的单调性相反；（3）函数yfx ,y1的单调性相反；fxfx

4、0在公共定义域内与f x （4）函数yfxfx0在公共定义域内与yf x 的单调性相同；学科* 网（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；（6）一些重要函数的单调性：yx1的单调性： 在, 1 和 1,b上单调递增, 在1,0 和 0,1x上单调递减；yaxb（a0,b0）的单调性：在,和b,上单调递增,在xaab,0和0,b上单调递减aa4函数的最值2 前提设函数 yfx 的定义域为I ,假如存在实数M 满意M条件（1）对于任意的xI ,都有（3）对于任意的xI ,都有fxM ；fxM ；结论（2）存在x 0I ,使得fx 0M（4）存在x

5、0I ,使得fx 0M 为最大值M 为最小值留意：（1）函数的值域肯定存在,而函数的最值不肯定存在；（2）如函数的最值存在,就肯定是值域中的元素；如函数的值域是开区间,就函数无最值,如函数的值域是闭区间,就闭区间的端点值就是函数的最值 . 二、函数的奇偶性1函数奇偶性的定义及图象特点判定f奇偶性定义图象特点0,就假如对于函数fx 的定义域内任意一个x,都有图象关于 y 轴偶函数对称fxfx ,那么函数fx 是偶函数假如对于函数fx 的定义域内任意一个x,都有图象关于原点奇函数对称fxfx ,那么函数fx 是奇函数x 与 fx 的关系时, 也可以使用如下结论：假如fx fx0或fx1 f x 函

6、数 f x 为偶函数；假如 f x f x 0 或 f x 1 f 0,就函数 f x 为奇函数学科 .网f x 留意： 由函数奇偶性的定义可知,函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个 x,x 也在定义域内（即定义域关于原点对称）2函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反3 （2）f x ,g x 在它们的公共定义域上有下面的结论：f g x f x g x f x g x f x g x f g x 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数奇函数 偶

7、函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数（3）如奇函数的定义域包括 0 ,就 f 0 0（4）如函数 f x 是偶函数,就 f x f x f x （5）定义在 , 上的任意函数 f x 都可以唯独表示成一个奇函数与一个偶函数之和（ 6）如函数 y f x 的定义域关于原点对称,就 f x f x 为偶函数,f x f x 为奇函数,f x f x 为偶函数（7）把握一些重要类型的奇偶函数：函数fxaxaax为偶函数,函数fxx aax为奇函数函数xa2x1（aaxafx0且a1）为奇函数axaxa2x1函数fxlog1x（a0且a1）为奇函数1x

8、函数fxlogax2 x1（a0且a1）为奇函数三、函数的周期性1周期函数对于函数 yfx ,假如存在一个非零常数T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 fxTfx ,那么就称函数yfx 为周期函数,称T 为这个函数的周期2最小正周期4 假如在周期函数fx 的全部周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做fx 的最小正周期（如不特殊说明,T 一般都是指最小正周期）. 留意： 并不是全部周期函数都有最小正周期. 3函数周期性的常用结论设函数 yfx ,xR,a0. 如f xaf xa ,就函数的周期为2a ；如f xafx ,就函数的周期为2a ；如f xaf1,就函数的周期为2a

9、； 如fxaf1,就函数的周期为2a ； 函数 f如函数如函数如函数如函数x 关于直线 xa与 xb 对称,那么函数fx 的周期为 2 |ba ；学科 %网fx 关于点a ,0对称,又关于点b ,0对称,就函数fx 的周期是 2 |ba ；fx 关于直线 xa 对称,又关于点b ,0对称,就函数fx 的周期是 4 |ba ；fx 是偶函数,其图象关于直线xa对称,就其周期为2a ；fx 是奇函数,其图象关于直线xa对称,就其周期为4a . 考向一 判定函数的单调性1判定函数单调性的方法：（1）定义法,步骤为：取值,作差,变形,定号,判定利用此方法证明抽象函数的单调性时,应依据所给抽象关系式的特

10、点,对1x 或2x 进行适当变形,进而比较出fx 1与fx 2的大小（2）利用复合函数关系,如两个简洁函数的单调性相同,就这两个函数的复合函数为增函数；如两个简洁 函数的单调性相反,就这两个函数的复合函数为减函数,简称“ 同增异减 ” （3）图象法：从左往右看,图象逐步上升,就单调递增；图象逐步下降,就单调递减5 （4）导数法：利用导函数的正负判定函数的单调性（5）利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,判定函数的单调性 . 2在利用函数的单调性写出函数的单调区间时,第一应留意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子 集,求函数的单调区间必需先确定函数的定义域；其次需把握一次

11、函数、二次函数等基本初等函数的单调区间典例 1 函数fxlog1xx2的单调递增区间是2A ,1 2B 0,1C1 ,1 2D0,12【答案】 C 典例 2 已知函数fxxxaxa（1）如a2,试证：fx 在 ,2 上单调递增；x 在 , 2 上单调递增（2）如a0且 fx 在 1, 上单调递减,求a 的取值范畴【解析】任设x 1x 22,就fx 1fx 2x 1x 12x 22x 12x 1x 22. x 22x 2由于x 12 x 22 0,x 1x 20,所以fx 1fx 2,所以 f（2）任设1x 1x ,就6 fx 1fx2x 1x 1ax 2x 1a x 2x 1. 0,只需x 1

12、a x 2a0恒成立,所以0a1. x 2aax2a由于a0,x 2x 10,所以要使fx 1fx 2综上所述, a 的取值范畴是 0,1【名师点睛】函数的单调性是通过任意两点的变化趋势来刻画整体的变化趋势,“任意 ” 两个字是必不行少的假如只用其中两点的函数值 比如说端点值 进行大小比较是不能确定函数的单调性的1“a 0”是“ 函数 f x | ax 1 | x 在区间 0, 内单调递增 ”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件考向二 函数单调性的应用函数单调性的应用主要有：（1）由 x x 的大小关系可以判定 f x 1 与 f x 2 的大小关系,也可

13、以由 f x 1 与 f x 2 的大小关系判定出 x x 的大小关系比较函数值的大小时,如自变量的值不在同一个单调区间内,要利用其函数性质转化到同一个单调区间上进行比较 . （2）利用函数的单调性,求函数的最大值和最小值（3）利用函数的单调性,求参数的取值范畴,此时应将参数视为已知数,依据函数的单调性,确定函数的单调区间,再与已知单调区间比较,即可求出参数的取值范畴如函数为分段函数,除留意各段的单调性外,仍要留意连接点的取值（4）利用函数的单调性解不等式第一依据函数的性质把不等式转化为 f g x f h x 的形式,然后依据函数的单调性去掉“ f” 号,转化为详细的不等式 组,此时要留意

14、g x 与 h x 的取值应在外层函数的定义域内7 典例 3 定义在 R 上的函数 fx 满意：对任意的f1x ,x 20,（x 1x ）,有fx 2fx 10,就x 2x 1A f3f2f4Bf1f23Cf2f1f3Df3f1f0【答案】 D 典例 4 已知函数 fx 的定义域是 0, ,且满意 fxyfxfy ,f1 21,假如对于 0 xy ,都有 fxfy ,x0. f3xf1 20（1）求f1的值；（2）解不等式fxf3x 2. 【解析】（1）令xy1,就f1f1f1,f10. （2）解法一：由题意知fx 为 0, 上的减函数,且3xx00 fxyfxfy ,x y0,且f1 21,

15、fxf1fxf3x2可化为fxf3x2f1,即22f1fxf32xf1fx32xf1,22f22,x0就x32x,解得 11x0. 2不等式fxf3x2的解集为x|1x0 解法二：由f1f2f 12f21,f4f2fxf3x f4,即fx 3x f4,8 x004,解得x12x0. x|1x0 a 的取值范畴是就3xf32的解集为x3x不等式fx2已知函数fxlog3xaxa5在区间,1 上是单调递减函数,就实数考向三函数最值的求解1利用单调性求最值应先确定函数的单调性,然后再由单调性求出最值如函数在闭区间a,ba,b上是增函数,就fx 在 a,b 上的最小值为fa ,最大值为f b ；如函数

16、在闭区间上是减函数,就. fx 在a,b上的最小值为f b ,最大值为fa . 2求函数的最值实质上是求函数的值域,因此求函数值域的方法也用来求函数最值3由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式,因此应先求出分段函数在每一个子区间上的最值,然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值,各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值 . 4求函数最值的方法仍有数形结合法和导数法. 1,1 上,不等式fx2xm恒成立,就实数m的取值典例 5 已知函数fxx2x1,如在区间范畴是【答案】, 1m恒成立,只需mfgx2x2 x13x1恒成立,【解析】要使在区间1,1 上,不等式fx2x设

17、g x2 x3 x1,只需 m小于 g x 在区间1,1 上的最小值, 所 以 112 131m i n因 为g xx23 x1x325, 所 以 当x1时 ,gx24m1,所以实数 m的取值范畴是, 1 .9 典例 6 已知函数fxx22x3,如 xt,t2,求函数 fx的最值 t22t3,t111. t,就有g t t22 t3,t0,设函数 fx的最大值为gt,最小值为4, 1tt22t3,t0tt22t3,【名师点睛】求二次函数的最大（小）值有两种类型：一是函数定义域为实数集 R ,这时只要依据抛物线 的开口方向,应用配方法即可求出最大（小）值；二是函数定义域为某一区间,这时二次函数的

18、最大（小）值由它的单调性确定,而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置（在区间上,在区间左侧,仍是在区间右侧） 来打算,如含有参数, 就要依据对称轴与 解题时要留意数形结合 .x 轴的交点与区间的位置关系对参数进行分类争论,3 对 于 任 意 实 数a b , 定 义mina b a ab. 设 函 数fxx3,g xlog2x , 就 函 数b abh xmin fx,g x的最大值是 _考向四判定函数的奇偶性判定函数奇偶性的常用方法及思路：（1）定义法：10 （2）图象法：（3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判定 . 留意： 分段函数奇偶性的判

19、定,f要留意定义域内x 取值的任意性,应分段争论,争论时可依据x 的范畴相应地化简解析式,判定fx 与x 的关系,得出结论,也可以利用图象作判定性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的性质法在挑选题和填空题中可直接运用,但在解答题中应给出性质推导的过程 . 典例 7 设函数 f x , g x 的定义域为 R ,且 f x 是奇函数,g x 是偶函数,就以下结论中正确选项A fx gx是偶函数B|fx|gx是奇函数Cfx|gx |是奇函数D|fxgx |是奇函数【答案】 C 【解析】设H x f x g x ,就Hx gfx g x ,由于fx是奇函数,gx是偶函数,故Hxf x g

20、x H x ,即fx |x |是奇函数,选C典例 8 以下判定正确选项A 函数fxx22x是奇函数x211 B函数f x xx21是非奇非偶函数1x221,xx00是偶函数2C函数f x 1x1,D函数fx21既是奇函数又是偶函数【答案】 B 【名师点睛】对于C,判定分段函数的奇偶性时,应分段说明fx 与f x 的关系,只有当对称的两段上都满意相同的关系时,才能判定其奇偶性.如 D 项中的函数是f x 0,且定义域关于原点对称,就函数既是奇函数又是偶函数. 4以下函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是Ay2 xsinx Byxx2cosx函数奇偶性的应用C1y2xDysin 2x2x考向五1与

21、函数奇偶性有关的问题及解决方法：（1）已知函数的奇偶性,求函数的值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解（2）已知函数的奇偶性求解析式 . 12 已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：第一设出未知区间上的自变量,利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点,把它转化到已知的区间上,代入已知的解析式,然后再次利用函数的奇偶性求解即可 . （3）已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数 .学科 #网在定义域关于原点对称的前提下,利用 f x 为奇函数 f x f x , f x 为偶函数f x f x ,列式求解, 也可以利用特殊值法求解 .对于在 x

22、0 处有定义的奇函数 f x ,可考虑列式 f 0 0 求解 . （4）已知函数的奇偶性画图象判定单调性或求解不等式 . 利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判定另一区间上函数的单调性 . 2对称性的三个常用结论：（1）如函数yf xa 是偶函数, 即f axf ax ,就函数 yfx 的图象关于直线xa对称；（ 2）如对于 R 上的任意x 都有f2 axfx 或fxf2ax,就 yfx 的图象关于直线xa对称；fxb f xb0,就函数 yfx 关于点 ,0中心对称（3）如函数yf xb 是奇函数, 即典例 9 已知定义在R 上的奇函数满意fxx22x x0,如f 32 af

23、2 a ,就实数 a 的取值范围是 _【答案】 3,1 典例 10 已知 fx 是定义在 R 上的奇函数, 当x0时,fxx24 x ,就不等式 fxx 的解集用区间表示为 _【答案】5,0 5,13 当x0时,由 fxx 得x24xx ,解得x5；0. f1g14,就 g1等于当x0时, fxx 无解；x当x0时,由fxx 得x24xx ,解得5综上,不等式fxx 的解集用区间表示为5,05,15已知 fx 是奇函数, g x 是偶函数,且f 1 g2,A4 B3 C2D1 考向六 函数周期性的判定及应用（1）判定函数的周期,只需证明f xTfxT0,便可证明函数是周期函数,且周期为T,函数

24、的周期性常与函数的其他性质综合命题（2）依据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能在解决详细问题时,要留意结论：如T 是函数的周期,就kT kZ 且k0也是函数的周期. （3）利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化为已知区间上的相应问题,进而求解 . 14 典例11 定义在实数集R 上的函数 fx 满意fxfx20,且f4xfx ,现有以下三种表达： 8 是函数 fx 的一个周期；fx 的图象关于直线x2对称； fx 是偶函数其中正确的序号是【答案】6已知函数fx 满意fx2fx ,如

25、f12,f7a1,就实数 a 的取值范畴是32aA1,3 , 1 2B,12,13,C3 2D2考向七 函数性质的综合应用 函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性,在高考中一般不会单独命题,而是常将它们综合在一起考查,其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合,并结合奇偶性求函数值,多以挑选题、填空题的形 式出现,且主要有以下几种命题角度：（1）函数的单调性与奇偶性相结合,留意函数的单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性（2）周期性与奇偶性相结合,此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行交换,将所求函数值 的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解（3）周期性、奇偶性与单

26、调性相结合,解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用 奇偶性和单调性求解 . 15 典例 12 已知定义在 R 上的奇函数f x 满意f x4f x ,且在区间 0 2, 上是增函数,就A f 25f11f80Bf80f11f 25f 25f80f11Cf11f80f 25D【答案】 D 7设f x 是, 上的奇函数,f x2 fx ,当 0 x1时, fxx. （1）求 f 的值；（2）当4 x 4 时,求 f x 的图象与 x 轴所围成图形的面积；（3）写出 , 内函数 f x 的单调区间1以下函数中,既是偶函数又在区间 0, 上单调递增的是Ay1By1 g xfx 的单

27、调增区间是xCycosx Dyx22x2已知函数fx2x1,就函数 yx2A ,B, 2C2,D, 2 和2,16 3已知 fx 满意对xR ,fxfx0,且x0时,fxx em（ m为常数）,就fln5的值为A4 B-4 x,0 x 肯定是其零点的函数是C6 D-6 4如 fx 为奇函数,且0 x 是yfxx e的一个零点,就以下函数中,Ayfxex1Byfxx e1g x均为偶函数 ” 是“ h x 为Cyfxx e1 Dyfxx e15已知 fx,g x是定义在 R 上的函数, h xfxg x ,就 “ f偶函数 ” 的A充要条件B充分不必要条件f xx22 fxa2,且当x2 ,0时

28、,C必要不充分条件D既不充分也不必要条件6设 fx 是定义在R 上的偶函数,对任意xR ,都有loga01恰有 3 个不同的实数fx1x1 .如在区间 2,6 内关于x 的方程fx2根,就 a 的取值范畴是A1,2 f x 和定义在2x x0B2, g b 成立,就实数 b 的取C1,3 4 D3 4 , 2 7定义在 R 上的奇函数上的偶函数g x 分别满意x 21,0 x1,x x0,如存在实数 a,使得f a f x 1 , xx1,g x log值范畴是A 2, 2B 2,11,2. 22C1,00,1D ,22,228函数f x xx1x2的最大值为 . a9函数f x xa x4为

29、偶函数,就实数17 10已知函数 fx是定义在 R 上的周期为2 的奇函数,当0 x1 时,fx= 4x ,就 f5错误！未找到引用2源； + f1=. 11已知 fx 是定义在 R 上的偶函数, 且在区间 （-,0）上单调递增 .如实数 a 满意f2| a1|f2,就 a 的取值范畴是 . 12 已 知 f x 是 定 义 在 1,1 上 的 奇 函 数 , 且 f 1 1, 如 a, b 1,1 , a b 0 时 , 有f a f 0 成立a b（1）试判定 f x 在 1,1 上的单调性,并证明；1 1（2）解不等式 f x f ；2 x 12（3）如 f x m 2 am 1 对全部

30、的 a 1 ,1 恒成立,求实数 m 的取值范畴1（ 2022 浙江）如函数 fx=x 2+ ax+b 在区间 0,1上的最大值是 M,最小值是 m,就 M mA与 a 有关,且与b 有关lnxB与 a 有关,但与b 无关C与 a 无关,且与b 无关D与 a 无关,但与b 有关2（ 2022 新课标全国文科）函数f x 22x8的单调递增区间是A, 2B,11 3x,就f C1,D4,3（ 2022 北京文科）已知函数f x 3xA 是偶函数,且在R 上是增函数B是奇函数,且在R 上是增函数18 C是偶函数,且在R 上是减函数D是奇函数,且在R 上是减函数f20.8,4（ 2022 天津文科）

31、已知奇函数f x 在 R 上是增函数如aflog21,bflog24.1,c5就错误！未找到引用源；,错误！未找到引用源；,错误！未找到引用源；的大小关系为2x 3x , 2A abcB bacC cbaD cab5（ 2022 新课标全国文科）已知函数f x lnxln2x ,就Af x 在（ 0,2）单调递增Bf x 在（ 0,2）单调递减Cy=f x 的图像关于直线x=1 对称D y=f x 的图像关于点（1,0）对称6（2022 新课标全国文科）已知函数f x 是定义在 R 上的奇函数, 当x,0时,f x 就f2. 6x,就7（ 2022 山东文科）已知fx是定义在 R 上的偶函数

32、,且 fx+4= fx-2.如当x 3,0时,f x f919=_8（ 2022 北京文科）已知x0,y0,且 x+y=1,就2 x2 y 的取值范畴是 _9（ 2022 浙江）已知af x |x4a|a在区间 1,4 上的最大值是5,就 a 的取值范畴是R,函数x_19 变式拓展1【答案】 C 【解析】充分性：当 a 0 时,x 0,就 f x | ax 1 | ax 2x 为开口向上的二次函数,且对称1轴为 x 0,故在区间 0, 上为增函数；当 a0 时, fxx 在区间 0, 上为增函数2 a必要性：当 a 0 时,f 1 0,f00,由 fx在0, 上为增函数知,1 0,即 a 0；

33、当 a0a a时, fxx 在区间 0, 上为增函数,故 a 0 . 综上可知, “a 0” 是“函数 f x | ax 1 | x 在区间 0, 内单调递增 ” 的充分必要条件 .应选 C. 2【答案】3, 2【解析】设 t x 2ax a 5,就 y log 3 t ,由于 f x 在区间 ,1 上是单调递减函数,所以函数t x 2ax a 5 在区间 ,1 上是单调递减函数,且 t 0,所以 a2 1,解得 a 2,1 a a 5 0 a 3所以实数 a 的取值范畴是 3, 2 3【答案】 1 4【答案】 A 【解析】 函数fx2 xsinx 的定义域为 R ,关于原点对称, 由于f11

34、sin1,f11sin1,所以函数fx2 xsinx 既不是奇函数,也不是偶函数；函数fxx2cosx的定义域为 R ,关于原点对称,由于20 fxxx2cosxx2cosxfx ,所以函数ffx2 xxcosx是偶函数；x ,所以函数f2x1的定义域为 R ,关于原点对称,由于1x12xfx22x22x函数fx2x1是偶函数；fxxsin 2x是奇函数应选A2x函数fxxsin 2x的定义域为R,关于原点对称,由于fxxsin2xxsin 2 xfx ,所以函数5【答案】 B 6【答案】 C 【解析】由于函数fx 满意fx2fx ,所以 4 是函数 fx 的一个周期,所以f7f12,12,解

35、得1a3,由于f7a1,所以a32 a32a2所以实数 a的取值范畴是1,3,应选 C2【名师点睛】利用周期性（对称性）求参数的取值范畴,一般是将含有参数的函数值利用周期性（对称性）转化为已知的函数值,再利用已知条件得出参数的不等式,解出参数的取值范畴学f*科网7【解析】（ 1）由f x2 fx ,得f x4 fx2 2 f x2 x , fx 是以4 为周期的周期函数,ff1 4 f4 f 4 4 4. 2ff x1 f x1 , 即（ 2 ） 由 fx是 奇 函 数 与f x2 fx, 得fx1 x 的图象如下列图：f 1xf 1x从而可知函数yfx 的图象关于直线x1对称又当 0 x1时

36、, fxx ,且 fx 的图象关于原点成中心对称,就21 设当4x4时, fx 的图象与 x 轴围成的图形面积为S,4 k1,4k3kZ 就S4SOAB,单调递减区间为41214. 2（3）函数 fx 的单调递增区间为4k1,4k1kZ考点冲关1【答案】 B 2【答案】 D 【 解 析 】 由1x20得x2, 所 以 函 数 fx的 定 义 域 是,22 , 因 为fx2x22x3,所以函数 fx 在, 2 和2,上是增函数, 所以函数 yfx 的x2单调增区间是, 2 和2,应选 D3【答案】 B 【解析】由题意知fx 满意对xR ,fxfx0,即函数fx 为奇函数,由奇函数的性质可得f00

37、 e1,就当m0,mx0fxx e1,时,eln51ln 50 ,fln 5fln 54,选 B. 4【答案】 B 【 解 析 】 由 题 意 可 得fx 0e x 00, 所 以fxex0的 一 个 根 为0 x , 方 程 可 变 形 为22 fxx e10,又由于 fx 为奇函数, 所以fxx e10,即fxx e1 0有一个零点为x .选 B. 5【答案】 B 因此, “ fx,g x均为偶函数 ” 是“ h x 为偶函数 ”的充分不必要条件,应选B. 6【答案】 D 【解析】对任意 xfx 是定义在 R 上的偶函数,fx 的图象关于y 轴对称R ,都有f x2 fx2, fx 是周期

38、函数,且周期为4. 当x2,0时,fx1x1, fx 在区间 2,6 内的图象如下列图：2在区间 2,6 内关于x 的方程fxlogax2 0a1恰有3 个不同的实数根可转化为函数fx 的图象与ylogax2 的图象有且只有三个不同的交点,解得 a3 4 ,2. 就log 223log 623故 a 的取值范畴是 3 4 ,2. 7【答案】 B 23 x2 1,0 x 1,【解析】f x 1 , x 1,当 0 x 1 时, 2 x 1 0,1,当 x 1 时,1x 0,1,即 x 0 x时,f x 的值域为 0,1 .f x 是定义在 R 上的奇函数,x 0 时 f x 的值域为 1,0 .

39、在 R 上的函数 f x 的值域为 1,1定义在 x x 0 上的偶函数 g x ,x 0 时 g x log 2 x ,g x log 2 x x 0 . 存在实数 a,使得 f a g b 成立,令 1 g b 1,即 1 log 2 b 1,即1 b 2,21 b 2 或 2 b 1应选 B2 28【答案】 2 【解析】f x 1x11112,即最大值为2. 9【答案】 4 【解析】函数 fx 为偶函数 , f1f1,即 1a141a1 4,解得a4. 10【答案】 -211【答案】1 3 ,2 2【解析】由题意知f x 在 0, 上单调递减,又f x 是偶函数,就不等式f2a1f2可化

40、为f2a1f2,就2a12,a11,解得1 2a322x 1x2.12【解析】（ 1）任取x x 21, 1,且x 1x ,就x 21, 1 fx 为奇函数,fx 1fx2fx 1fx2fx 1f2x 2x 1x由已知得fx 1f2x 20,x 1x 0,fx 1fx20,即fx 1fx 2,x 1x fx 在 1,1 上单调递增24 x1x1111. 2（2） fx 在 1,1 上单调递增,1x11,解得3x221x111. 不等式f x1fx11的解集为x|3x1. 221,1 上,fx（3）f11, fx 在 1,1 上单调递增,在就问题转化为m22am11,即2 m2am0对a1 ,1

41、 恒成立下面来求 m 的取值范畴设g a2 ma2 m0. a1 ,1 恒成立,必需g1 0,且g10,如 m0,就g a00,对a1 ,1 恒成立如 m 0,就 g a 为关于 a 的一次函数,如g a0对m2或m2. m 的取值范畴是m0 或m2或m2. 直通高考1【答案】 B 【解析】由于最值在f0b f1 1ab faba2中取,所以最值之差肯定与b 无关,选 B24【名师点睛】 对于二次函数的最值或值域问题,通常先判定函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系,结合图象,当函数图象开口向上时,如对称轴在区间的左边,就函数在所给区间内单调递增；如对称轴在区间的右边, 就函数在所给区间内单调

42、递减；如对称轴在区间内,就函数图象顶点的纵坐标为最小值,区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值2【答案】 D 【名师点睛】求函数单调区间的常用方法：1定义法和导数法,通过解相应不等式得单调区间；2图象法,由图象确定函数的单调区间需留意两点：一是单调区间必需是函数定义域的子集：二是图象不连续25 的单调区间要分开写,用. “和” 或“ ,”连接,不能用“ ”连接； 3利用复合函数 “ 同增异减 ” 的原就,此时需先确定函数的单调性3【答案】 B x x【解析】f x 3 x 1 13 xf x,所以该函数是奇函数,并且 y 3 x是增函数,3 3xy 1 是减函数,依据增函数- 减函数 =增函数,可知该函数是增函数,应选 B. 3【名师点睛】此题属于基础题型,依