公共基础课件赠理论力学第59讲

1、动力学基本定律和质点运动微分方程第三节动力学一、动力学基本定律和质点运动微分方程（一）动力学基本定律(定律)1第一定律惯性定律任何质点如不受力的作用，则将保持或匀速直线运动状态。这个定律表明了任何质点都有保持或匀速直线运动状态的属性。这种属性称为该质点的惯性。所以第一定律叫做惯性定律。而质点作匀速直线运动称为惯性运动。由惯性定律可知如果质点的运动状态(或匀速直线状态)发生改变，即有了加速度，则质点上必受到力的作用。因此，力是物体运动状态改变的原因。2第二定律力与加速度的关系定律质点受一力F 作用时所获得的加速度a 的大小与力F 的大小成正比，而与质点的质量成反比；加速度的方向与作用力方向相同，

2、即ma=F(4-3-1)如果质点同时受几个力的作用，则上式中的 F 应理解为这些力的合力,而a 应理解为这些力共同作用下的质点的加速度，这样式(431)可写为ma=Fi(4-3-2)式(431)或式 432)称为质点动力学基本方程。3第三定律作用与反作用定律两质点相互作用的力总是大小相等，方向相反，沿同一直线，并分别作用在两质点上。这些定律是古典力学的基础，它们不仅只适用于惯性坐标系，且只适用于研究速度远少于光速的宏观物体由于一般工程问题中，大多问题都属于上述的适用范围，因此以基本定律为基础的古典力学在近代工程技术中仍占有很重要的地位。（二）质点的运动微分方程根据质点动力学基本方程ma=F,可

3、推导出的运动微分方程1.矢量形式直角坐标投影形式和自然轴投影形式的运动微分方程是两种常用的投影形式。根据问题的需要，还可以有其他投影形式的运动微分方程。必须注意，这些方程只适用于惯性坐标系，其中各项加速度必须是绝对加速度，采用自然轴投影形式的运动微分方程必须已知运动轨迹。质点的运动微分方程可用来解决质点动力学二类基本问题。即(1)已知质点的运动，求作用在质点上的力。(2)已知作用于质点上的力，求质点的运动。（三）例题例 431 图 431 所示半径为R 的偏心轮绕O 轴以匀角速度。转动，推动导板 AB 沿铅垂轨道运动已知偏心距 OCe，开始时 OC 沿水平线。若在导板顶部放有一质量为m 的物块

4、M，求：(1)物块对导板的最大反力及此时偏心C 的位置；(2)使物块不离开导板的 的最大值。解本题根据题意可列出物块的运动方程，运用导数的运算可求物块的加速度。于是应用质点的运动微分方程，可求出导板对物块的反力。属于第一类问题。(1)对象：取物块 M 为研究对象。(2)受力分析：选任一瞬时 t 进行分析，作用于物块上的力有重力P 和导板对物块的作用力N受力图如图 431(b)所示。(3)运动分析：物块沿铅垂线运动。(4)选坐标：由于物块沿铅垂线运动，将坐标原点取在固定点 O 上，并取x 轴铅垂向上为正。(5)建立运动微分方程并解。应用直角坐标形式微分方程：得例 432图 432(a)所示桥式起

5、重机上的小车，吊着重为P=100kN 的物体沿水平桥架以速度v0=lms 作匀速直线移动。重物的重心到悬挂点的距离为 l=5m。当小车突然停车时，重物因惯性而继续运动，此后则绕悬挂点摆动。试求钢丝绳的最大拉力。解取重物为研究对象，并将重物视为质点。设小车突然停车后的任意瞬时t，钢丝绳与铅垂线的夹角为 ( 角由图示铅垂轴x 的正向逆时针转向量取为正)。作用在重物上的力有：重物的重力P 和钢丝绳的拉力T，受力图如图 4-32b 所示。取自然轴系的、n 轴的正向如图示( 轴指向增加的一方)。由式(435)（四）解题注意事项1，质点动力学基本方程只适用于惯性坐标系，其中各项加速度必须为绝对加速度。2有

6、限个质点组成的质点系用动力学基本方程求解时，必须对每一个质点建立方程。3建立质点运动微分方程时，应将质点置于一般位置分析受力与运动，且此位置处于坐标系的第一象限为妥。同时必须注意力和加速度在坐标轴上的投影的正负号。研究质点运动微分方程之后，将继续学习动力学普遍定理，它包括动量定理(含质心运动定理)、动量矩定理和动能定理。这些定理都是从动力学基本方程推导得来的。它们建立了一些表明运动的度量(动量、动量矩和动能)与表明力的作用效果的量(如冲量、力矩和功)之间的关系。应用这些定理解一些动力学问题是比较方便的。从数学上看，这些定理只是在一定条件下运动微分方程另一种形式或它们的积分，但经过数学变换而出现在各定理中的量(动量、动量矩、动能、冲量、功等)都有明确的物理意义，各相关量之间也有简单而确定的关系，这不仅使对机械运动的了解更深入，而且能更有效地进行研究。下面依次研究这些定理，重点是质点系有关定理。动量定理二、动量定理动量定理建立了质点或质点系动量的改变与作用在其上的力的冲量之间的关系，由此还可以得动量守恒定律及质心运动定理。（一）基本概念1质心：对质量Mmi 质点系，若其任一质点对某一固定点的矢径为 ri，则由矢径所确定的一点C 称为此质点系的质量中心，简称质心