《泛函分析》课程教学大纲

1、泛函分析课程教学大纲一、课程概况所属专业:数学与应用数学专业开课单位：数学计算机科学科学院课程类型:院系选修课程课程代码:07491310开课学期:6学分：3学时：51核心课程:否拟使用教材： 程其襄，张奠宙等编， 实变函数与泛函分析基础(第三版)， 高等教育出版社，2010年。国内(外)现有教材： 1 W. Rudin, Functional Analysis(Second edition),. International Series in Pure and Applied Mathematics, McGraw-Hill, Inc., New York, 1991. 2 夏道行，吴卓人等

2、，实变函数论与泛函分析(下册，第二版)，高等教育出版社，2010年。 3 王声望，郑维行，实变函数与泛函分析概要(第二册，第四版)高等教育出版社，2010年。 学习参考资料： 1郭大钧，黄春朝等，实变函数与泛函分析(下册，第二版)，山东大学出版社，2005年。 2E.Stein, R.Shakarchi, Functional Analysis (Introduction to Further Topics in Analysis), Princeton University Press, 2011.二、课程描述 泛函分析是20世纪随积分方程、微分方程、量子力学等发展起来的一门重要的数学学科。

3、它综合运用分析、代数、几何的观点和方法研究分析数学中的问题，所以由此产生的概念、定理和方法就更加概括，更加深刻。它有力地推动其它数学分支的发展，且在微分方程、概率论、量子理论、现代控制论、工程技术中有广泛的运用。 通过本课程的学习，使学生学会抽象分析的方法，了解和掌握赋范线性空间、有界线性算子、Hilbert空间、Banach空间的基本概念和基本理论。培养学生的思维能力、创新能力、分析问题与解决问题的能力，为进一步学习数学的有关学科和从事数学学科的教学打下一定的理论基础。三、课程目标 掌握泛函分析的基础知识及推理方法。 具有适应社会发展的能力以及终身学习能力。为本专业所必需的应用、分析等技能提

4、供泛函分析基础。初步具备用泛函分析知识解决数学、物理等领域相关问题的能力。具有创新意识，具备研究新方法的初步能力。四、教学要求授课教师将按照学校本科教学工作有关要求做好课程教学各项工作，将根据本大纲要求，吃透主讲教材，广泛参考其他教材，认真备课完成教案与讲稿编写等各项课前准备工作；授课过程力求内容充实、概念准确、思路清晰、详略得当、逻辑性强、重难点突出，注重引导和启发，注意内涵和外延，有针对性的开展课堂教学，力戒平铺直叙、照本宣科，同时重视对学生的学习方法指导和课堂教学效果信息的反馈，实现教与学的双向互动，践行教学相长；同时将结合课程目标要求，做好考核内容设计，并严格按照本大纲要求做好出勤率统

5、计、作业评价等各项工作，确保较客观的反映学生真实的学习效果。学生应根据课程大纲要求认知本门课程的课程特点，熟悉学习目标，制定学习方法，拟清学习计划，加强学业管理，严格自我要求，提升自主学习能力；课前预习，参与课堂教学活动不迟到、不早退，无正当理由不请假，上课认真听讲，注意记录，积极与授课教师进行教学互动，不做任何与课堂教学无关事宜，不使用手机；同时利用课余时间进行复习、课外书籍阅读等工作，勤于思考，善于提问，努力消化学习内容，认真完成任课教师布置的课程作业和其他学习任务，并注重与同学开展合作学习，根据个人情况在教师的指导下进行研究性学习。五、考核方式及要求为实现课程教学目标，本门课程考核方式及

6、要求为：平时成绩+期末考试成绩，其中平时成绩占60%，期末考试成绩占40%，平时成绩主要按出勤率、课外作业、随堂测试、课堂表现等计算，期末考试主要是闭卷书面考试。注：授课教师应紧扣课程目标，把课程考核贯穿于教学的全过程，选择能够全面衡量学生学习效果的考核方式，对学生的学习效果进行有效评价。六、课程内容第七章：度量空间和赋范线性空间（授课时间：第六学期第一周至第五周）教学目标： 1. 理解度量空间、稠密集、可分空间、连续映射、赋范线性空间及Banach空间等基本概念并掌握压缩映射原理。 2.了解度量空间的完备化理论。教学重点：度量空间；线性赋范空间；、及等空间；压缩映照原理。教学难点：稠密集、可

7、分空间。学 时：课堂教学15学时，课外自主学习时间不少于24学时。教学方法：讲授法主要内容：1. 离散度量空间，序列空间，有界函数空间，可测函数空间。2. 点列极限，有界集，几类度量空间点列收敛的特征，稠密集，可分空间。 3. 映照的连续性，连续映照的性质。4. 柯西点列，完备度量空间的性质及例子。5. 等距同构，度量空间的完备化。6. 压缩映照的概念，压缩映照原理及应用。7. 线性空间的概念及例子，线性无关集，有限维和无限维线性空间。 8. 范数公理，线性赋范空间的概念及例子，有限维线性赋范空间的性质。学习方法：课外练习、小组讨论课后作业：每周完成教材上的若干练习题或额外布置的习题，并在下周

8、课提交。第八章：有界线性算子和线性连续泛函（授课时间：第六学期第六、七周）教学目标：1.掌握线性有界算子的概念及性质，算子范数，共轭空间，经典空间的共轭空间。2.了解广义函数的概念。教学重点：有界线性算子、连续线性泛函 。教学难点：线性算子空间、共轭空间。学 时：课堂教学7学时，课外自主学习时间不少于11学时。教学方法：讲授法主要内容： 1.线性有界算子的概念及性质，算子范数，线性有界算子和线性连续泛函的例子。 2.线性有界算子空间，共轭空间，等距映照，经典线性赋范空间的共轭空间。 3.基本空间，广义函数，广义函数的导数。学习方法：课外练习、小组讨论课后作业：每周完成教材上的若干练习题或额外布

9、置的习题，并在下周课提交。第九章：内积空间和希尔伯特（Hilbert）空间（授课时间：第六学期第八周至第十二周）教学目标：1. 掌握内积空间的概念及性质，直正性，投影定理，规范正交系，Riesz定理，自伴算子、酉算子和正常算子的概念。2. 了解 Schmidt正交化法，自伴算子、酉算子和正常算子的性质。 教学重点：内积空间、希尔伯特空间。教学难点：希尔伯特空间。学 时：课堂教学14学时，课外自主学习时间不少于21学时。教学方法：讲授法主要内容： 1.内积空间的基本概念，内积空间的性质和特征。 2.完备凸子集，极小化向量定理，正交性，正交补，投影定理。 3.规范正交系，完全规范正交系，Hilbe

10、rt空间中的规范正交系的特征，Schmidt正交化法，Hilbert空间的同构理论。 4. Riesz定理，Hilbert共轭算子。 5.自伴算子、酉算子和正常算子的概念及性质。学习方法：课外练习、小组讨论课后作业：每周完成教材上的若干练习题或额外布置的习题，并在下周课提交。第十章：巴拿赫空间中的基本定理（授课时间：第六学期第十三周至第十六周）教学目标： 1. 掌握Hahn-Banach延拓定理，一致有界性定理，逆算子定理和闭图象定理，算子序列及点列的各种收敛。 2. 了解Ca,b空间线性连续泛函的Riesz表示定理。教学重点：泛函延拓定理、纲定理、一致有界定理、开映像定理、闭图像定理。 教学

11、难点：共轭算子、的共轭空间、一致有界定理。学 时：课堂教学11学时，课外自主学习时间不少于18学时。教学方法：讲授法主要内容： 1. 次线性泛函，Hahn-Banach延拓定理。 2. Riesz表示定理，正规化囿变函数空间。 3. 共轭算子的概念及性质。 4. 疏朗集,第一、二纲集，Baire纲定理，一致有界性定理及其应用。 5. 线性有界算子序列的一致收敛、强收敛和弱收敛的概念及例子，算子强收敛的特征，点列强收敛和弱收敛。 6. 开映照，逆算子定理。7. 闭算子，闭图象定理。学习方法：课外练习、小组讨论课后作业：每周完成教材上的若干练习题或额外布置的习题，并在下周课提交。第十一章：线性算子的谱（授课时间：第六学期第十六、十七周）教学目标： 1. 掌握各种谱的定义，有界线性算子谱的有界闭性，全连续算子的概念及性质。 2. 了解自伴全连续算子谱理论教学重点：有界线性算子谱的基本性质、自伴全连续算子的谱理论。教学难点：自伴全连续算子的谱理论。学 时：课堂教学4学时，课外自主学习时间不少于6学时教学方法：讲授法主要内容(以下打“*”号内容任课教师可