高中数学公式大全

1、1高中数学常用公式及常用结论包含关系AIBAAUBBABCUBCUAAICUBCUAUBR2会合a1,a2,L,an的子集个数共有2n个；真子集有2n1个；非空子集有2n1个；非空的真子集有2n2个.3.充要条件pq，则p是q充分条件.（1）充分条件：若（2）必要条件：若qp，则p是q必要条件.（3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.函数的单一性(1)设x1x2a,b,x1x2那么(x1x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数；0 x2x1(x1x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)0f

2、(x)在a,b上是减函数.0 x2x1(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)为减函数.f(x)和g(x)都是减函数,和函数f(x)g(x)也是减函数;5.如果函数则在公共定义域内如果函数yf(u)和ug(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yfg(x)是增函数.6奇偶函数的图象特点奇函数的图象对于原点对称，偶函数的图象对于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象对于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象对于y轴对称，那么这个函数是偶函数7.对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒建立,则函数f(x)的对称

3、轴是函数abx;两个函ab2数yf(xa)与yf(bx)的图象对于直线x对称.2几个函数方程的周期(约定a0)（1）f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=a；（2），1()0)，或1则的周期；f(xa)ff(xa)(f(x)0),f(x)f(x)xf(x)T=2a分数指数幂m1m1(1)an（a0,m,nN，且n1）.(2)an0,m,nN，且n1）.namm（aan10根式的性质（1）(n)n.2nnnan|a|a,a0.aan为奇数时，aa；当n为偶数时，（）当a,a011有理指数幂的运算性质(1)arasars(a0,r,sQ).(2)(ar)sars(a0,r,sQ).(3)(ab)

4、rarbr(a0,b0,rQ).12.指数式与对数式的互化式logaNbabN(a0,a1,N0).负数和零没有对数，.1的对数等于0：loga10，.底的对数等于1：logaa1，精选2.积的对数：loga(MN)logaMlogaN，商的对数：logaMlogaMlogaN，Nnlogab幂的对数：logaMnnlogaM；logmbnam13.对数的换底公式logaNlogmNa0a1m0mN0(,且,且,).logma1推论logambnnlogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).m15.as1,n1(数列an的前n项的和为sna1a2Lan).nsnsn1,n216.

5、等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d(nN*)；其前n项和公式为sn(a1an)nan(n1)ddn2(a1d)n.n212212a117.等比数列的通项公式ana1qn1qn(nN*)；qa1(1qn)1a1anq,q1其前n项的和公式为sn1q,q1q或sn.na1,q1na1,q1同角三角函数的基本关系式sin2cos21，tan=sincos正弦、余弦的诱导公式nn)(1)2sin,(n为偶数)sin(n12(1)2cos,(n为奇数)20和角与差角公式sin()sincoscossin;cos()coscosmsinsin;tan(tantan.)mtantan1asinb

6、cos=a2b2sin()(协助角所在象限由点(a,b)的象限决定,tanb).a21、二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin22sincoscos2cos2sin22cos2112sin2（cos21cos2，sin21cos2）22tan22tan1tan222.三角函数的周期公式函数ysin(x)，xR及函数ycos(x)，xR(A,为常数，且A0，0)的周期T2；精选3函数ytan(x)，xk,kZ(A,为常数，且A0，0)的周期T.23.正弦定理2abc2R.sinAsinBsinC余弦定理a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC.25.面积定

7、理S1absinC1bcsinA1casinB（2）.222三角形内角和定理在ABC中，有ABCC(AB)CAB222C22(AB).2实数与向量的积的运算律设、为实数，那么联合律：(a)=()a;(2)第一分派律：(+)a=a+a;(3)第二分派律：(a+b)=a+b.28.向量的数量积的运算律：(1)ab=ba（互换律）;(2)（a）b=（ab）=ab=a（b）;(3)（a+b）c=ac+bc.30向量平行的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则aPb(b0)x1y2x2y10.a与b的数量积(或内积)ab=|a|b|cos数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上

8、的投影|b|cos的乘积平面向量的坐标运算设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1x2,y1y2).设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1x2,y1y2).uuuruuuruuur(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则ABOBOA(xx,y2y).211(4)设a=(x,y),R，则a=(x,y).(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则ab=(x1x2y1y2).34.两向量的夹角公式cosx1x2y1y2(a=(x1,y1),b=(x2,y2).x2y2x2y21122uuuruuuruuur35.平面两点间的距离公式dA,B=|AB

9、|ABAB(x2x1)2(y2y1)2(A(x1,y1)，B(x2,y2).向量的平行与垂直a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则A|bb=ax1y2x2y10.ab(a0)ab=0 x1x2y1y20.三角形的重心坐标公式ABC三个极点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则ABC的重心的坐标是G(x1x2x3,y1y2y3).33设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则uuuruuurr（1）O为ABC的外心uuur2uuur2uuur2.（2）O为uuurOAOBuuurOCABC的重心OAOBOC0.（3）O为ABC的

10、垂心uuuruuuruuuruuuruuurOAOBOBOCOCOA.常用不等式：（1）a,bRa2b22ab(当且仅当ab时取“=”号)精选4（2）a,bRabab(当且仅当ab时取“=”号)2（3）ababab.39已知x,y都是正数，则有（1）若积xy是定值p，则当xy时和xy有最小值2p；（2）若和xy是定值s，则当xy时积xy有最大值1s2.440.含有绝对值的不等式当a0时，有xax22axa.axax2a2xa或xa.41.斜率公式ky2y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.x2x142.直线的五种方程（1）点斜式yy1k(xx1)(直线l过点P1(x1,y1)，且斜率

11、为k)（）斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距).2（3）两点式yy1xx1(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1x2).y2y1x2x1(4)截距式xy1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0)b5）一般式AxByC0(其中A、B不同时为0).43.两条直线的平行和垂直(1)若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2l1|l2k1k2,b1b2;l1l2k1k21.(2)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,且A、A、B、B都不为零,1212l1|l2A1B1C1；l1l2A1A2B1B20；A2B2C2(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC

12、20,A1A2B1B20).直线l1l2时，直线l1与l2的夹角是.245.点到直线的距离d|Ax0By0C|P(x0,y0),直线l：AxByC0).A2B2(点46.圆的四种方程a)2b)2r2.（1）圆的标准方程(x(y（2）圆的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0).47.直线与圆的地点关系直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的地点关系有三种:dr相离0;dr相切0;dr相交0.其中dAaBbC.A2B2两圆地点关系的判断方法设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2ddr1r2外离4条公切线;dr1r2外切3条公切线;r1r2dr1r2相交2条公切线;

13、dr1r2内切1条公切线;0dr1r2内含无公切线.圆的切线方程精选5(1)已知圆x2y2DxEyF0(2)已知圆x2y2r2过圆上的P0(x0,y0)点的切线方程为x0 xy0yr2;22xacos50.椭圆xy1(ab0)的参数方程是.ybsina2b251.椭圆x2y21(ab0)焦半径公式PF1e(xa2)，PF2e(a2x).a2b2cc52椭圆的的内外部（1）点P(x0,y0)在椭圆x2y21(ab0)的内部x02y021.a2b2a2b2（2）点P(x0,y0)在椭圆x2y21(ab0)的外部x02y021.a2b2a2b253.双曲线x2y21(a0,b0)的焦半径公式PF1|

14、e(xa2)|，PF2|e(a2x)|.a2b2cc双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为x2y21渐近线方程：x2y20ybx.a2b2a2b2x2y2a(2)若渐近线方程为ybxxy0双曲线可设为.a2b2aab(3)若双曲线与x2y21有公共渐近线，可设为x2y2（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴上）.a2b2a2b255.抛物线y22px的焦半径公式抛物线y22px(p0)焦半径CFx0p.pp2过焦点弦长CDx1x2x1x2p.2256.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB(x1x2)2(y1y2)2或AB(1k2)(x2x1)2|x1x2|1tan2|y1y2|1cot2（

15、弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)，由方ykxb消去y获得ax2bxc0，0,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率）.程0F(x,y)57(1)加法互换律：ab=ba(2)加法联合律：(ab)c=a(bc)(3)数乘分派律：(ab)=ab59共线向量定理a、b(b0)，ab存在实数使a=b对空间随意两个向量uuurP、A、B三点共线AP|ABuuuruuuruuuruuurAPtABOP(1t)OAtOB.向量的直角坐标运算a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)则(1)ab(a1b1,a2b2,a3b3)；(2)ab(a1b1,a2b2,a3b3)；(3)a(a1,a2,a3)(R

16、)；(4)aba1b1a2b2a3b3；uuuruuuruuur61.设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则ABOBOA=(x2x1,y2y1,z2z1).62空间的线线平行或垂直rrrrrr设a(x1,y1,z1)，b(x2,y2,z2)，则abab0 x1x2y1y2z1z20.63.夹角公式设a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)，则cosa，b=a1b1a2b2a3b3.a12a22a32b12b22b32精选rr6rr|x1x2y1y2z1z2|64异面直线所成角|ab|cos|cosa,b|=rrx12y12z12x22y22z22|a|b|（其中（0o90o

17、）为异面直线rra,b的方向向量）a,b所成角，a,b分别表示异面直线65.直线ABuuurur与平面所成角arcsinABmur的法向量).uuurur(m为平面|AB|m|urrurrurr66.二面角l的平面角mn或mn，的法向量）.arccosurrarccosurr（m，n为平面|m|n|m|n|空间两点间的距离公式uuuruuuruuur2(y2y1)2(z2z1)2若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则dA,B=|AB|ABAB(x2x1).67.球的半径是R，则其体积V4R3,其表面积S4R23球与正四面体的组合体:棱长为a的正四面体的内切球的半径为6a,外接球的

18、半径为6a.12468V柱体1Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.V锥体1Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.33分类计数原理（加法原理）Nm1m2Lmn.70.排列数公式m1)(nmn！n，m*mn)注:规定0!1.An=n(n1)=.(N，且(nm)！71.组合数公式Cnm=Anm=n(n1)(nm1)=n！(nN*，mN，且mn).Amm12mm！(nm)！72.组合数的两个性质(1)Cnm=Cnnm;(2)Cnm+Cnm1=Cnm1.注:规定Cn01.nm1nnCnm11n155.组合恒等式（1）CnmCnm1;（2）CnmmCnm1;（3）Cnm;（4）Cnr=2n;mnmr

19、0排列数与组合数的关系Anmm！Cnm.74单条件排列以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列.（1）“在位”与“不在位”某（特）元必在某位有Anm11种；某（特）元不在某位有AnmAnm11（补集思想）An11Anm11（着眼地点）Anm1Am11Anm11（着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）定位紧贴：k(kmn)个元在固定位的排列有AkkAnmkk种.浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一同的排法有Annkk11Akk种.注：此类问题常用捆绑法；插空：两组元素分别有k、h个（kh1），把它们合在一同来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有AhhAhk1种.（3）

20、两组元素各相同的插空m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当nm1时，无解；当nm1时，有Amn1Cmn1种排法.Ann（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为Cmnn.75分派问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件平分给m个人，各得n件，其分派方法数共有精选7nnnnn(mn)!NCmnCmnnCmn2nC2nCn(n!)m.（2）(平均分无属)将相异的mn个物体平分无号或无序的m堆，其分派方法数共有CmnnCmnnnCmnn2n.C2nnCnn(mn)!Nm!m!(n!)m.（3）(非平均分有属)将相异的P(P=n1+n2+L

21、+nm)个物体分m个人，物件必被分完，分获得n1，n2nm件，且n1n2nmm个数彼此不相等，其分派方法数共有N，76.二式定理(ab)nCn0anCn1an1bCn2an2b2Cnranrbr二展开式的通公式Tr1Cnranrbr(r0，1，2，n).77.n次独立重复中某事件恰巧生k次的概率Pn(k)CnkPk(1P)nk.78.离散型随机量的散布列的两个性（1）Pi0(i1,2,L);（2）P1P279.数学希望Ex1P1x2P2LxnPnL80.数学希望的性（1）E(ab)aE()b.（2）若B(n,p),En1n2nmm!p!m!.CpCpn1.Cnmn1!n2!.nm!Cnnbn;L1.np.81.方差Dx12p1x22p2LxnE2pnL准差=D.EE82.方差的性(1)Daba2D；(2）若B(n,p)，Dnp(1p).83.f(x)在(a,b)的数f(x)ydydflimylimf(xx)f(x).dxdxx0 xx0 x84.函数yf(x)在点x0的数的几何意函数yf(x)在点x0的数是曲yf(x)在P(x0,f(x0)的切的斜率f(x0)，相的切方程是yy0f(x0)(xx0).85.几种常函数的数(1)C0（C常数）.(2)(xn)nxn1(nQ).(3)(sinx)cosx.(4)(cosx)sin