统计学原理（第五版）第05章平均指标和变异指标

1、第五章 平均指标和变异指标统计学原理（第五版）第五章 平均指标和变异指标内容提要第一节 平均指标的概念和作用第二节 算术平均数第三节 调和平均数第四节 几何平均数第五节 众数和中位数第六节 正确计算和运用平均指标的原则第七节 标志变异指标本章习题下一章内容提要 本章包括平均指标和变异指标两部分内容，阐述了平均指标的概念和作用；各种平均数的计算原则、方法与应用条件；主要的平均指标(算术平均数、调和平均数、几何平均数、众数和中位数)；变异指标的作用、计算方法和运用条件；主要的变异指标(全距、平均差、标准差及其系数)。平均指标的概念和作用第一节一、平均指标的概念 平均指标，是同类社会经济现象总体内各

2、单位某一数量标志在一定时间、地点和条件下数量差异抽象化的代表性水平指标，其数值表现为平均数。二、平均指标的作用 (一)利用平均指标，可以了解总体次数分布的集中趋势 (二)利用平均指标，可以对若干同类现象在不同单位、地区间进行比较研究 (三)利用平均指标，可以研究某一总体某种数值的平均水平在时间上的变化，说明总体的发展过程和趋势二、平均指标的作用 (四)利用平均指标，可以分析现象之间的依存关系 (五)平均指标可作为某些科学预测、决策和某些推算的依据算术平均数第二节一、算术平均数的基本形式公式51例如,某公司某月的工资总额为744万元,工人总数为2000人,则该公司工人的月平均工资为: 二、算术平

3、均数的计算方法 (一)简单算术平均数 用符号表示:公式52例51 某机械厂某生产班组有10名工人，生产某种零件，每个工人的日产量分别为45件，48件，52件，62件，69件，44件，52件，58件，38件，64件。试用简单算术平均数法计算工人平均日产量。 (二)加权算术平均数 用符号表示:公式53例52 某机械车间有200名工人，每人每日生产某种零件数的单项数列及计算见表5-1，试用加权算术平均数法计算平均每个工人日产零件数。加权算术平均数的另一个计算公式是: 仍用例5-2采用权重系数形式计算的加权算术平均数=15*0.05+16*0.10+17*0.18+18*0.30+19*0.22+20

4、*0.15=17.99（件） 例53 某月某企业工人工资资料见表5-2，求工人月平均工资。 三、算术平均数的几个主要数学性质 (一)平均数与次数和的乘积等于所有变量值(数量标志值)的总和。 (二)所有变量值与平均数的离差之和等于零。 (三)各个变量值与平均数离差平方之和为最小。 (一)平均数与次数和的乘积等于所有变量值(数量标志值)的总和。即: (二)所有变量值与平均数的离差之和等于零。即: (三)各个变量值与平均数离差平方之和为最小。即:调和平均数第三节 一、调和平均数的概念 调和平均数是平均数的一种，它是根据变量值的倒数计算的，是变量值倒数的算术平均数的倒数，故又称倒数平均数。二、简单调和

5、平均数公式55三、加权调和平均数 公式56 例5-4某农产品收购部门,某月购进三批同种产品,每批产品的价格及收购金额见表5-3,求三批产品的价格. 例 5-4价格X(元/千克)收购金额m(元)收购量m/X(千克)第一批第二批第三批505560110002750018000220500300合计_565001020例 5-4 加权调和平均数实际上是加权算术平均数的变形. 如设m=Xf,则f=m/X代入加权算术平均数,得:几何平均数第四节 一、几何平均数的概念和特点 几何平均数不同于算术平均数和调和平均数， 是n个变量值连乘积的n次方根，是计算平均比率和平均速度时比较适用的一种方法，符合人们的认识

6、规律。二、几何平均数的计算方法 (一)简单几何平均数公式57 例5-5某机械厂生产机器,设有毛坯,粗加工,精加工,装配四个连续作业的车间.某批产品其毛坯车间制品合格率为97%,粗加工车间制品合格率为93%,精加工车间制品合格率为91%,装配车间产品合格率为87%,求各个车间制品的合格率.例55 车间制品平均合格率为进一步了解它的实质,采用对数计算:(二)加权几何平均数公式58 某建设银行某项投资的年利率是按复利计算的,25年的年利率情况是:1年为8%,4年为5%,8年为4%,10年为3%,2年为2%,求平均年利率.例56 在计算平均年利率时,根据研究对象性质必须将各年利率加100%换算成各年本

7、利率,然后按加权几何平均法计算平均年本利率,再减100%得平均年利率,见表5-5例56本利率(%)年数f(次数)本利率的对数lgX次数乘对数flgX1081051041031021481022.033422.021192.017032.012842.008602.033428.0847616.1362420.128404.01720合计25-50.40002例56例56 求反对数得本利率：G103.75%平均年利率103.75%100%3.75%这就是说，25年间的年平均本利率为103.75%，年平均利率为3.75%。众数和中位数第五节一、众数 在观察某一总体时，最常遇到的标志值，在统计上称为

8、众数。 下限公式:公式59 上限公式:公式510 例5-8 某山区县农民家庭户按人均纯收入额分组资料见表5-7,求众数.例5-8表5-7按人均纯收入额分组(元)农户数(户)1000以下1000-20002000-30003000-40004000-50005000以上4479236260223158合计1000 从表5-7中可见,人均纯收入额3000-4000元者为农民家庭户最多的组,这组为众数组,其具体数值可依确定众数的下限公式或上限公式计算.将具体数值代入确定众数的下限公式: 二、中位数(n为奇数)(n为偶数) 例5-9 某工厂某班组11名工人生产产品零部件数已按大小顺序排好(见表5-8)

9、,求中位数. 例5-9表5-8工人n1234567891011生产零件数X(件)1517192022222324252630 例5-9例5-9如果项数为偶数,即假如上例尚有第12号工人，其生产零件数为31所，则 例5-10 某工厂某工段工人按零件数分组资料见表5-9，求中位数。例5-10表5-9按生产零件分组（件/日）工人数（人）人数累计以下累计以上累计202122232425102030201551030608095100100907040205合计100-例5-10 累计总人数一半（100/2=50）在日生产零件为22件的这一组中，所以其中位数为22（件）。例5-11现用表5-7的资料来说

10、明中位数的确定方法。见表5-10按人均纯收入额分组(元)农户数(户)累计次数以下（向上）累计以上（向下）累计1000以下1000-20002000-30003000-40004000-50005000以上44792362602231584412335961984210001000956877641381158合计1000第一步，确定中位数所在数组。第二步，计算中位数的近似值。上述计算过程可概括成一般公式：将表5-10中的数值代人下限公式得： 正确计算和运用 平均指标的原则第六节(一)必须注意所研究社会经济现象的同质性(二)必须注意用组平均数补充说明总平均数(三)必须注意应用分配数列补充说明平均

11、数(四)必须注意一般与个别相结合，把平均数和典型事例结合起来(五)平均指标要与变异指标结合运用(一)必须注意所研究社会经济现象的同质性 同质性，就是社会经济现象的各个单位在被平均的标志上具有同类性。最常见的错误是违背同质性原则，即把不同质的事物当作同质总体求平均数。(二)必须注意用组平均数补充说明总平均数 根据同质总体计算的平均数，它说明总体各个单位的一般水平，在统计分析中有重要作用。但是，仅看总平均数还不能全面说明总体特征，因为总体单位之间还存在其他性质上的差别，有时被总平均数所掩盖。(三)必须注意应用分配数列补充说明平均数 平均数的重要特征是把总体各个单位的数量差异抽象化，掩盖了各单位的数

12、量差别及分配状况，因此，要用分配数列来补充说明平均数。(四)必须注意一般与个别相结合，把平均数和典型事例结合起来任何事物的发展都不是平衡的，在同一总体中，既有先进部分，也有后进部分，不能满足于一般状况。如果在分析研究时，只掌握一般情况而忽视个别情况，不注意发现先进，找出后进，促使后进转化，就会犯错误。(五)平均指标要与变异指标结合运用详见第七节标志变异指标标志变异指标第七节一、标志变异指标的概念和作用 (一)标志变异指标的概念 标志变异指标是反映统计数列中以平均数为中心，总体各单位标志值的差异大小范围或离差程度的指标。 (二)标志变异指标的作用 1.标志变异指标可以衡量平均数代表性的大小。 2

13、.标志变异指标可以反映社会经济活动过程的节奏性和均衡性。 3.标志变异指标可以反映总体单位标志值的均匀性和稳定性。 4.标志变异指标是科学地确定必要的抽样单位数应考虑的重要因素。 二、标志变异指标的计算方法 (一)变异全距 变异全距最大标志值最小标志值公式513变异全距最高组上限最低组下限公式514变异全距计算方法简单，易懂，容易被人们理解。在实际生活中，研究具体问题时，除列出平均数外，再摆出最高数和最低数及差距就可使人们感到符合实际些。为精确地表明总体各单位在某一指标上的差异大小和程度，还应当利用其他变异指标，如平均差，标准差及其变异系数等。 (二)平均差 1.如果掌握的是未经分组的(原始数

14、列)资料，则采用简单算术平均式。公式515例5-12某工厂某车间两个班组工人的每人日产某种零件数，未经分组的资料见5-13，求平均差。第一组第二组日产数离差离差绝对值日产数离差离差绝对值XX202530355070-40-35-30-25-1010403530251010505152535660-10-9-8-7-401098740例5-1275859012015253060152530606271727321112132111213合计-280合计-76例5-12例5-12 2.如果掌握的资料是分组数列时，则应采用加权算术平均式。公式516例5-13某厂某月工人包装数分组数列资料见表5-14

15、前两栏，求平均差。按日包装分组（箱）工人数（人）包装数（箱）离差 （ =9.05）离差绝对值以工人数加权计算的离差绝对值XfXf78910111002503002001507002000270020001650-2.05-1.05-0.050.951.952.051.050.050.951.95205.0262.515.0190.0292.5合计1000 9050-965.0例5-13例5-13例5-13 (三)标准差 1.简单平均式。公式517 例5-14某工厂某车间两个班组的工人日产零件数见表5-15，求标准差。例5-14表5-15第一组（ =60）第二组（ =60） 日产数离差离差平方日

16、产数离差离差平方XX2025303550-40-35-30-25-10160012259006251005051525356-10-9-8-7-410081644916707585901201015253060100225625900360060627172730211121304121144169合计-9900合计-748例5-14表5-15第一组的标准差：第二组的标准差： 2.加权平均式。公式518 例5-15 以表5-14为例，列计算表如下例5-15 表5-16按日包装分组（箱）工人数（人）包装数（箱）离差 离差平方离差平方和乘人数XfXf789101110025030020015070

17、02000270020001650-2.05-1.05-0.050.951.954.20251.10250.00250.90253.8025420.250275.6250.750180.500570.375合计1000 9050-1447.50例5-15 例5-16以农民家庭收入情况资料，说明其计算方法（见表5-17）例5-16按人均纯收入分组农户数组中值（元）总收入额（元）离差 离差平方 离差平方乘次数XfXXf1000以下1000-20002000-30003000-40004000-50005000以上4479236260223158500150025003500450055002200

18、01185005900009100001003500869000-3013-2013-1013-139871987907816940521691026169169974169394816939943943632012135124217588443940217239687623810702合计1000-3513000-1802831000例5-16 3.是非标志的标准差。 公式519是非标志平均数和标准差的计算方法见表5-18表5-18是非标志值（变量值）总体单位数比重（成数）变量值乘总体单位数比重离差离差平方离差平方加权XfXf10PqP01-p0-p合计1P -是非标志的算术平均数为：是非标志的标准差为： 例5-17某机械厂铸造车间生产6000吨铸件，合格品5400吨，不合格品600吨，铸件合格率为90%，其是非指标的平均数和标准差计算见表5-19。例5-17 表5-19是非标志值（变量值）总体单位数（成数）变量值乘总体单位数（成数）离差离差平方离差平方加权XfXf100.90.10.900.1-0.90.010.810.