长春市四模理科数学试题

1、2018年长春市高中毕业生第四次调研测试数学(理科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，此中第卷22题24题为选考题，其他题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.注意事项：1答题前，考生一定将自己的姓名、准考据号码填写清楚，将条形码正确粘贴在条形码地域内.2选择题一定用2B铅笔填涂；非选择题一定使用0.5毫米黑色笔迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3请依据题号序次在各题目的答题地域内作答，超出答题地域书写的答案无效；在稿本纸、试题卷上答题无效.4保持卡面洁净，不要折叠、不要弄破、禁止使用涂改液、刮纸刀.第卷（选择题，共60分）一、选择题

2、（本大题包含12小题，每题5分，共60分，每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1.设会集2AxNxBxRxx,则AB为110,60A.x|3x2B.0,1,2,3C.1,2,3D.1,22.复数1(1i的共轭复数为2i)1B.i111C.11iA.i22222211D.i223.以下函数既是奇函数，又是增函数的是A.yxB.log2yxxC.33xyD.3yx4.等差数列a的公差为3，若na成等比数列，则2,a,aa成等比数列，则48a=4A.8B.10开始C.12k0D.16S05.某程序框图以以下图，该程序运转后输出的k的值是否S100A.4B.是

3、5SSk2k输出C.6D.结束kk176.二项式19()x的睁开式中x3x的系数为A.84B.84C.28D.287.函数()sin()(0,)fxAxxR的部分图像如图，则2A.()4sin()fxx84B.()4sin()fxx84C.()4sin()fxx84D.()4sin()fxx848.甲、乙、丙、丁四人排成一列，则甲不排在乙以后的概率为A.1B.1126C.14D.129.已知22xyF分别是双曲线11,F222ab(a0,b0)的左、右焦点，过点F垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点，若1ABF为锐角2三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是A.(1,)B.(1,3)C.(1

4、,2)D.(1,12)10.在ABC中，BAC120，AB2，AC1，点P满足2BPBC(01)，则BPAPBC的取值范围是A.1,34B.1,52C.2,154D.13,5411.某几何体的三视图以以下图，这个几何体的内切球的体积为A.43B.4(23)C.43D.278912.若函数22fxxaxa0没有零点，则a的取值范围为A.0,1B0,12,C0,12,D0,22,第卷（非选择题，共90分）本卷包含必考题和选考题两部分，第13题21题为必考题，每个试题考生都一定作答，第22题24题为选考题，考生依据要求作答.二、填空题(本大题包含4小题，每题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横

5、线上).13.若函数f(x)cosx(0 x)22(x2)2，则2f_.(x)dx014.为检查国家全民健身运动的落真相况，在某社区成年居民中随机抽取200名，统计其均匀每天参加体育活动时间(h)，画出右侧频率分布直方图，已知该社区共有成年居民1500人，依据上述信息预计均匀每天参加体育活动时间在0.5,1.5)内的人数约为_.15.如图，丈量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观察点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30米，并在C测得塔顶A的仰角为60，则塔的高度AB_米.16.圆2y82x内有一点P(1,2)，AB为过点P但不与x轴垂直的弦，O为坐标原点.则OAOB

6、的取值范围.三、解答题（本大题包含6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.（本小题满分12分）等差数列a的各项均为正数，其前n项和为nS，满足n2Sa(a1)，且222a.11求数列a的通项公式；n设bn2S13，求数列nnb的最小值项.n18.（本小题满分12分）某学校为了研究学情，从高三年级中抽取了20名学生三次测试的数学成绩和物理成绩，计算出了他们三次成绩的均匀名次以下表：学生序号12345678910数1.122536506749524034学3.3.7.7.3.7.0.0.0.3物2.9.3122405839606342理37.0.3.0.0.0.7.3.7

7、学生序号11121314151617181920数学78.350.065.766.368.095.090.787.7103.786.7物理49.746.783.359.750.0101.376.786.099.799.0学校规定均匀名次小于或等于40.0者为优秀，大于40.0者为不优秀.对名次优秀者赋分2，对名次不优秀者赋分1，从这20名学生中随机抽取2名，用表示这两名学生数学科得分的和，求的分布列和数学希望；依据此次抽查数据，能否在犯错误的概率不超出0.025的前提下以为物理成绩优秀与否和数学成绩优秀与否相关系？(下边的临界值表和公式可供参照：P(K2k)0.150.100.050.020.

8、010.005050.001k2.072.703.845.026.637.8710.822614598K22n(adbc)(ab)(cd)(ac)(bd)，此中nabcd)19.（本小题满分12分）如图，棱柱ABCD的全部棱长都等A1BCD111于2，ABCA1AC60，平面AA1CC平面1ABCD.证明：BDAA；1求二面角DAA1C的余弦值；在直线CC上能否存在点P,使BP平面1DA？若存在，求出1CDA？若存在，求出1点P的地址；若不存在，请说明原由.y20.（本小题满分12分）P如图，已知椭圆22xy221ab(ab0)的右MOF2x焦点为F，点(1,3)2(1,0)F，点(1,3)A

9、在椭圆上.2Q求椭圆方程；点Mxy在圆(,)00222xyb上，点M在第一象限，过点M作圆222xyb，的切线交椭圆于P、Q两点，问FPFQPQ能否为定值？假如是，求出该定值；假如不是，22说明原由.21.（本小题满分12分）已知函数()sin()xfxbxbR2cosx.能否存在实数b，使得f(x)在2(0,)3上为增函数，在2(,)3上为减函数？若存在，求出b的值；若不存在，请说明原由.假如当x0时，都有f(x)0恒建立，试求b的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）C选修4-1：几何证明选讲KM如图，在ABC中，

10、内角C为钝角，点ABEHEH分别是边AB上的点，点K,M分别是边AC,BC上的点，且,AHAC，EBBC，AEAK，BHBM.求证：E,H,M,K四点共圆；若KEEH，CE3，求线段KM的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲已知曲线C的极坐标方程为4cos，直线l的参数方程为2sinxt(t为参数，0cosy1tsin).化曲线C的极坐标方程为直角坐标方程；若直线l经过点(1,0)，求直线l被曲线C截得的线段AB的长.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)2xaa.若不等式f(x)6的解集为x|2x3，务实数a的值；在的条件下，若存在实数n使

11、f(n)mf(n)建立，务实数m的取值范围2018年长春市高中毕业生第四次调研测试数学(理科)参照答案及评分细则一、选择题(本大题包含12小题，每题5分，共60分)题123456789101112号答DBBCDAADDDCC案简答与提示：1.D*AxN|9x111,2,3,4,5,6,7,8,9,10，Bxx，AB1,2.应选D.|322.B1i1i(1i)ii1112(1i)2i2ii222i，其共轭复数为1122i.应选B.3.B四个函数中只有函数B.yxx既是奇函数又是增函数.应选34.C令首项为a，依据条件有(a9)(a3)(a21)a3，2a.433312应选C.5.D0123452

12、2222263100，202122232425266364127100.当kk151时，S63100；当kk161时，S.127100即该程序输出的k7.应选D.1r9rrrr92r6.A，令92r3r3，从而x3的系TCx()(1)Cxr199x33数为(1)C84.应选A.97.A经过观察图像可知函数图像过(2,0)和(2,4)两个固定点，由(2,0)可知：xx；由(2,4)可知：A4.从而84fxx.应选A.()4sin()848.Dp2AA44412.应选D.9.D因为ABF是以F2为极点的等腰三角形，所以ABF2为锐角三2角形的充要条件是RtAF1F2的锐角AF2F1452c2ba，

13、即2222acca,e2e10，解得12e12，而e1，所以1e12.应选D.10.D在ABC中，依据余弦定理得222cos2212221cos1207BCABACABACBAC.依据正弦定理得ACBC1735sinBcosB.sinBsinAsinBsin1202727从而有22BPAPBC(BC)(ABBC)BC251213727()77()2427.又01，所以2BPAPBC的取值范围是13,54.应选D.11.C此几何体是底面边长为2，高为3的正四棱锥，可算出其体积为433，表面积为12.令内切球的半径为r，则143312rr，从而内切球的体积为333V43433().3327应选C.

14、12.C函数f(x)的定义域为a,a，作出函数yax2(xa,a)和yx2(xa,a)的图像，前者是圆22xya的上半圆，后者是一条折线段，观察图像很简单发现：当0a1时，f(x)0在a,a上恒建立；当a2时，f(x)0在a,a上恒建立；当1a2时，f(x)0在a,a上总有实数根.应选C.二、填空题(本大题包含4小题，每题5分，共20分)13.514.96015.15616.8,2简答与提示:13.222f(x)dx2cosxdx2dxsinx|22x|sinsin02(2)0002222145.14.1500(0.820.46)0.5960(人).15.在BCD中，依据正弦定理得，CD30B

15、CsinCDBsin30152sinCBDsin(1801530).在RtABC中，ABBCtanACB152tan60156为所求.16.设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y2k(x1).设A(x,y)，11B(x,y)，则由22y2k(x1)22xy8可以得22k4k47k4k4x.x,yy12112221kk从而有22k4k47k4k4OAOBxxyy1212221k1k26k8k8k66221k1k.令4k3t，则OAOB632t2t6t25.当t0时，OAOB6；当t0时，OAOB32t3266225t6t25t6t.因为t25t(当t5时取等号)，所以8OAOB2但10OAO

16、B.6综合可知8OAOB2为所求.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)17.(本小题满分12分)【命题企图】本小题主要观察等差数列基本量的求取、等差数列乞降公式以及函数单调性等相关知识的应用.【试题分析】解：由22Saa，可得22222(aad)(ad)(ad).1111又a11，可得d1.数列a是首项为1，公差为1的等差数列，nan.n(4分)依据得n(n1)S，n22S13n(n1)1313nbnnnnn1.因为函数13f(x)x(x0)x在(0,13上单调递减，在13,)上单调递加，而3134，且132288f(3)3，3312132987f(4)4，4412所以当

17、n4时，bn获得最小值，且最小值为2933144.33即数列bn的最小值项是b4.4(12分)18.(本小题满分12分)【命题企图】本小题主要观察统计与概率的相关知识，详尽涉及到随机变量的分布列、数学希望的求法和统计事例中独立性检验等知识内容.【试题分析】解：依据条件的取值为2，3，4，并且在20人中，数学成绩优秀的6人，不优秀的14人，所以有p(2)2C142C2091190，p(3)11CC6142C2084190，p(4)2CC622015190.所以的分布列为234p911908419015190(6分)数学希望918415E.()2342.6190190190(8分)依据条件列出列联

18、表以下：物理优秀物理不优秀合计数学优秀426数学不优秀21214合计61420所以2220(41222)K.5.48755.024(42)(212)(42)(212)又2p(K5.024)0.025，所以依据此次抽查数据在犯错误的概率不超出0.025的前提下可以以为物理成绩优秀与否和数学成绩优秀与否相关系.(12分)19.(本小题满分12分)【命题企图】本小题主要观察立体几何的相关知识，详尽涉及到直线与直线垂直的判断、线面的平行关系的判断以及二面角的求法等相关知识.【试题分析】证明：由条件知四边形ABCD是菱形，所以BDAC，而平面AA1CC平面ABCD，平面1AACC平面11ABCDAC，所

19、以BD平面(3分)AACC，又11AA平面1AACC，所以11BD.AA1因为ABC60，ABCD是菱形，所以ACABAA，而1A1AC60，所以AAC是正三角形.令BDACO，连结1AO，1则BDACOA两两相互垂直.,1以以下图，分别以BDACOA所在的直线为x,y,z轴建立空间直,1角坐标系，则D(3,0,0)，A(0,1,0)，A1(0,0,3)，DA(3,1,0)，DA，平面1(3,0,3)n.(1,0,0)AACC的法向量为11设m(x,y,z)是平面DAA的法向量，则1mDA03xy0y3xmDA03x3z01xz0.令x1，则y3,z1.即m(1,3,1).设二面角DAA1C的

20、平面角为，则是锐角，并且mn15coscosm,n.11315mn1的余弦值为5所以二面角DAAC5.(8分)设这样的点P存在，且CPCC，而1C(0,1,0),C(0,2,3)，所以1P，又B(3,0,0)，所以BP(3,1,3)，(0,1,3)DC1(3,2,3)设k(x,y,z)是平面DAC的法向量，则11kDC03x2y3z0y01kDA03x3z01xz0.令z1，则x1，即k(1,0,1).要使BP平面DA当且仅当1CDA当且仅当1kBP，所以1.这说明题0(1)(3)0(1)130目要求的点P存在，实质上，延长获取所求的点P.CC到点P，使得CP1CC即1(12分)20.(本小题

21、满分12分)【命题企图】本小题主要观察直线与圆锥曲线的综合应用能力，详尽涉及到椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识与圆锥曲线的综合知识.【试题分析】解：由右焦点为F，可知c1.设左焦点为2(1,0)F，可知c1.设左焦点为F，1则F，又点1(1,0)F，又点3A在椭圆上，则(1,)2332(11)()(11)()4aAFAF，2222122222abac，即椭圆方程为2,322xy；143(4分)设Pxy，(,)11Qxy则(,)2222xy11143(x2)，12x1222212PFxyxx，(1)(1)3(1)(4)211114411PFxx.(4)221122连结OM，OP，由相切条

22、件知：2x122222212PMOPOMxyxx，明显33(1)31111441PMx.12x，10 xxPFPM.同理1122222xxQFQM.2222222FPFQPQ为定值.22224(12分)21.(本小题满分12分)【命题企图】本小题主要观察函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性等知识内容.【试题分析】解：存在b0，使得结论建立.sinx对函数(bx求导得，fx)2cosx2cosx1f(x)b2(2cosx).若bR，使f(x)在2(0,)3上递加，在2(,)3上递减，则2f，()03b0，这时12cosx2f，当x)时，f(x)0，f(x)(x)(0,2(

23、2cosx)3递加；2当x,)时f(x)0，f(x)递减.(3(5分)令2bcosx2(12b)cosx14bf(x)02(2cosx)，得bcos2x2(12b)cosx14b0.4(12b)2b(14b)4(13b).若1b，即0，则f(x)0对x0恒建立，这时f(x)在0,3上递减，f(x)f(0)0，符合题意.若b0，则当x0时，bx0,)，2sinx33，,cosx33fsinx(不行能恒小于等于0.x)bx2cosx若b0，则sinx33f，不合题意.(x),2cosx33若113b0b，则f0，f()b10，x(0,)，(0)033使f()0.x(0,)时，f(x)0，这时f(x)递加，f(x)f(0)0，xx00不合题意.综上可得实数b的取值范围是1,)3.(12分)22.(本小题满分10分)【命题企图】本小题主要观察平面几何的证明及其运算，详尽涉及到共圆图形的判断和圆的性质以及两个三角形全等的判断和应用等相关知识内容.【试题分析】解：连结CH，则因为ACAH，AKAE，所以四边形CHEK为等腰梯形，注意到等腰梯形的对角互补，故C，H，E，K四点共圆，同理C，E，H，M四点也共圆，从而四点E，H，M，K在由三点C，E，H所确立的圆上，所以这四点共圆；(5分)连结EM，则由得E，H，M，C