利用“圆”的性质巧解物理问题

1、高考将应用数学工具处理物理问题作为重点考察才能之一，要求考生可以根据题目列出物理量之间的数学模型，然后进展推导求解问题。常见的处理物理问题的方法主要有图像法、几何图形法、极值法、函数关系，以及空间的向量坐标运算方法等，在解题中，假设正确利用圆的性质，可将复杂的物理问题简单化，从而进步解题的效率。本文通过几个实例，简要说明如何利用圆的性质巧解物理问题。一、等时圆模型求解物体运动问题在竖直平面内质点从半径为R的圆上任一点位置从静止开始沿光滑轨道，运动到最低点的时间都相等，与轨道的倾斜程度和长度都无关，这样的圆称为等时圆。例1如图1所示，A，B，D，E位于同一竖直圆周上，其中AE是竖直圆的直径。AB

2、，A，AD都是光滑轨道。一小球从A点静止开始，分别沿AB，A，AD轨道向下滑动，到达B、D点的时间分别为t1，t2，t3，证明：t1=t2=t3。证明：设A与程度方向夹角为，圆的直径为AE=d。根据物体沿光滑弦做初速度为零的匀加速运动，加速度a=gsin，位移为s=dsin，所以运动时间t2=2sa=2dsingsin=2dg=2Rg，依此类推可知t1=t2=t3。由此可见，物体下滑时间与倾斜程度和长度无关，只与圆的半径和重力加速度有关。沿不同轨道运动的时间都相等，且等于小球沿半径自由落体的时间。将上述结论直接用于解题，往往能将题目简单化，下面利用等时圆结论求解难题。例2运用等效、类比自建等时

3、圆如图2所示，A、B两点在同一直线上，相距为h，B点间隔 地面高度为H，试在地面寻找一点P，使得物体沿着AP，BP两块光滑木板，从静止开始下滑到P点的时间相等，并求，P之间的间隔 P。解析：根据上述等时圆的性质可知，当A，B位于竖直同一圆周上，P点位于等时圆的最低点时，物体沿着AP，BP下滑到P点的时间相等。如图3所示，等时圆的半径为R=1P=H+12h，那么有P=R2-h22=H+h22-h22=HH+h。在求解此类问题的时候，还应该考虑在竖直圆上从最高点运动到最低点的时间都相等，那么在球体中的运动时间是否也会相等，虽然书本上没有，但通过题目推导出来的结论，同样也可以用来求解同类型的题目。例

4、3形似质异问题的区分如图4所示，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板分别为a，b，滑板一端固定于圆柱体底部圆心处，一端位于圆柱体侧壁。三块滑板与程度面夹角分别为30，45，60，假设物体分别从a，b，处开始下滑不计阻力，那么有。A.a处物体最先到达点B.b处物体最先到达点.处物体最先到达点D.a，b，处物体同时到达点解析：三个物体虽然从同一圆柱面滑下，但a，b，三点不在同一竖直圆内，因此，三者到达点时间不一定不相等。设圆柱体底面半径为R，那么有Rs=12gt2sin，t2=4Rgsin2，因此，当=45时，sin2最大，此时t最校当=30或=60时，sin2相等。二、利用圆的性质求解电磁场问题带

5、电粒子在匀强磁场中做圆周运动是高中物理的又一大难点，也是高考的热点。带电粒子在匀强磁场中的运动问题，综合性比较强，求解此类问题离不开洛伦磁力，同样离不开圆的性质：圆的方程为x2+y2=R2，圆周上所有点到圆心的间隔 都相等为R，圆的两条切线夹角平分线必过圆心，圆心角大小是弦切角的2倍等。同时还要用到数学中的平面几何和解析几何知识。例4如图5所示，一束粒子电荷量为e以速度v垂直摄入磁感应强度为B，宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与射入方向的夹角为30，求电子质量和穿透匀强磁场的时间。解析：由于洛伦磁力总是垂直于速度方向，题目中带电粒子的两个速度方向，就可以做出两速度的垂线，找出垂线的交点

6、即为带电粒子做匀速圆周运动的圆心。电子在磁场中只受洛伦磁力作用，其运动轨迹是圆弧的一部分，又因为洛伦磁力垂直于速度，即Fv，故圆心为电子穿入和穿出磁场时受到洛伦磁力的交点，即点。根据圆的相关性质可知，D=30，D为半径，那么有r=dsin30=2d，又因为r=vBe，可得到=2dBev，穿越时间t=T12，故t=1122eB=d3v。由此可见，带电粒子在匀强磁场的匀速圆周运动与粒子的速率和半径无关，只与粒子本身的质量、电荷量及磁场的磁感应强度有关。求解此类问题的關键是通过入、出磁场两点的速度方向画出匀速圆周运动的轨迹，利用几何知识确定圆的圆心及半径，从而找到圆弧所对应的圆心角。再根据圆心角与圆

7、周角的关系确定带电粒子在匀强磁场中的运动时间。三、利用圆的性质求解力的合成问题利用圆的半径相等的性质，可以保证在矢量方向改变时大小不变。利用同一段圆弧所对的圆周角相等的性质，可以保证矢量的大小无论如何改变其夹角不变。这些性质主要用于力的合成与分解等难题中。例5如图6所示，位于平面直角内的N可绕点旋转，用两根细线拉住一个小球，开始时绳A与平行，然后将直角支架顺时针旋转90，假设绳A的拉力为F1，绳B的拉力为F2，那么。A.F1一直增大B.F1先增大后减小.F2一直减小D.F2先减小后增大解析：F1和F2在旋转过程中方向和大小不断变换，但由于小球所受合力为0。画出小球所受各力的合成矢量图，如图7所示，F1和F2的合力不变，等于小球重力，方