数列最值题库

1、数列的最值题库【基本不等式求最值】1若函数yx212,x2，则函数的最小值_x2解：yx212x2416x1644x2x222x2若数列an中，ann212,nN，则数列an中的项的最小值为_变式14；n23已知an(nN*)，则在a最大项为.变式1nn156n2225解：ann2n1，n1562156，当且仅当n156时取等号，则12n13，将它156n156nn156们代入得n121325。n4已知数列an中，ann，an的值最大值是变式31；n234n5064解：an11，且当且仅当n64，即n=8时，an的值最大值是1。n643450n50n5公差为d，各项均为正整数的等差数列an中，

2、若a11,an73，则nd的最小值等于【分析】Qa11,an73，d72，dn72n72(n1)1，n9时，nd取n1n1n1得最小值18.6.已知正项等比数列an满足：a7a62a5，若存在两项am,an使得aman4a114，则m的最小n值为A解：由于a7=a62a5，所以a5q2=a5q2a5，即q2q20，解得q2若存在两项an,am，有aman4a1，即aman16a12，a12qmn216a12，即2mn216，所以mn24，即mn6，即mn1所以14(14)(mn)1(54mn)1(5+24mn)=3，当且仅当6mnmn66nm6nm24m=n即n24m2,n2m取等号，此时mn

3、63m，所以m2,n4时取最小值，所以最小值m为3，选A.27已知实数x，a1，a2，y成等差数列，实数x，b1，b2，y成等比数列，则(a1a2)2的取值范围b1b2是.(a1a2)2(xy)2x2y22xyxy,0U4,)【分析】xyxyy2,b1b2x当x,y同号时，xy24，当x,y异号时，xy2220，故所求的取值范围是(,0U4,)yxyx【函数图像】1.已知an311nN*，求数列an能否有最小项或最大项。2n33【分析】设函数f(x)2，它的图像是反比率型的函数图像如图，2x11x112能够看出a5a6的值分别是最小值和最大值，a533,a63最小13，数列an1项a53，最大

4、项a63。2已知数列an是公差为d的等差数列,它的前n项和为Sn,S42S24,bn1an.若a15,则数列an2bn中的最大项和最小项分别为_。3，-1；解：S42S24,4a16d2(2a12d)4，解得，d1；若a15,则7521n57,bn1ann1an(n1)n22=1an722n77n2n22当n4时,bn取最大值3,当3时,bn取最大值-1.3数列bn满足:an11（nN*）则数列an中的最大项与最小项分别为_3，-1；bn解：（1）bnbn1an1115an11an111bn是首项为b11，公差为1等差数a12列bn5n3.5，an11函数y1，在（3.5，(n1)1x3.5）

5、上为减函数在2n3.5，3.5）上也为减函数故当n4时，an11（n取最大值3，n3时，取最小值-13.54数列通项ann97,前30项中最大项和最小项分别是第几项？变式9a10,a9；n985数列an的通项公式为an5(2)2n24(2)n1，数列an的最大项为第x项，最小项为第y项，55则xy=12；解：设t(2)n1，则0t1，an5t24t5(t2)24，所以当t1时an有最大值，所以当t25555时an有最小值，此时x1,y2，所以xy3【函数单一性】1.已知数列an满足ann1n，数列an的最大项为_a121；解1：ann1，an1n1nnN,1nann2n1n1nn2n1an11

6、，an0anan1an,nN即a1a2a3Lanan1L数列an有最大项，最大项为第一项a121。解2：由ann1n知数列an各项满足函数f(x)x1xf(x)21121当x0时，2111xxx2x当x0时f(x)0，即函数f(x)x1x在(0,)上为减函数即有a1a2a3Lanan1L数列an有最大项，最大项为第一项a121。2.在等差数列a中，a25，a621，记数列1的前n项和为S，若S2n1Snm对nN恒nann15建立，则正整数m的最小值为【分析】由题设得an43，S2n1Snm可化为11L1mn154n14n58n1，15令Tn11L1，则Tn11L11114n58n14n54n8

7、n18n58n，4n199Tn1Tn1111110，8n58n94n18n28n24n1当n1114m14解得m14m的最小值为51时，Tn获得最大值945，由453，正整数5153.已知数列an的通项公式为an56n，则数列an中的最小项是_.n5656【分析】由ann，结构函数f(x)x可知，在1,2,3,L,7上递减，在8,9,10,L上递加，nx故最小值可能在x7或x8时，而f(7)f(8)15，故最小项是15。4.已知数列an满足a133,an1an2n,则an的最小值为_.21n2an33【分析】a=(a-a-1)+(a-1-a-2)+(a2-a1)+a1=21+2+(n-1)+3

8、3=33+21n-n，所以nnnnnnnn设f(n)33n1，则f(n)在(33,)上是单一递加，在(0,33)上是递减的，所以，an的最小值a6nn21为。625.数列nn,n1,2,L，则数列中最大项的值为_。111lnxx33【分析】f(x)xxexf/(x)x2(1lnx)xe为极大值点，所以数列最大项为第三x项，其值为33。3.设1a1a2La2013，此中a1,a3,a5,L,a2013成公比为q的等比数列，a2,a4,a6,L,a2012成公差为1的等差数列，则q的最小值为_qmin33【分析1】由题意1a1a2a1qa21a1q2a22a1q3得1a2qa21q2a22q3,在

9、直角坐标系中,若以(a2,q)为点,作出其可行地区,其目标函数就是求q的最小值,因直线a21与曲线a2q,a21q,a21q2,a22q2,a22q3的交点分别为(1,1),(1,2),(1,2),(1,3),(1,33),从而满足上述不等关系的qmin33.【分析2】欲使q值最小，第一取a21，从而得qmax1,2,33，qmin2,3，因2333，故公比q的的最小值是33.【分析3】由题意：1a1a2a1qa21a1q2a22a1q3，a2qa21,a21q2a22q3a223，而Qa21,a11,a2,a21,a22的最小值分别为1，2，3；qmin33.4.设正数数列a1,a2,a3,

10、a4,a5是递加等比数列，此中公比q不是整数，a5可能取到的最小值是81【分析】公比q不是整数，则必是有理数，故设m(,mq由于递加等比数列，q1，nmn互为质数),n则有mn2，a54m444444a1qn4,令a5km,a1kn，kN，a5kmm3=815.设1a1a2a7，此中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列，a2,a4,a6成公差为1的等差数列，则q的最小值为_33；a1q22a1q3解1：由题意1a1a2a1qa21a2得1a2qa21q2a22q3,在直角坐标系中,若以(a2,q)为点,作出其可行地区,其目标函数就是求q的最小值,因直线a21与曲线a2q,a21q,a21

11、q2,a22q2,a22q3的交点分别为(1,1),(1,2),(1,2),(1,3),(1,33),从而满足上述不等关系的qmin33.解2：欲使q值最小，第一取a21，从而得qmax1,2,33，qmin2,3，因2333，故公比q的的最小值是33.【2推理分析法在求数列最值中的应用【变式2】各项均为正偶数的数列挨次成公比为q的等比数列.若a4】a1，a2，a3，a4中，前三项挨次成公差为d（d0）的等差数列，后三项a188，则q的全部可能的值构成的会合为.5，8【分析】设37a1，a1d，a12d，a188，此中a1，d均为正偶数，则(a12d)2(a1d)(a188)，整理得a14d(

12、22d)0，所以(d22)(3d88)0，即22d88，所以d的全部可能值为24，26，3d88328，当d24时，a112，q5；当d26时，a1208（舍去）；当d28时，a1168，q8，所357以q的全部可能值构成的会合为5，8.37【变式3】若等差数列an与等比数列bn的首项均为1，且公差d0，公比q1，则会合n|anbn(nN)的元素的个数最多有个2【分析】由于anbn，所以1dnqn1，由函数y1dx(d0)与yqx1(q1)的图像至多有两个交点得方程1dnqn1的解至多有两个【变式4】设|an|（nN*）是递加的等比数列，对于给定的k（kN*），若a12a22Lak21(4k1

13、)，则数列an(n1，2，3，L，k)的个数为个2k32k中方法【分析】a1有两种取法，a2有两种取法，ak有两种取法搭配起来共有【变式5】已知数集序列1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,此中第n个会合有n个元素，每一个会合都由连续正奇数构成，而且每一个会合中的最大数与后一个会合中的最小数是连续奇数数集序列第n个会合中最大数an的表达式an=n2n1【分析】第n个会合有n个奇数，在前n个会合中共有奇数的个数为123L(n1)n1n(n1)则第n个会合中最大的奇数an=n2n124等差数列中的前n项和的最值问题【例4】（2011北约13校自主选拔）在等差数列an中，a313,a73

14、，数列an的前n项和为Sn，则数列Sn的最小项。【分析】由于a313,a73,所以d4，所以an4n25，an4n25016法一：由得21n25，又nN，所以n6，所以SnS66aa66.an1min24n125044na1an232529，所以当n6法二：由Sn2n223n2n，SnminS666。248【变式1】已知数列an是一个等差数列，且a21，a55，an前n项和Sn的最大值。4【分析】设a的公差为d，由已知条件解出a13，d2所以nan2n5Snn24n4(n2)2所以n2时，Sn取到最大值4【变式2】已知a为等差数列，a1+a3+a5=105，a2a4a6=99，以Sn表示a的前

15、n项和，则使得nnSn达到最大值的n是（）（A）21（B）20（C）19（D）18B【分析】依题意得a335，a433，d2，an412n，由an0，选B；an1得n200【变式3】已知等差数列an(nN*)的首项a10，设Sn为an的前n项和，且S6S11，则当Sn取得最大值时，n_.n8或n9S6S11即点(6,S6)与(11,S11)对于n17【分析】借助二次函数图象，对称。2【变式4】等差数列an前n项和为Sn，已知a113,S3S11,n为_时，Sn最大.7【分析】由S3S11，则a7a80，由a13,SS,a是一递减数列，即71311nS最大。【变式5】若an是等差数列，首项a10

16、,a4a50,a4a50，则使前n项和Sn0建立最大正整数n是8【分析】Qa0,a4a0,a4a50,aa0,Sn(a1a8)0151882【变式6】若数列an是等差数列，首项a10,a4a50,a4a50，则使得前n项和Sn获得最大值的最大的正整数n是4【分析】Qa10,a4a50,a4a50,a40,a50,S4获得最大值。故n=4。【变式7】等差数列an中，a110,d2，求数列的前n项和Sn的最大值.30【分析】Snn211n(n11)2121。所以数列的前5或6项和Sn最大，最大值为30。5线性规划法求最值24【例5】等差数列的前n项和为S，S10，S15，则a的最大值是n4542a

17、13d52a13d5(1)得，a13d4，【分析】解法一：2d，即a12d3，(1)+3?(2)a13(2)a4a13d最大值为4；解法二：2a13d52x3y5，转变成线性规划问题，求得a4x3y最大值为4；a12d，即x2y33【变式1】设等差数列an的前n项和为Sn,若1a54，2a63，则S6的取值范围是；12,42【分析】由题知1a14d4,2a15d3，则S66a115d15a14d9a15d由不等式性质知S612,42或线性规划知识可得1a14d4S66a115d相同得S612,42.2a1，令z5d3【变式2】等差数列的前n项和为Sn，S410，S515，则a5的最大值是5【分

18、析】依题意有4a16d10,5a110d1515a110a55。【变式3】设等差数列an的首项及公差分别为a1,d,前n项和为Sn，且a11,a46,S312.则a2011的最大值是.6031【分析】依题意有a11,a13d6,3a13d12,a2011a12010d1201036031。【变式4】等差数列an中，已知a27，a69，则a10的取值范围是11,【分析】用线性规划方法来求，a1d7,a15d9,绘图即可。【变式5等比数列an中，已知1a33，1a55，则a9的取值范围是1,【分析】1a33，1a55，则a96a3(a5)3a53则a9的取值范围是1,25125a3qa3a3225

19、125数列最值中的均值定理求最值【例6】已知各项为正的等比数列an中，a4与a14的等比数列中项为22，则2a7a11的最小值为（）A.16B.8C.22D.4【分析】由题意知a4a14(22)2a92，即a922。所以设公比为q(q0)，所以2a7a114222q28，当且仅当q42时取等号，所以最小值为q28，选B.【变式1】已知错误!未找到引用源。为等差数列，错误!未找到引用源。为等比数列，其公比q1且，错误!未找到引用源。,若错误!未找到引用源。，则A.错误!未找到引用源。B.错误!未找到引用源。C.错误!未找到引用源。D.错误!未找到引用源。A【分析】数列an是等差数列，数列bn是等

20、比数列，a1b1，a11b11，a1a11b1b11，2a6b1b112bb1112b6，又q1，b1b11，a6b6。【变式2】在等比数列an中,an0，且a1a2a7a816,则a4a5的最小值为_.22【分析】在等比数列中由a1a2a7a816得(a4a5)416，所以a4a52，所以a4a52a4a522，当且仅当a4a5时，取等号，所以a4a5的最小值为22。【变式3】已知正项等比数列an满足：a7a62a5，若存在两项am,an使得aman4a114，则nm的最小值为3B.525D.不存在A.C.236A【分析】由于a5q2=a5q2a5，即q2q20，解得q2。若存在两项an,a

21、m，有aman4a1，即aman16a12，即2mn216，所以mn24,mn6，即mn1。6所以14(14)(mn)1(54mn)1(5+24mn)=3，mnmn66nm6nm2当且仅当4m=n取等号，此时mn63m，所以m2,n4时取最小值，所以最小值为3，选A.nm2【前n项的和Sn的最值】3a=7a，且a0，S是数列a前n项的和，若S获得最大值，则n=_.1.在等差数列a中，满足n471nnn解1：设公差为d，由题设有3（a1+3d）=7（a1+6d），解得d=4a10，即a1+（n1）334（137，则n9.当n9时，annn获得最大值.33a）0得n0，同理可得n10时a0.所以n

22、=9时，S解2：d=41，n1n(n1)dna1n(n1)(4a1)2a123533aS=na+223333(n2n)=2a1(n35)2(35)22a135）2最小时，Sn最大又nN，n=9.3344330，（n42等差数列an中，a125，S17S9，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。解：利用等差数列的乞降公式办理，由17a11716d9a98d及a25得d2，2121Sn25nn(n1)(2)(n13)2169，代数式(n13)2169当n13时，Sn取最大值，且最大值是169。23等差数列an中，a10,S4S9，则n的取值为多少时，Sn最大？解：由条件a10,S4S9可知，d0）

23、的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列.若a4a188，则q的全部可能的值构成的会合为.变式35，8解：设a1，a1d，a12d，a188，此中a1，d均为正偶数，则(a12d)2(a1d)(a188)，374d(22d)0，所以(d22)(3d88)0，即22d88d整理得a13d883，所以的全部可能值为24，26，28，当d24时，a112，q5；当d26时，a1208（舍去）；当d28时，a1168，q8，所357以q的全部可能值构成的会合为5，8.376若数列an是等差数列，首项a10,a4a50,a4a50，则前n项和Sn建立的最大的正整数n是变式54；变式6.等差数列an中，

24、a110,d2，求数列的前n项和Sn的最大值。变式630；解：Snn211n，这是个二次函数。配方，得Sn(n11)2121。对于二次函数，当n1111242时Sn最大。n只好取整数，而n5或6项和Sn最大，最大值为5或6到n的距离相等。所以数列的前30。2变式7.已知数列an是一个等差数列，且a21，a55，an前n项和Sn的最大值。变式74解：设an的公差为d，由已知条件，a1d1，解出a13，d2所以a14d5ana1(n1)d2n5Snna1n(n1)dn24n4(n2)2所以n2时，Sn取到最42大值变式8.等差数列a前n项和为Sn，已知a113,S3S11,n为_时，Sn最大.n变

25、式87；解：由S3S11，则a7a80，由a113,S3S11,an是一递减数列，即S7最大。变式915（2009安徽卷理）已知a为等差数列，a1+a3+a5=105，a2a4a6=99，以Sn表示a的前n项nn和，则使得Sn达到最大值的n是（）（A）21（B）20（C）19（D）1815B;解：由a1+a3+a5=105得3a3105,即a335，由a2a4a6=99得3a499即a433，d2，ana4(n4)(2)an0得n20，选B；412n，由0an1变式1已知等差数列an(nN*)的首项a10，设Sn为an的前n项和，且S6S11，则当Sn获得最大值时，n_.变式1n8或n9变式2

26、（海南宁夏卷理17）已知数列an是一个等差数列，且a21，a55。则an前n项和Sn的最大值为_.变式24；解：易求ana1(n1)d2n5Snna1n(n1)dn24n4(n2)2所以n2时，Sn取到最大值422n,则an的最小值为_.变式3（2010辽宁理数）（16）已知数列an满足a133,an1an21；解：annan33变式3nn-1n-1n-22112n12=(a-a)+(a-a)+(a-a)+a=21+2+(n-1)+33=33+n-n，所以nn设f(n)33n1，令f(n)3310，则f(n)在(33,)上是单一递加，在(0,33)上是递减nn2a553a66321an的，由于

27、nN+,所以当n=5或6时f(n)有最小值；又由于，的最小55662，所以，n值为a62162，an的变式4已知数列an满足a122，an1an2n，则数列an的通项公式为n最小值为变式4ann2n22；42；5变式5若等差数列an与等比数列bn的首项均为1，且公差d0，公比q1，则会合n|anbn(nN)的元素的个数最多有个变式52解：由于anbn，所以1dnqn1，由函数y1dx(d0)与yqx1(q1)的图像至多有两个交点得方程1dnqn1的解至多有两个变式6设|an|（nN*kkN*2221k）是递加的等比数列，对于给定的），若a1a2Lak(41)，（3则数列an(n1，2，3，L，

28、k)的个数为个变式62k；解：a1有两种取法，a2有两种取法，ak有两种取法搭配起来共有2k中方法（2002上海春16）设an（nN*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6，S6S7S8，则以下结论错误的选项是（）B.a0C.SSD.S与S均为S的最大值A.d015C79567n解：由SS得a+a+a+a0又S=S，a+a+a=a+a+a+a，56123512566671261267a7=0.由SS，得aS，即a+a+a+a02（a+a）0.由题设a=0，a0，Sn是数列an前n项的和，若Sn获得最大值，则n=_.变式19解1：设公差为d，由题设有3（a1141n+3d）=7（a+6d）

29、，解得d=a0，即33a1+（n1）（4a1）0得n0，同理可得n10时an0.所以n=9时，Sn334获得最大值.解2：d=41，n1n(n1)n(n1)42a1(n23533aS=na+2dna12(33a1)332n)=2a1(n35)2(35)22a10，（n35）2最小时，Sn最大又nN，n=9.3344334变式2等差数列an中，a125，S17S9，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。变式213，169；解：利用等差数列的乞降公式办理，由1716d9a19817a122d及a125得d2，Sn25nn(n1)(2)(n13)2169，代数式(n13)2169当n13时，Sn取最1692大值，且最大值是。变式3等差数列an中，a10,S4S9，则n的取值为多少时，Sn最大？变式3n6或n7；解：由条件a10,S4S9可知，d0i1,2,n,若nia1b1,a11b11，则A.ab6B.a6b6C.ab6D.ab66666变式1A；解：数列an是等差数列，数列bn是等比数列，a1b1，a11b11，a1a11b1b11，2a6b1b11