双曲线与抛物线的基本量问题典型考法

1、 第9讲尖子-目标教师版第9讲尖子-目标教师版 双曲线、抛物线基本量问题的典型考法满分晋级解析几何11级双曲线、抛物线基本量问题的典型考法解析几何12级直线与双曲线、抛物线的位置关系解析几何10级直线与椭圆的位置关系新课标剖析当前形势双曲线与抛物线在近五年北京卷（文）考查514分高考要求内容双曲线的定义及标准方程抛物线的定义及标准方程双曲线的简单几何性质抛物线的简单几何性质要求层次ABC具体要求由定义和性质求双曲线的方程；由双曲线的标准方程探求几何性质由定义和性质求抛物线的方程；由抛物线的标准方程探求几何性质由双曲线的几何性质解决问题由抛物线的几何性质解决问题北京高考解读2009年第19题14

2、分2010年（新课标）2011年（新课标）第13题5分第10题5分2013年（新课标）第7题5分第9题5分9.1双曲线考点1：双曲线及其标准方程暑假知识回顾TOC o 1-5 h z.双曲线的定义：平面内与两个定点厂，尸的距离的差的绝对值等于常数(小于尸尸且不等于零)1212的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点.两焦点的距离叫做双曲线的焦距.双曲线的标准方程：=1(0,0)，焦点坐标为F(-c,0),F(c,0),c2=a2+b2；a2b212y=1(a0,b0),焦点坐标为F(0，一c),F(0,c),c2=a2+b2；a2b212.双曲线的几何性质(用标准方程上-y2=1(a0

3、,b0)来研究)：a2b2范围：三a或W-a；如图.对称性：以轴、y轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，这个对称中心又叫做双曲线的中心.顶点：双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点.实轴与虚轴：两个顶点间的线段叫做双曲线的实轴.如图中，A,A为顶点，线段AA为双曲1212线的实轴.在y轴上作点B(0，-b),B(0,)，线段BB叫做双曲线的虚轴.1212渐近线：直线y=bx；a离心率：e=c叫做双曲线的离心率，e1.双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔.等轴双曲线与共轭双曲线：等轴双曲线：实轴长、虚轴长相等的双曲线.焦点在x轴上，标准方程为x2-y2=a2(a丰0)；焦点在y轴上，标准方程

4、为y2-x2=a2(aw0).渐近线方程为y=x，离心率e=22.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，共轭是相互的.互为共轭双曲线x2-y2=1和y2-x2=1(a0,b0)有相同的渐近线，他们的四个焦点共圆，a2b2b2a2且它们的离心率e、e满足人12620212练习i|：设。是双曲线上-=i上一点,Q29是双曲线的左、右焦点，若IPF1=31双曲线的一条渐近线方程为3%-2y=0,F,厂分别121或567则IPF1=(2)9(2012湖南理5)已知双曲线U三-三=1的焦距为10，点P(21)在C的渐近线上，则C的方程为(a%2y2A.-=12

5、05【解析】CD-荒-80=1双曲线三-22=1中，渐近线方程为3%-2k0,A3a29a双曲线方程为-卷二1.根据双曲线定义，|PF|-1PF|=2a=4,IPF1=3,AIPF1=7.A%2-22=1的焦距为10,Ac=5=4a2+b2，又双曲线渐近线方程为y=-x，且a2b2aP(2,1)在渐近线上，A2b=1,即a=2b，由解得a=2行,b=氐a经典精讲教师备案暑假时我们预习过双曲线的方程的求法，这里借助例1进行总结.【例1】1与双曲线%2-22=1有相同的渐近线且过点AQ/3,-3%勺双曲线方程是.169与双曲线%2-22=1有相同焦点，且经过点(-5,2)的双曲线的标准方程是162

6、0与椭圆竟+令=1有公共焦点，且经过点(372,2)的双曲线的标准方程是【解析】422-%2=194利用有相同渐近线的双曲线系去做.与双曲线%2-22=1有相同的渐近线的双曲线方程为%216916将点A(23,-3)代入，得：入=(2x3)16-22=入9，(-3)2_1=94a所求双曲线的方程为n-2=-4，即当寸=1.设所求双曲线方程为/2T-22r=1(-20 x16)16-入20+入双曲线过点(-5,2),二5T-4-=1，解得入=-4或入=-29(舍去)16-入20+入所求双曲线方程为上-上=1.2016(3)设所求双曲线方程为广彳+产=1(36(入49)49-X36-X.二双曲线过

7、点(3V2，2)，二-8-+=1,.=40或九=23(舍去).49入36九所求双曲线方程为上-=1.94【点评】几种特殊情况的标准方程的设法：与双曲线上=1(a0,b0)有相同渐近线的双a2b2曲线方程为三八(人主0)渐近线为y=nx的双曲线方程为三-=入(人本0)a2b2mm2n2与双曲线x2-y2=1(a0,b0)有共同焦点的双曲线方程为-x2-=1a2b2a2一九b2十九(-b2Xb0)有共同焦点的双曲线方程为a2b2x2y21(7-+-=1(b2Xa2).a2-Xb2-X双曲线方程还有一个常见的设法，是已知双曲线上两个点，但没有其它信息时，可以统一设双曲线的方程为mx2+ny2=1(m

8、n0)，如已知双曲线上有两点P(6,4。3),Q(22,v6)，求双曲线方程.就可以不讨论焦点位置，直接设为mx2+ny2=1(mn0,b0),则下列不等式中恒成立的是()a2b2Abbb2blA.y|xC.y|xD.y0,b0)渐近线上的一点，a2b2E,F是左、右两个焦点，若EP.FP=0，则双曲线方程为()A.x2-y2=1B.x2-y2=1C.上-=1D.x2-y2解析】D因为x均可取负值，排除A；由(-a,0)在双曲线上排除C；而双曲线的焦点在x轴上，且渐近线为y=bx知y0,b0）的左、右焦点，若在双曲线12a2b2右支上存在点P，满足PF=FF，且F到直

9、线PF的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲21221线的渐近线方程为（）A.3%4y=0B.3%5y=0C.4%3y=0D.5%4y=0【解析】C据题意得|PF=2j（2c）2（2a）2=4b，又点P在双曲线的右支上，据双曲线的定义可得IPFPF=4b-2c=2a，整理得a+c=2b,又c2=a2+b2,古婿a2+b2=（2b-a）2，整理12得3b=4a，即b=4，故双曲线的渐近线方程为y=4%，即4%3y=0.a33考点2：双曲线的离心率求法教师备案双曲线的离心率决定双曲线的开口的开阔程度，如果一个双曲线方程是确定的，可以直接求离心率，但大多数时候，双曲线的方程都是不确定的，只能通过所给的几

10、何条件得到a与c的比值关系，进行得到离心率满足的方程，求得离心率.经典精讲【铺垫】双曲线虚轴的一个端点为M两个焦点为F、F_126屈C.3/FMF=120。，则双曲线的离心率为（）D.【解析】B设双曲线方程为上-22=1,a2b2.tan30。=-=亘，即b=1c3c23MFF为等腰三角形，/FMF=120。，,/MFF=30。，1._而e=2【例2】:如图，已知ABCDEF为正六边形，若以CF为焦点的双曲线恰好经过A,B,D,E四点，则该双曲线的离心率为（2010辽宁理9）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率为（D.（2012

11、湖北14）如图，双曲线上-a2b2=1（a,b0）的两顶点为A,A，虚轴两端点为B,B,两焦点为F,F.若以AA为直径的圆内切于菱形FBFB,切点分别为A。.则双曲线的离心率e=1122第题第题【解析】Q+1设正六边形边长为1,则以FC为轴，中垂线为j轴建立直角坐标系，则F（-10）,C(10),故c=1,因为FC=2,BC=1,所以BF=3，即BFBC|=1,则双曲线三a2(a+1)2=1的离心率e的取值范围是已知双曲线x2-=1（a0,b0）的左，右焦点分别为F,F，点P在双曲线的右支上，a2b212且1PF1=41PFI,则此双曲线的离心率e的最大值为【解析】已知双曲线x2-=1（a0,

12、a2b2sin/PFF双曲线上存在一点P使J，b0）的左、右焦点分别为F（-c0）,F（c0）,若(：2,5)sinZPFF21a，则该双曲线的离心率的取值范围是cTOC o 1-5 h z8-tr-iiA-njf.l.82由定义知|PF|-1PF|=2a，又已知IPF1=41PFI，解得PF=8a,pPF=-a,1212132325PF=c-a，从而只要a三c-a，就能得到P点存在，解得eW-,2min33等号可以取到，即e的最大值为5PFIsin/PFF21因为在PFiF2中,由正弦定理得sin生12则由已知得4=J，即pfIpf2IPF11则c|PF-PFI=2a，即PF=a222=cP

13、F，由双曲线的定义知|a2PF1-PF2b2a，2a2，c-a由双曲线的几何性质知|PFc-a，贝U也c-a，即c2-2ac-a2V0，2c-a所以e2-2e-10，解得一Y2+1e0,b0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60。的直线与双曲线a2b2的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是()A.(1,21B.(1,2)C.L,+8)D.(2,+8)【解析】C如图，i与i分别为与双曲线二-=1的渐近线平行的两条直线，12a2b2直线l为过F且倾斜角为60。的直线，要使l与双曲线的右支有且只有一个交点，则应使ban60=/，,eJ+fbf三2.a，Ia)尖子班学案2【拓2】双曲线上

14、-y2=1(a1,b0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0,b)，且点(1,0)到直线la2b2的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s三4c.求双曲线的离心率e的取值范围.【解析】直线l的方程为+y=1，即bx+ay-ab=0.ab由点到直线的距离公式，且a1，得到点(1,0)到直线l的距离d=b(a-1)，aa2+b2同理得到点(-1,0)到直线l的距离d=b(a+1)，s=d+d=2a=2ab.aa2+b212aa2+b2c由s三c，得a三3c，即5acc2-a2三2c2.5c5于是得5、e2-1三2e2，即4e4-25e2+25W0.解不等式得卜段5,由于1。，所以e的取值范围

15、是君.目标班学案2拓3若椭圆或双曲线上存在一点月到两个焦点的距离之比为2:1,则称此椭圆或双曲线上存在r点，下列曲线中存在点的是（）A.上+=1B,三+竺=1C.%2-竺=1D,x2-尸1TOC o 1-5 h z1615252415【解析】D；在椭圆中，=21,PF+PF=2a,PF=2PF，即|PF=2a，又PF三a-c,PF12121232（椭圆上的点到焦点距离的最值为a+c,a-c，分别对应椭圆的端点，推导类型双曲线）在双曲线中=21，PF2I又e1，所以1eW3.故三a-cnc三ane三，又0e1，故WeF、F为双曲线上-丝=1的两个焦点，P在双曲线上，且ZFPF=0,FPF的面积1

16、2a2b21212一10S=PF-PFsin0=c-y=b2-cot.21121p2证明：ZFPF=012八IPF|2+1PF|2-1FF|2|PF|2+1PF|2-4c2cos0=12=122|PF|PF|2|PF|PF|1212|PF|-1PF|=2a,12将平方代入式，得cos0=4a2+2|PF1、PF2|-4c2，解之得|PF|PF|=2|PF|PF|121-cos012；.FPF的面积为口PF|PFsin0=%.sin0=b2-cot12211221-cos0,02tan2例4的三个小题都可以直接用推导后的公式做，如果不直接用公式，就需要用双曲线的定义+余弦定理进行推导计算，相当于

17、又推导了一遍面积公式.TOC o 1-5 h z【例4】岛设尸、尸为双曲线上-=1的两个焦点，点尸在双曲线上且满足/尸尸尸=90。，则12412AFPF的面积是（）12_A.1B.C.2D.yf52（2）尸和尸为双曲线一-k=1的两个焦点，点夕在双曲线上且满足ZFPF=60,则1241-AFPF的面积是.12设尸，尸是双曲线3x25产=15的两个焦点，点A在双曲线上，且尸A尸的面积等于12122拒，则/尸A方的正切值为.12【解析】（DA解法一tani-2tan45解法二：设p（%,丁），由面积公式S=-FFl.lyI知：要先求得月点纵坐标.TOC o 1-5 h z*2120利用点P在双曲线

18、上和PFPF列出方程组,可以获解.12设P(x,y),点P在双曲线上-尸=1上，4-尸=1oo440又尸(，0),FC75,0),由尸尸上?方知I一八,=T1212x+V5x-V500角隼得y=.二/尸方的面积5=工1尸/IJyI=-x2V5x=1.o512212o25解法三：由三角形面积公式S=-PFPFIsinZFPF，需要先求得IIIP/I的值.产2121212由勾股定理有IPb|2+1PF|2=IFF|2,再由双曲线的定义有IIP/-PF11=4-1212对两边平方IPb|22I尸尸II尸尸I+1尸尸|2=16,IPF-PF=-(PFI2+PF12)-8.12212由双曲线方程得|尸方

19、|=2君.在Rt厂Pb中，IPb|2+|月尸|2=|FF12=20,12121212IPFI-IPF1=2,AFPF的面积S=4l依l-IPF1=1.1212212拒；由已知：a2,b1,c=4.在尸P尸中，由余弦定理得12IFF|2=lPF2+PF2-2PF-PFcosZFPF12121212=(PFPF1)2+21PFI-IPFl?】，故公3,于是S,7ZFAF=b2cott2-,芈2即tanZFAF122322，设/FAF=0，则tan0=12着02tan一21-tan222工2-2-=-122198目标班学案3【拓3】（2010浙江10）设O为坐标原点，F,F是双曲线1-g=130b0

20、）的焦点，若在双12a2b2曲线上存在点P，满足ZF1PF2=60。，IOP1=77a，则该双曲线的渐近线方程为（）A.x3y=0B.v3xy=0C.x2y=0D.v2xy=0【解析】DnIPFI-IPFI=4b2,12由余弦定理得：COS60。=1PF1|2+1PF2|2-|勺勺22IPFIIPFI12cosZPOF=2cosZPOF=17a2+c2-IPF|227ac7a2+c2-1PFI22V7ac十得14a2+2c2-(IPFI2+1PFI2)=0TOC o 1-5 h z12即14a2+2c2=4a2+8b2，即b2=2a2,所以丝=2,b=、於,a2a故y=、：12x.考点5：双曲

21、线中的最值问题提高班学案3【铺1】设连结双曲线x2-y2=1与竺-x2=1（a0,b0）的四个顶点所得四边形面积为S，连a2b2b2a21结四焦点所得四边形面积为Sc，则S:S的最大值为.212【解析】1Sab)a2+b21故r=W=-Sa2+b22(a2+b2)222S=1-2a-2b=2ab,S=1-(2c)2=2c2=2(a2+b2),I2r22，【例5】舄若P是双曲线x2-y2=1右支上一个动点，F是双曲线的右焦点，已知点A的坐标是3（3,5），则IPAI+1PFI的最小值是.若P是双曲线竺-y2=1右支上一个动点，F是双曲线的右焦点，已知点A的坐标是3（3,1），则IPAI+1PFI

22、的最小值是.【解析】访双曲线x2-y2=1中，a2=3,b2=1,c=2,F（2,0）.如图，要求IPAI+1P的最小值，只需把折线段拉直，即当点P运动到AF与双曲线的交点P时，IPAI+IP取得最小值，并满足IPAI+IPNMA”,最小值为|AFI=v(3-2)2+(5-0)2=26.、.芯-2V3双曲线?一y2=1中，a2=3,b2=1,c=2,F(2,0)，如图所示.找到其左焦点F(-2,0),1TOC o 1-5 h z如图，根据双曲线第一定义，IPFI-1PF1=2a=23,_1因此|PF|=|PFI-2v3,1_|PA|+1PF|=|PF|-2/26.即最小值为V26.则|PA|+

23、1PF|=|PF|-23+1PA|=|PF|+1PA|-23的最小值为26-20)，焦点在x轴正半轴上，坐标是p,0，准线方程是x=-p,其中p是焦点到准线的距离.抛物线的几何性质(根据抛物线的标准方程y2=2px(p0)研究性质)：范围：抛物线在y轴的右侧，开口向右，向右上方和右下方无限延伸.对称性：以x轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点.此处为原点.离心率：抛物线上的点与焦点和准线的距离的比叫做抛物线的离心率，用e表示，e=1.4.设抛物线的焦点到准线的距离为p(p0),抛物线方程的四种形式如下:标准方程图形对称轴焦点坐标准线方

24、程y2=2px(p0)ly1x轴(p,0)px=2OFFxV 第9讲尖子-目标教师版第9讲尖子-目标教师版 第9讲,尖子-目标,教师版 y2=-2px(p0)0)yXOxly轴(0,p)_py=-2x2=-2py(p0)yX/.lF(0，-p)py=2练习2：动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则P的轨迹方程为.(2010浙江理13)设抛物线产=2Px(p0)的焦点为F，点A(0，2),若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为.(2012四川理8)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点。，并且经过点M(2,y0),若点M到该抛物线焦点的距离为3，则I

25、OMI二()A.2五B.23C.4D.25【解析】y2=8x由定义知P的轨迹是以F(2,0)为焦点的抛物线，p=4，所以其方程为y2=8x.3V24利用抛物线的定义结合题设条件可得出P的值为鬼,B点坐标为1与,1，所以点B到抛物线准线的距离为30)，则M到焦点的距离为x+P=2+P=3,M22p=2,y2=4x,y2=4x2,y=22,OM|=4+y2=4+8=20)的焦点F作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于A、B两点，(A在y轴左侧)，则，B=灯设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M(30)的直线与抛物线相交于A,B两点，与S抛物线的准线相交于C,BF=2，则BCF与ACF的面积之比一BC

26、FSACFA.45b.3C.47【解析】8；3法一：过点A,B分别作AA=BB，垂直于准线，垂足分别为A过点B作BC垂直AA于C，交x轴于点D，记准线与x轴交点为F，.设IBFI=m，由抛物线的定义知IAA1=3m,IBBI=m，在ABC中，DFAC，IBFI:IFAI=1:3，故IDFI=-IACI=m42于是IFFI=m+=m=p=2，解得m=223AB的中点到准线的距离=T=2m=3法二：如图，延长AB，交抛物线的准线与P乍A、B、F在准线上的投影A、B、F于是的=凹=3，设|AA尸3m,BB=m,|bb1|bf|则弦AB中点到准线的距离为2m,AB=AF+BF=AA+BB=4m网=lA

27、Al=3，pA_|pb=AB=4m，所以PA=6m，PB=2m.|pb|bb1因此IFF!=因_2m|aa|pa|而FF=p=2，所以AA二2甲二4，从而m二|，于是2m-3为所求.1；3过A,B作AA，,BB垂直抛物线的准线于A，B,记直线AB交准线于点P,A所以pb=2m+m+n=2，所以m=IBBI设IAFI=m,IBFI=n，则IPAI=2IAAI=2IAFI=2m,1由题知二=吗=二=以士1,SACJ2%+1AACF%十二AA2n1_3j-又BF=xh=2n%=ny=B2B2B由A、B、M三点共线有匕xXxXMAMB即0也二=_0!28，故x=2,后-XA拒3A1A2sS2x+13+

28、14.BCF=B=一S2X+14+15ACFA，故选择A.考点7：抛物线的最值问题教师备案抛物线中的最值问题分成两类，一类借助抛物线的定义，将抛物线上一点到准线的距离与到焦点的距离进行转化，从而借助几何图形直接得到距离和的最值，见例7.另一类是无法通过几何得到最值，需要通过具体的代数计算得到最值，见例8.经典精讲【例7】已知P为抛物线y=-x22,-(17)上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是617I2)则PA+PM的最小值是()A.819B.2C.10D.21万已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q(2,1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A.(

29、1,2)(1,2)PA+PM的最小值为101219【解析】B如图，由抛物线定义知pf=PP=PM+1,2故PM=PF1.所以问题即为求PA+PM2的最小值，当P、A、F三点共线时取到，A由抛物线的定义知，即求抛物线上的点P,使得它到准线x=1的距离与到点Q(2,1)的品距离之和最小，过Q点作准线的垂线，与抛物线交于一点，P为此点时，有2距离和的最小值，故夕的纵坐标为-1.教师备案例8是求抛物线上的点到一条直线的距离的最小值，可以直接设出抛物线上的点，通过点到直接的距离公式计算，也可以求出抛物线与此直线相切的直线，切点即为所求，特别在学完导数之后，这个方向更常用.例8是求抛物线(y2=2px)上

30、的点到轴上一点的距离的最值，当轴上的点为焦点时,我们由抛物线的定义知，它到抛物线的顶点的距离最小，当此点不是焦点时，的结论是一般性的，即当轴上的点在点(，0)的左边时，距离最小的点都是顶点；当该点处在轴上点5，0)的右边时，离它距离最小的点不再是顶点.【例8】岛求抛物线y=4%2上一点，使这点到直线y=4%-5的距离最短.-,一，(2)-=、1,一，一一已知抛物线W=2%,设点A的坐标为-0，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标13)及相应的距离IPAI.已知点P(a，0)满足：对于抛物线y2=4x上任意一点。，都有PQ三PO，则a的取值范围是【解析】法一：设抛物线上一点(x,4x2),这点到直

31、线y=4x5的距离d=v42+1I1平=4x4的最小值是4(2、2x+2xV3) 第9讲,尖子-目标,教师版 #第9讲,尖子-目标,教师版第9讲尖子-目标教师版1综上知：QC(-8,2.法二：设。(，y)，则有刀=4%,PQ2=(%-a)2+y2=%2+2(2-a)%+a2三a2，即%(%+4-2a)三0对所有的%0恒成立,即%三2a-4对所有的%三0恒成立，故2a-4W0naW2，即ag(-8，2.华山论剑已知F、F分别是双曲线工-2=1(a0,b0)的左、右焦点，P为双曲线左支上任意12a2b2一点，若1P半的最小值为8a，则该双曲线离心率e的取值范围是.1叫-(nA.如图，在等腰梯形AB

32、CD中，ABCD,且AB=2AD.设/DAB=0,0g0,-，以A,I2B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e，以C,D为焦点且过点A的椭圆的离心率为1A.随着角度0的增大，e增大，ee为定值TOC o 1-5 h z112B.随着角度0的增大，e减小，ee为定值112C.随着角度0的增大，e增大，ee也增大112D.随着角度0的增大，e减小，ee也减小112【解析】(1，3；PFI2(t+2a)24a2设PF=t,t三ca,IPF=t+2a,f(t)=2-；-=t+4a,112J|pf|tt当tg(0,2a)时，f(t)为减函数，f(t)8a；当tg2a,+8)时，f(t)为增函数，f(t)三8a.则由题意得c-aW2a,cW3a,eW3，则e的范围是(1,31.B；设AB=2AD=2.连结BD,贝UBD=2+22-2