高中数学必修二 1. 事件的相互独立性（精讲）(含答案)

1、10.2 事件的相互独立性(精讲)思维导图常见考法考点一 事件独立性的判断【例1】(2021广东珠海)下列各对事件中，不互为相互独立事件的是( )A掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”B袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C一个家庭中有两个小孩，其中生男孩和生女孩是等可能的，事件M=一个家庭中既有男孩又有女孩，事件N=一个家庭中最多有一个女孩D甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”【答案】

2、C【解析】A选项，根据独立事件的定义，是相互独立事件.B选项，由于抽取方法是“有放回”，所以是相互独立事件.C选项，所以不是相互独立事件.D选项，的发生与否互不影响，是相互独立事件.故选：C【一隅三反】1(2021湖北沙市中学)先后抛掷两枚骰子，甲表示事件“第一次掷出正面向上的点数是1”，乙表示事件“第二次掷出正面向上的点数是2”，丙表示事件“两次掷出的点数之和是7”，丁表示事件“两次掷出的点数之和是8”，则( )A甲与丙相互独立B甲与丁相互独立C乙与丁相互独立D丙与丁相互独立【答案】A【解析】丙事件的第一次,第二次点数组合为，则丙；丁事件的第一次,第二次点数组合为，则丁；甲乙；1、甲丙甲丙，

3、故甲与丙相互独立.2、甲丁甲丁，故甲与丙不相互独立.3、乙丁乙丁，故乙与丁不相互独立；4、显然，丙与丁为互斥事件，丙丁丙丁，故不相互独立.故选：A2(2021陕西西安中学)篮球比赛中，张英皓同学投球三次，设事件A为“三次投球全不是三分球”，事件B为“三次全是三分球”，事件C为“三次投球不全是三分球”，则下列结论正确的是( )AA与C对立BB与C对立C任两个均对立D任两个均不对立【答案】B【解析】篮球比赛中，张英皓同学投球三次，设事件为“三次投球全不是三分球”，事件为“三次全是三分球”，事件为“三次投球不全是三分球”，对于，事件与事件能同时发生，不是对立事件，故错误；对于，事件与事件是对立事件，

4、故正确；对于，事件与事件能同时发生，不是对立事件，故错误；对于，事件与事件是对立事件，故错误故选：3(2021云南省玉溪第一中)掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件A=“第一次出现奇数点”，事件B=“两次点数相同”，则A与B的关系为( )A互斥但不对立B互为对立C相互独立D以上关系均不正确【答案】C【解析】掷一枚质地均匀的骰子两次，出现的可能的情况共有36中，事件A包含，共18种，事件B包含，共6种，事件包含，共3种，所以根据互斥事件与对立事件的定义，均不满足，由于，所以，所以A与B的关系为相互独立.故选：C4(2021山东省东明县第一中学 )(多选)下列事件A，B不是独立事件的是( )A一枚硬币

5、掷两次，A=“第一次为正面向上”，B=“第二次为反面向上”B袋中有两个白球和两个黑球，不放回地摸两球，A=“第一次摸到白球”，B=“第二次摸到白球”C掷一枚骰子，A=“出现点数为奇数”，B=“出现点数为偶数”DA=“人能活到20岁”，B=“人能活到50岁”【答案】BCD【解析】对于A选项，两个事件发生，没有关系，故是相互独立事件；对于B选项，A事件发生时，影响到B事件，故不是相互独立事件；对于C选项，由于投的是一个骰子，是对立事件，所以不是相互独立事件；对于D选项，能活到20岁的，可能也能活到50岁，故不是相互独立事件.故选：BCD.5(2021福建莆田高一期末)(多选)设，为两个随机事件，且

6、，则下列命题正确的是( )A若，则，相互独立B若和相互独立，则和一定不互斥C若和互斥，则和一定相互独立D【答案】AB【解析】，为两个随机事件，且，对于A：由两个事件相互独立的定义知：若，则，相互独立，故选项A正确；对于B：若和相互独立，则的发生对的发生的概率没有影响，所以和一定不互斥，故选项B正确；对于C：若和互斥，则，若，相互独立则，若和互斥，则和不相互独立，故选项C不正确；对于D：设，则，则，可得，而，故选项D不正确.故选：AB.考点二 相互独立事件的概率【例2】(2021广东佛山市南海区九江中学)端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙、丙回老家过节的概率分别为，假定三人的行动互相之间没有影

7、响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为( )ABCD【答案】C【解析】“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件，则甲、乙、丙回老家过节的概率分别为：，甲、乙、丙不回老家过节的概率分别为：，由题可知，为相互独立事件，三人都不回老家过节的概率，至少有1人回老家过节的概率.故选：C.【一隅三反】1(2021安徽)新高考选课“3+1+2”模式指的是：语文、数学、外语三门科目为必考，物理、历史两门科目必选一门，化学、生物、政治、地理四门科目选择两门.已知甲同学选择物理的概率为，乙同学选择历史的概率为，二人的选择相互之间没有影响，那么甲、乙两名同学至少有1人选择物理的概率为( )ABCD【答案】C【解析

8、】甲选历史的概率为，乙选历史的概率为，故至少有1人选择物理的概率为：.故选：C.2(2021云南昆明一中 )某同学从家到学校要经过三个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，该同学在各路口遇到红灯的概率分别为，则该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为( )ABCD【答案】D【解析】由题意，该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为，故选：D.3(2021广东顺德 )某工厂有甲、乙、丙三名工人进行零件安装比赛，甲每个零件的安装完成时间少于丙的概率为.乙每个零件的安装完成时间少于丙的概率为，比赛要求甲、乙、丙各安装一个零件，且他们安装每个零件相互独立，则甲和乙中至少有一人安装完成时间少于丙的概率为(

9、 )ABCD【答案】C【解析】甲和乙安装完成时间均多于丙的概率为，甲和乙中至少有一人安装完成时间少于丙的概率为.故选：C.4(2021广东中山 )为提高学生的身体素质，加强体育锻炼，高三(1)班A，B，C三位同学进行足球传球训练，约定：球在某同学脚下必须传出，传给另外两同学的概率均为，不考虑失球，球刚开始在A同学脚下，经过5次传球后，球回到A同学脚下的概率为( )ABCD【答案】B【解析】由题可知，开始在A同学脚下，5次传球共有32种可能，其中开始在A同学脚下，经过5次传球后，球回到A同学脚下的有10种，球回到A同学脚下的概率为.故选：B.考点三 相互独立事件概率的实际应用【例3】(2021北

10、京丰台)甲乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响(1)求甲乙各投球一次，比赛结束的概率；(2)求甲获胜的概率【答案】(1)(2)【解析】(1)设事件“甲在第次投篮投中”，其中设事件“乙在第次投篮投中”，其中则，其中记“甲乙各投球一次，比赛结束”为事件，事件与事件相互独立根据事件独立性定义得：甲乙各投球一次，比赛结束的概率为(2)记“甲获胜”为事件，事件、事件、事件彼此互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义得：甲获胜的概率为【一隅三反】1(2021广东仲元中学 )今

11、年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某区组织了党史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比实中，甲、乙、丙三所学校回答一道有关红色革命根据地建立时间的问题，已知甲校回答正确这道题的概率为，甲、丙两所学校都回答正确这道题的概率是，乙、丙两所学校都回答正确这道题的概率是.若各学校回答这道题是否正确是互不影响的.(1)求乙、丙两所学校各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三所学校中不少于2所学校回答正确这道题的概率.【答案】(1)(2)【解析】(1)设事件“甲学校回答正确这道题”，事件“乙学校回答正确这道题”，事件“丙学校回答正确这道题” ，则，各学校回答

12、这道题是否正确是互不影响的.事件A，B，C相互独立.， ；(2)设事件“甲、乙、丙三所学校中不少于2所学校回答正确这道题”且两两豆斥，；由于事件A，B，C相互独立.所以，2(2021云南 )科目一，又称驾驶员理论考试，是机动车驾驶证考核的一部分.考试形式为上机考试，一共有100道选择题，每题答对得1分，答错得0分，90分及以上判为考试过关.考生每答完一题后，系统会立刻判定对错.考生在考试过程中可以随时交卷并结束考试，剩余的题目不作答，只要作答的题得分不少于90分，就判为考试过关，已知某考生在科目一考试中前95道题一共得分88分，且剩下的题每道题答对的概率都是0.8，每道题是否答对相互独立.(1

13、)求该考生坚持答完所有题且考试不过关的概率；(2)若该考生在得分到90分后直接交卷结束考试，求该考生一共作答99道题的概率.【答案】(1)；(2).【解析】(1)若该考生考试不过关，则后5道题只对了1道或0道.后5道题只对1道的概率，后5道题只对0道的概率，故该考生考试不过关的概率.(2)若该考生一共作答99道题，则该考生答对了第99道，且第9698题中有一题答对.所以该考生一共作答99道题的概率.3(2021山西吕梁高一期末)随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.驾驶证考试，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会

14、(这5次考试机会中任何一次通过考试，就算通过，即进入下一科目考试，如果5次都没有通过，则需要重新报名)，其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为.现有一对夫妻报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.假设每个人科目二5次考试是否通过互不影响，且夫妻二人每次考试是否通过也互不影响.(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；(2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率.【答案】(1)；(2).【解析】解：设“丈夫在科目二考试中第次通过”，“妻子在科目二考试中第次通过”，则，其中，2，3，4，5.(1)设事件“丈夫参加