概率统计习题课答案(经管系 吴赣昌编)1

1、第一章 概率论的基本概念1随机试验2 样本空间随机事件定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的 样本空间，记为S=e，称S中的元素e为样本点定义： ：试验E的样本空间S的子集称为随机事 件， 简称事件.通常用A、B、C表示. ：在每次试验中，当且仅当事件中的一 个样 本点出现，称该事件发生。 ：单个样本点组成的事件称为基本事件. ：样本空间S称为必然事件. ：空集称为不可能事件.事件间的关系：包含、相等、互不相容事件运算：并、交、差、对立；运算性质：交换律：ABBA ABBA结合律：A（BC）（AB）C A（BC）（AB）C分配律：A（BC）（AB）（AC） A（BC）（AB）（AC）德.

2、摩根律： 符号集合概率S空间样本空间（必然事件）空集不可能事件eSS中的元素样本点 e 单点集基本事件A SS的子集事件AA B集合A包含在集合B中事件A发生必有事件B发生A= B集合A与B相等事件A与事件B相等A B集合A与B的并集事件A与B至少发生一个A B集合A与B的交集事件A与B同时发生A B= 集合A与B无共同元素事件A与B不能同时发生集合A的补集事件A不发生A- B集合A与B的差事件A发生而事件B不发生例：设A、B、C表示三个事件，试用A、B、C的运算表示下列事件：仅A发生；A、B、C都不发生；A、B、C都发生；A、B、C至少有一个发生；A、B、C恰有一个发生。解： 3 频率与概率

3、(2) P(S )= 1 ， (3) 若事件A1 , A2 , , An , 两两互不相容，则有(1) 若事件A ，有 P(A) 0 ， 设E 是随机试验， S 是它的样本空间, 对于E 的每个事件A 赋予一实数，记为P(A ) ,称为事件A的概率，如果集合函数P(.) 满足下列条件：概率的公理化定义 定义非负性 正则性 可列可加性 性质1. P()=0性质2. (有限可加性) 若A1 , A2 , , An 两两互不相容，则有 P( A1 A2 An )= P(A1) +P( A2 ) + +P( An )性质5. (余概公式 ) 对任何事件 A， 有 P( )= 1-P(A) . 性质3.

4、 任意事件 A, B有 P( B-A )= P(B) - P(AB). (差概公式)推论 若A B, 有 P( B-A )= P(B) - P(A)，且P(A) P(B) . (单调性) 性质6. (加法公式) 对任意事件 A，B ， A1 , A2 , , An 有 P( A B )= P(A) +P( B)- P( AB) , 性质4. 对任何事件 A， 有 P(A) 1. 则称n(A)为事件A 发生的频数,称比值 为事件 A 在 n 次试验中出现的频率, 定义1 如果在 n 次重复试验中事件A 发生了n(A)次, 记为 f n ( A )，即A 发生的频繁程度 稳定值确定概率的频率方法基

5、本性质(3) 设A1, A2, , Ak 两两互不相容的事件，则非负性 正则性 有限可加性 即满足公理化定义. 4 等可能概型 ( 古典概型 )-确定概率的古典方法 古典方法的基本思想 ：(1) 样本空间 S 只有有限多个样本点， (2) 每个样本点发生的可能性相等， 等可能性这样就把求概率问题转化为计数问题 .设事件 A 由 k 个样本点组成 ，即则 A 的概率为：称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法称为古典方法 . 当样本空间S 有无限多个等可能的样本点，并且S 可表示为一个有度量的几何区域时, 就形 成了确定概率的另一方法几何方法. 它类似于古典概率，仍用“事件的概率”等于“部分”比

6、“全体”的方法来规定事件的概率.不过现在的“部分”和“全体”所包含的样本点是无限的. 早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的.1.2.5 确定概率的几何方法定义 若随机现象 E 具有以下两个特征：(1) E 的样本空间有无穷多个样本点，且可用一个有度量的几何区域来表示； (2) 每个样本点出现的可能性相同。 则事件A的概率为： 有度量的区域S事件A对应的区域仍以A表示长度面积体积 S . .1933年, kolmogorov 柯尔莫哥洛夫 无限个等可能样本点 有限个等可能样本点克服等可能观点不易解决的问题 公理化 定义几何 定义 频率 定义古典定义 B设A

7、、B是两个事件， A为在事件 A 发生的条件下, 事件 B 的条件概率.定义且 P(A) 0, 则称 AB在事件A 已发生的条件下,为使 B 也发生, 试验结果必须是既在 A 中又在 B 中的样本点 ,即此点必属于AB.条件概率是概率满足概率的三条公理用古典概型的思想去理解：5 条件概率例题涉及 A与 B 同时发生时， 用P(AB)； 有主从关系时， 用P(A|B). = ,2) 在减缩的样本空间中 (加入条件后改变了的情况)直接计算. 1) 在原样本空间中直接用定义计算:P(A)0； 例2一盒中装有4只产品，其中3只为一等品, 1只为二等品。从中不放回的抽取两次，每次取1只产品，A表示第一次

8、取到的是一等品，B表示第二次取到的是一等品，求条件概率P(B|A) .2A 发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中B 所含样本点个数条件概率的计算解:方法 1)用定义计算P(A) P(AB)3 4 方法 2)S 的点数 4= 3由条件概率的定义即 若P(B)0, 则 P(AB)= P(B)P(A|B) (1)若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).对调A、B的位置，则有 (1)和(2)式统称为乘法公式 , 利用它可计算两个事件同时发生的概率二、 乘法公式即 若P(A)0, 则 P(BA)= P(A)P(B|A) (2)推广到多个事件的乘法公式:当 P(A1A2An-

9、1) 0 (?)时，有P(A1A2An)= P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) P(An| A1A2An-1)(5.5) 例4* 设有 100 件产品，其中有 10 件次品. 现从中连续取3次，每次不放回地取 1 件，求第 3 次才取到次品的概率. 则所求概率为： 解 设 Ai =第 i 次取到的是次品,i =1, 2, 3. P(A1A2An)= P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) P(An| A1A2An-1)乘法公式 设 B1, B2, , Bn 是 的一个分割，且(三) 全概率公式定义 若 n 个事件 B1, B2, , Bn互不相容，且满足则称 B1, B2,

10、 , Bn 为 的一个分割（或划分）. P(Bi) 0， i = 1, 2, , n , 对任一事件 A ，显然 A = A 则AB2B1B3Bn -1Bn定理： 有 全概(率)公式 “全”部概率 P(A) 被分解成了许多部分之和最简单形式：若 0P(B) 0, i =1, 2, , n ，如果P (A) 0 , 则即 P(Bi|A). 证明：由条件概率、乘法公式和全概率公式可得知“结果”求“原因”例6 对以往数据分析结果表明：当机器调整得良好时，产品的合格率为98%；而当机器发生某种故障时，产品的合格率为55%；每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%。试求已知某日早上第一件产品是合格

11、品时，机器调整良好的概率是多少？解：设A为事件“产品合格”， B为事件“机器调整良好”。则0.98,0.55,0.95,0.05,所求的概率为先验概率后验概率 定义 若事件A, B 满足P(AB)= P(A)P(B), 则称事件 A 与 B 相互独立 . 简称独立 .6 事件的独立性不可能事件与任一事件都是相互独立的一般地 P(A|B) P(A)例子 在掷两颗色子的试验中，记 A =第一颗色子的点数为1， B =第二颗色子的点数为4。很显然，事件B发生, 并不影响事件A 发生的概率. 即 P(A|B)= P(A)。 在条件 P(B)0下， P(A|B)= P(A) P(AB)=P(A)P(B). 在条件 P(A)0下， P(B|A)= P(B) P(AB)=P(A)P(B). 实际应用中往往根据问题的实际意义判断两事件是否独立 如果对其中任意一组事件 (12)个事件两两独立 相互独立结论: 若事件 A1, A2, ,An 相互独立，将其中的任意多个事件换成其对立事件，则所得的 n 个事件仍相互独立 . 直接计算作业古典概型几何概率条件概率Bayes公式全概率公式乘法公式P(AB)=