高三数学复习立体几何平行与垂直证明

1、高三数学复习立体几何平行与垂直证明高三数学复习立体几何平行与垂直证明22/22高三数学复习立体几何平行与垂直证明高三数学复习立体几何中的平行与垂直的证明一、平面的根天性质公义1：公义2：推论1：推论2：推论3：公义3：二、空间中直线与直线的地点关系平行：订交：异面：三、平行问题1直线与平面平行的判断与性质定义判判定理性质性质定理图形条件a结论abaab面面平行的判断与性质判断性质定义定理图形条件，a?结论aba平行问题的转变关系：四、垂直问题一、直线与平面垂直1直线和平面垂直的定义：直线l与平面内的都垂直，就说直线l与平面相互垂直2直线与平面垂直的判判定理及推论文字语言图形语言符号语言一条直线

2、与一个平面内的两条订交直线都判判定理垂直，那么该直线与此平面垂直假如在两条平行直线中，有一条垂直于平推论面，那么另一条直线也垂直这个平面3直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言垂直于同一个平面的性质定理两条直线平行4.直线和平面垂直的常用性质直线垂直于平面，那么垂直于平面内随意直线垂直于同一个平面的两条直线平行垂直于同一条直线的两平面平行二、平面与平面垂直1平面与平面垂直的判判定理文字语言图形语言符号语言一个平面过另一个平判判定理面的垂线，那么这两个平面垂直2平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的性质定理直线垂直于另一个平面种类一、平

3、行与垂直例1、如图，三棱锥ABPC中，APPC,ACBC,M为AB中点，D为PB中点，且PMB为正三角形。求证：DM平面APC；求证：平面ABC平面APC；假定BC4，AB20，求三棱锥DBCM的体积。AMPCDB例2.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ACBC2，AA14，AB22，M，N分别是棱CC1，AB中点.C1求证：CN平面ABB1A1；A1BM1求证：CN/平面AMB1；C求三棱锥B1AMN的体积ANB【变式1】.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1平面ABC，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D,E,F分别是B1A,CC1,BC的中点。1

4、求证：DE/平面ABC；C1B12求证：B1F平面AEF；A13设ABa，求三棱锥DAEF的体积。EDFBCA二、线面平行与垂直的性质例3、如图4，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，BD2AD4，AB2DC251求证：BD平面PAD；2求三棱锥APCD的体积例4、如图，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，CG1CB.3I求证：PCBC；II求三棱锥CDEG的体积；IIIAD边上能否存在一点M，使得原由。PA/平面MEG。假定存在，求AM的长；否那么，说明【变式2】直棱柱ABCD-A1B1C1D1底

5、面ABCD是直角梯形，BADADC90，AB2AD2CD2.()求证：AC平面BB1C1C；()A1B1上能否存一点P，使得DP与平面BCB1与平面三、三视图与折叠问题例5、如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图。假定F为PD的中点，求证：AF面PCD；1证明：BD面PEC；2求三棱锥EPBC的体积。ACB1都平行？证明你的结论.24244正视图侧视图44俯视图PEBACD例6.四边形ABCD是等腰梯形，AB3,DC1,BAD45,DEAB如图1。现将ADE沿DE折起，使得AEEB如图2，连结AC,AB。I求证：平面ADE平面ACD；II试在棱AB上确立一点M，使截面EMC把几何体分红

6、两局部的体积比VADCME:VMECB2:1；III在点M满足II的状况下，判断直线AD能否平行于平面EMC，并说明原由。AAEBMEDCC图1D图2【变式3】一个四棱锥的直观图和三视图如以以下图所示，E为PD中点.I求证：PB/平面AEC；II求四棱锥CPAB的体积；假定F为侧棱PA上一点，且PF，那么为什么值时，FAPA平面BDF.PEDABCB【变式4】如图1所示，正ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是的中点。现将ABC沿CD翻折，使翻折后平面ACD平面BCD如图21试判断翻折后直线AB与平面DEF的地点关系，并说明原由；2求三棱锥C-DEF的体积。AAEDCDFBBAC

7、，BCECF图1图2四、立体几何中的最值问题例7.图4，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B的随意一点，A1A=AB=2.(1)求证:BC平面A1AC；(2)求三棱锥A1-ABC的体积的最大值.A1ABC图4例8.如图，在ABC中，B=，ABBC2,P为AB边上一动点，PD/BC交AC2于点D,现将PDA沿PD翻折至PDA,使平面PDA平面PBCD.1当棱锥APBCD的体积最大时，求PA的长；2假定点P为AB的中点，E为AC的中点，求证：ABDE.【变式5】如图3，在ABC中，C90，PA平面ABC，AEPB于E，AFPC于F，APAB2，AEF，当变化时，求三

8、棱锥PAEF体积的最大值。高三文科数学复:立体几何平行、垂直答案【典例研究】A例1解：M为AB中点,D为PB中点,MDAP，又MD平面APCMDM平面APCPCPMB正三角形,且DPB中点，MDPBDB又由1知MDAP,APPB又APPCAP平面PBC，APBC，又ACBCBC平面APC,平面ABC平面PAC,AB20，MB10,PB10又BC4，PC1001684221SBDC1SPBC1PC?BMD1AP120210253221S1VVBCDBDC?DM22153107DBCMM33例2.明：因三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC又因CN平面ABC，所以A

9、A1CN.1分因ACBC2，N是AB中点，所以CNAB.2分1C因AA1IABA，3分A1B1所以CN平面ABB1A14分M明：取AB1的中点G，MG，NG，CGANB因N，G分是棱AB，AB1中点，所以NG/BB1，NG1BB1.21BB，又因CM/BB1，CM21所以CM/NG，CMNG.所以四形CNGM是平行四形.6分所以CN/MG.7分因CN平面AMB1，GM平面AMB1，8分所以CN/平面AMB19分由知GM平面AB1N.10分所以VB1VM11244.13分AMNAB1N32223式1.1依据中点找平行即可；2易AFB1F，在依据勾股定理的逆定理明B1FEF；3因为点D是段AB1的

10、中点，故点D到平面AEF的距离是点B1到平面AEF距离的1，求出高依据三棱的体公式算即可。2【分析】1取AB中点O，接CO,DODO/AA1,DO1AA1,DO/CE,DOCE,平行四形DOCE，2DE/CO,DE平面ABC，CO平面ABC，DE/平面ABC。4分2等腰直角三角形ABC中F斜的中点，AFBC又直三棱柱ABCA1B1C1，面ABC面BB1C1C，AF面C1B，AFB1FABAA11,B1F6,EF3,B1E3,B1F2EF2B1E2,B1FEF222又AFEFF,B1F面AEF。8分3因为点D是段AB1的中点，故点D到平面AEF的距离是点B1到平面AEF距离的1。B1F2266a

11、2aa，所以三棱DAEF的高a；在RtAEF中，2224EF3a,AF2a，所以三棱DAEF的底面面6a2，故三棱DAEF228的体16a26a1a3。12分38416二、面平行与垂直的性例3.1明：在ABD中，因为AD2，BD4，AB25，AD2BD2AB2.2分ADBD又平面PAD平面ABCD，平面PADI平面ABCDAD，BD平面ABCD，BD平面PAD.4分2解：P作POAD交AD于O.又平面PAD平面ABCD，PO平面ABCD6分PAD是2的等三角形，PO3.P由1知，ADBD，在RtABD中，hADBD45DAB5斜AB上的高.8分C1145OCDhABDC，SACD52.AB22

12、510分VAPCDVPACD1SACDPO12323333.14分例4、I明：PD平面ABCD，PDBC又ABCD是正方形，BCCD，PDICE=D，BC平面PCD又PC面PBC，PCBCII解：BC平面PCD，GC是三棱GDEC的高。E是PC的中点，SEDC1SEDC1SPDC1(122)12222VCDEGVGDEC1122GCSDEC33139IIIAC，取AC中点O，EO、GO，延GO交AD于点M，PA/平面MEG。下边明之EPC的中点，O是AC的中点，EO/平面PA，又EO平面MEG,PA平面MEG，PA/平面MEG在正方形ABCD中，O是AC中点，OCGOAM22AMCG,所求AM

13、的长为.33变式2.证明：()直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1平面ABCD，BB1AC.又BAD=ADC=90，AB=2AD=2CD=2，AC=2，CAB=45，BC=2，BCAC.又BB1BC=B，BB1，BC平面BB1C1C，AC平面BB1C1C.()存在点P，P为AB的中点。11证明：由P为A1B1的中点，有1PB1AB，且PB1=AB.2又DCAB，DC=1AB，DCPB1，且DC=PB1，2DCB1P为平行四边形，从而CB1DP.又CB1ACB1,DP面ACB1，DP面ACB1.同理，DP面BCB1.例5、24P24E正视图BA4CD4ABCD是边长为俯视图1由几何体的三视

14、图可知，底面4的正方形，PA面ABCD，PAEB，PA2EB4.QPAAD,F为PD中点，PDAF.又QCDDA,CDPA,CDAF,AF面PCD。2取PC的中点M，AC与BD的交点为N，MN1PA,MNPA，2MNEB,MNEB，故BEMN为平行四边形，EMBN，BD面PEC。3VEPBCVCPBE1g(1gBEgAB)gBC163234侧视图例6.答案略式3.解：由三得，四棱底面ABCD菱形,棱的高3,ACBDO,PO即是棱的高,底面是2，接OE，QE,O分是DP,DB的中点，OEBP，QOE面AEC,BP面AECPB面AEC2V三棱锥C-PABV三棱锥P-ABC1V四棱锥P-ABCD11

15、(1223)3322323O作OFPA,在RtVPOA中,PO3,AO3,PA23AF310分2PF:FA3时即=3时,OFPA,12分QPOBD,ACBD,POACOBD面PACBDPA,由OFPA且BDOFOPA面BDF14分式4.解：1判断：AB/平面DEF.2分明：因在ABC中，E，F分是AAAC，BC的中点，有EEF/AB.5分E又因CAB平面DEF，DDCEF平面DEF.6分M所以FBFAB/平面DEF.7分B2点E作EMDC于点M，12面ACD面BCD，面ACDI面BCDCD，而EM面ACD故EM平面BCD于是EM是三棱E-CDF的高.9分又CDF的面SCDF1SBCD11CDB

16、D1(2a)2a2a3a222244EM1AD1a11分22故三棱C-DEF的体VCDEFVECDF1SCDFEM13a21a3a314分334224四、立体几何中的最例7.明:C是底面周上异于A，B的随意一点，AB是柱底面的直径，BCAC,2分A1AA1平面ABC，BC平面ABC，AA1BC，4分AA1AC=A，AA1平面AA1C，AC平面AA1C，BC平面AA1C.6分(2)解法1：AC=x，在RtABC中，ABBC=AB2AC2x24(0 x2),7分C41111故VA1-ABC=SVABCAA1ACBCAA1x4x2(0 x2),33239分即VA1-ABC=1x4x21x2(4x2)

17、1(x22)24.11分3330 x2，0 x24，当x2=2，即x=2，214分三棱A1-ABC的体的最大.3解法2:在RtABC中，AC2+BC2=AB2=4，7分VA1-ABC=1SVABCAA111ACBCAA19分3321ACBC1AC2BC21AB22.11分332323当且当AC=BC等号建立，此AC=BC=2.例8.解：1PAx，VA-PBCD1PAS底面PDCB1x(2x2)33x令1x(2x22xx3,(x0)f(x)3632f(x)2x232x(0,23)23(23,)333f(x)0f(x)单一递加极大值单一递减PAx23由上表易知：当3时，有VA-PBCD取最大值。证

18、明：2作AB得中点F，连结EF、FP由得：EF/1ED/FPBC/PD2APB为等腰直角三角形，ABPF所以ABDE.变式6.解：因为PA平面ABCBC平面ABC，所以PABC又因为BCAC,PAACA，所以BC平面PAC，又AF平面PAC，所以BCAF，又AFPC,PCBCC，所以AF平面PBC，即AFEF。EF是AE在平面PBC上的射影，因为AEPB，所以EFPB，即PE平面AEF。在三棱锥PAEF中，APABA2,EPB，所以PE2,AE2，AF2sin,EF2cos，VPAEF1SAEFPE3112cos232sin2sin26因为02，所以02，0sin21所以，当时，VPAEF获得

19、最大值为2。46课后练习：1、广东卷8设l为直线，,是两个不一样的平面，以下命题中正确的选项是()A假定l/，l/，那么/B假定l，l，那么/假定l，l/，那么/假定，l/，那么lCD2、湖南卷7正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，那么该正方体的正视图的面积等于()A321D.22C23、辽宁卷10三棱柱ABCA1B1C1的6个极点都在球O的球面上假定.AB3，AC4，ABAC,AA112，那么球O的半径为A317B210C13D310224、浙江卷4设m、n是两条不一样的直线，、是两个不一样的平面，A、假定m，n,那么mnB、假定m，m,那么C、假定mn，m,那么nD、假定m，,那么m重庆卷8某几何体的三视图如题8所示，那么该几何体的5、表面积为A180B200C220D2406、安徽18如图，四棱锥PABCD的底面