高中数学必修二 (教案)平面向量的应用

1、 18/18平面向量的应用【第一课时】教学重难点教学目标核心素养向量在平面几何中的应用会用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题数学建模、逻辑推理向量在物理中的应用会用向量方法解决物理中的速度、力学问题数学建模、数学运算【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1利用向量可以解决哪些常见的几何问题？2如何用向量方法解决物理问题？二、新知探究探究点1：向量在几何中的应用角度一：平面几何中的垂直问题例1：如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AFDE证明：法一：设eq o(AD,sup6()a，eq o(AB,sup6()b，则|a|b|，ab0

2、，又eq o(DE,sup6()eq o(DA,sup6()eq o(AE,sup6()aeq f(1,2)b，eq o(AF,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BF,sup6()beq f(1,2)a，所以eq o(AF,sup6()eq o(DE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(bf(1,2)a)eq blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)b)eq f(1,2)a2eq f(3,4)abeq f(1,2)b2eq f(1,2)|a|2eq f(1,2)|b|20故eq o(AF,sup6()eq o(DE,sup6()，即AFDE法二：如图

3、，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A（0，0），D（0，2），E（1，0），F（2，1），eq o(AF,sup6()（2，1），eq o(DE,sup6()（1，2）因为eq o(AF,sup6()eq o(DE,sup6()（2，1）（1，2）220，所以eq o(AF,sup6()eq o(DE,sup6()，即AFDE角度二：平面几何中的平行（或共线）问题：如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且eq f(CE,ED)eq f(AF,FB)eq f(1,2)求证：点E，O，F在同一直线上证明：设eq o(AB,sup6()m，eq o(AD,sup

4、6()n，由eq f(CE,ED)eq f(AF,FB)eq f(1,2)，知E，F分别是CD，AB的三等分点，所以eq o(FO,sup6()eq o(FA,sup6()eq o(AO,sup6()eq f(1,3)eq o(BA,sup6()eq f(1,2)eq o(AC,sup6()eq f(1,3)meq f(1,2)（mn）eq f(1,6)meq f(1,2)n，eq o(OE,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(CE,sup6()eq f(1,2)eq o(AC,sup6()eq f(1,3)eq o(CD,sup6()eq f(1,2)（mn）eq f(1,3)

5、meq f(1,6)meq f(1,2)n所以eq o(FO,sup6()eq o(OE,sup6()又O为eq o(FO,sup6()和eq o(OE,sup6()的公共点，故点E，O，F在同一直线上角度三：平面几何中的长度问题：如图，平行四边形ABCD中，已知AD1，AB2，对角线BD2，求对角线AC的长解：设eq o(AD,sup6()a，eq o(AB,sup6()b，则eq o(BD,sup6()ab，eq o(AC,sup6()ab，而|eq o(BD,sup6()|ab|eq r(a22abb2)eq r(142ab)eq r(52ab)2，所以52ab4，所以abeq f(1,

6、2)，又|eq o(AC,sup6()|2|ab|2a22abb2142ab6，所以|eq o(AC,sup6()|eq r(6)，即ACeq r(6)eq avs4al()用向量方法解决平面几何问题的步骤向量在物理中的应用：（1）在长江南岸某渡口处，江水以125 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？（2）已知两恒力F1（3，4），F2（6，5）作用于同一质点，使之由点A（20，15）移动到点B（7，0），求F1，F2分别对质点所做的功解：（1）如图，设eq o(AB,sup6()表示水流的速度，eq o(AD,sup6()表示渡船的速度，e

7、q o(AC,sup6()表示渡船实际垂直过江的速度因为eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AC,sup6()，所以四边形ABCD为平行四边形在RtACD中，ACD90，|eq o(DC,sup6()|eq o(AB,sup6()|125|eq o(AD,sup6()|25，所以CAD30，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30（2）设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为WFs因为eq o(AB,sup6()（7，0）（20，15）（13，15）所以W1F1eq o(AB,sup6()（3，4）（13，15）3（13）4（15）99（焦），W2F2eq

8、o(AB,sup6()（6，5）（13，15）6（13）（5）（15）3（焦）eq avs4al()用向量方法解决物理问题的“三步曲”三、课堂总结1用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”2向量在物理学中的应用（1）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决（2）物理学中的功是一个标量，即为力F与位移s的数量积，即WFs|F|s|cos （为F与s的夹角）四、课堂检测1河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（ ）A10 m/sB2eq r(26) m/sC4eq r(6)

9、m/sD12 m/s解析：选B由题意知|v水|2 m/s，|v船|10 m/s，作出示意图如图所以小船在静水中的速度大小|v|eq r(10222)2eq r(26)（m/s）2已知三个力f1（2，1），f2（3，2），f3（4，3）同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4（ ）A（1，2）B（1，2）C（1，2）D（1，2）解析：选D由物理知识知f1f2f3f40，故f4（f1f2f3）（1，2）3设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，ABDC，试用向量证明：PQAB证明：设eq o(DC,sup6()eq o(AB,sup6()（0且1），因为eq

10、o(PQ,sup6()eq o(AQ,sup6()eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BQ,sup6()eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,2)（eq o(BD,sup6()eq o(AC,sup6()）eq o(AB,sup6()eq f(1,2)（eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()）（eq o(AD,sup6()eq o(DC,sup6()）eq o(AB,sup6()eq f(1,2)（eq o(CD,sup6()eq o(AB,sup6()）eq f(1,2)（eq o(CD,sup6()eq o(A

11、B,sup6()）eq f(1,2)（1）eq o(AB,sup6()，所以eq o(PQ,sup6()eq o(AB,sup6()，又P，Q，A，B四点不共线，所以PQAB【第二课时】教学重难点教学目标核心素养余弦定理了解余弦定理的推导过程逻辑推理余弦定理的推论掌握余弦定理的几种变形公式及应用数学运算三角形的元素及解三角形能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题数学运算【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1余弦定理的内容是什么？2余弦定理有哪些推论？二、新知探究已知两边及一角解三角形：（1）（2018高考全国卷）在ABC中，coseq f(C,2)eq f(r(5),5)，BC

12、1，AC5，则AB（ ）A4eq r(2)Beq r(30)Ceq r(29)D2eq r(5)（2）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，aeq r(5)，c2，cos Aeq f(2,3)，则b（ ）Aeq r(2)Beq r(3)C2D3解析：（1）因为cos C2cos2 eq f(C,2)12eq f(1,5)1eq f(3,5)，所以由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos C251251eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)32，所以AB4eq r(2)，故选A（2）由余弦定理得522b222bcos A，因为cos Aeq f(2,3)，所以

13、3b28b30，所以b3eq blc(rc)(avs4alco1(bf(1,3)舍去)故选D答案：（1）A（2）D互动探究：变条件：将本例（2）中的条件“aeq r(5)，c2，cos Aeq f(2,3)”改为“a2，c2eq r(3)，cos Aeq f(r(3),2)”，求b为何值？解：由余弦定理得：a2b2c22bccos A，所以22b2（2eq r(3)）22b2eq r(3)eq f(r(3),2)，即b26b80，解得b2或b4eq avs4al()规律方法：解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤（1）用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长（2）

14、再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角探究点2：已知三边（三边关系）解三角形：（1）在ABC中，已知a3，b5，ceq r(19)，则最大角与最小角的和为（ ）A90B120C135D150（2）在ABC中，若（ac）（ac）b（bc），则A等于（ ）A90B60C120D150解析：（1）在ABC中，因为a3，b5，ceq r(19)，所以最大角为B，最小角为A，所以cos Ceq f(a2b2c2,2ab)eq f(92519,235)eq f(1,2)，所以C60，所以AB120，所以ABC中的最大角与最小角的和为120故选B（2）因为（ac）（ac）b（bc），所以b2c2a2bc

15、，所以cos Aeq f(b2c2a2,2bc)eq f(1,2)因为A（0，180），所以A60答案：（1）B（2）Beq avs4al()已知三角形的三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角注意：若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解探究点3：判断三角形的形状：在ABC中，若b2sin2Cc2sin2B2bccos Bcos C，试判断ABC的形状解：将已知等式变形为b2（1cos2C）c2（1cos2B）2bccos Bcos C由余弦定理并整理，

16、得b2c2b2eq blc(rc)(avs4alco1(f(a2b2c2,2ab)eq sup12(2)c2eq blc(rc)(avs4alco1(f(a2c2b2,2ac)eq sup12(2)2bceq f(a2c2b2,2ac)eq f(a2b2c2,2ab)，所以b2c2eq f(（a2b2c2）（a2c2b2）2,4a2)eq f(4a4,4a2)a2所以A90所以ABC是直角三角形eq avs4al()规律方法：（1）利用余弦定理判断三角形形状的两种途径化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得

17、出关系进行判断（2）判断三角形时经常用到以下结论ABC为直角三角形a2b2c2或c2a2b2或b2a2c2ABC为锐角三角形a2b2c2，且b2c2a2，且c2a2b2ABC为钝角三角形a2b2c2或b2c2a2或c2a2b2若sin 2Asin 2B，则AB或ABeq f(,2)三、课堂总结1余弦定理文字语言三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍符号语言a2b2c22bccos_Ab2a2c22accos_Bc2a2b22abcos_C2余弦定理的推论cos Aeq f(b2c2a2,2bc)；cos Beq f(a2c2b2,2ac)；cos Ce

18、q f(a2b2c2,2ab)3三角形的元素与解三角形（1）三角形的元素三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素（2）解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形四、课堂检测1在ABC中，已知a5，b7，c8，则AC（ ）A90B120C135D150解析：选Bcos Beq f(a2c2b2,2ac)eq f(256449,258)eq f(1,2)所以B60，所以AC1202在ABC中，已知（abc）（bca）3bc，则角A等于（ ）A30B60C120D150解析：选B因为（bc）2a2b2c22bca23bc，所以b2c2a2bc，所以cosAeq f

19、(b2c2a2,2bc)eq f(1,2)，所以A603若ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（ab）2c24，且C60，则ab_解析：因为C60，所以c2a2b22abcos 60，即c2a2b2ab又因为（ab）2c24，所以c2a2b22ab4由知ab2ab4，所以abeq f(4,3)答案：eq f(4,3)4在ABC中，acosAbcosBccosC，试判断ABC的形状解：由余弦定理知cos Aeq f(b2c2a2,2bc)，cos Beq f(c2a2b2,2ca)，cos Ceq f(a2b2c2,2ab)，代入已知条件得aeq f(b2c2a2,2bc)beq f(c

20、2a2b2,2ca)ceq f(c2a2b2,2ab)0，通分得a2（b2c2a2）b2（a2c2b2）c2（c2a2b2）0，展开整理得（a2b2）2c4所以a2b2c2，即a2b2c2或b2a2c2根据勾股定理知ABC是直角三角形【第三课时】教学重难点教学目标核心素养正弦定理通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法逻辑推理【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？2正弦定理的内容是什么？二、新知探究已知两角及一边解三角形：在ABC中，已知c10，A45，C30，解这个三角形【解】因为A45，C30，所以B180

21、（AC）105由eq f(a,sin A)eq f(c,sin C)得aeq f(csin A,sin C)10eq f(sin 45,sin 30)10eq r(2)因为sin 75sin（3045）sin 30cos 45cos 30sin 45eq f(r(2)r(6),4)，所以beq f(csin B, sin C)eq f(10sin（AC）,sin 30)20eq f(r(2)r(6),4)5eq r(2)5eq r(6)eq avs4al()已知三角形的两角和任一边解三角形的思路（1）若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角（2）

22、若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边已知两边及其中一边的对角解三角形已知ABC中的下列条件，解三角形：（1）a10，b20，A60；（2）a2，ceq r(6)，Ceq f(,3)解：（1）因为eq f(b,sin B)eq f(a,sin A)，所以sin Beq f(bsin A,a)eq f(20sin 60,10)eq r(3)1，所以三角形无解（2）因为eq f(a,sin A)eq f(c,sin C)，所以sin Aeq f(asin C,c)eq f(r(2),2)因为ca，所以CA所以Aeq f(,4)所以Beq f(5,12)

23、，b eq f(csin B,sin C)eq f(r(6)sinf(5,12),sinf(,3)eq r(3)1互动探究：变条件：若本例（2）中Ceq f(,3)改为Aeq f(,4)，其他条件不变，求C，B, b解：因为eq f(a,sin A)eq f(c,sin C)，所以sin Ceq f(csin A,a)eq f(r(3),2)所以Ceq f(,3)或eq f(2,3)当Ceq f(,3)时，Beq f(5,12)，beq f(asin B,sin A)eq r(3)1当Ceq f(2,3)时，Beq f(,12)，beq f(asin B,sin A)eq r(3)1eq av

24、s4al()（1）已知两边及其中一边的对角解三角形的思路首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论（2）已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；在ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：A为钝角A为直角A为锐角ab一解一解一解ab

25、无解无解一解absin A两解absin A一解absin A无解判断三角形的形状：已知在ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acos Bbcos A，则ABC一定是（ ）A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形解析：由正弦定理得：acos Bbcos Asin Acos Bsin Bcos Asin（AB）0，由于AB，故必有AB0，AB，即ABC为等腰三角形答案：A互动探究：变条件：若把本例条件变为“bsin Bcsin C”，试判断ABC的形状解：由bsin Bcsin C可得sin2Bsin2C，因为三角形内角和为180，所以sin Bsin C所以BC故ABC为等腰

26、三角形eq avs4al()判断三角形形状的两种途径注意：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解三、课堂总结1正弦定理条件在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c结论eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)文字叙述在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等名师点拨对正弦定理的理解（1）适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立（2）结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式（3）揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与其对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系2正弦定

27、理的变形若R为ABC外接圆的半径，则（1）a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；（2）sin Aeq f(a,2R)，sin Beq f(b,2R)，sin Ceq f(c,2R)；（3）sin Asin Bsin Cabc；（4）eq f(abc,sin Asin Bsin C)2R四、课堂检测1（2019辽宁沈阳铁路实验中学期中考试）在ABC中，AB2，AC3，B60，则cos C（ ）Aeq f(r(3),3)Beq f(r(6),3)Ceq f(r(3),2)Deq f(r(6),2)解析：选B由正弦定理，得eq f(AB,sin C)eq f(AC,sin B)，即e

28、q f(2,sin C)eq f(3,sin 60)，解得sin Ceq f(r(3),3)因为ABAC，所以CB，所以cos Ceq r(1sin2C)eq f(r(6),3)2在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ABC123，则abc（ ）A123B321C2eq r(3)1D1eq r(3)2解析：选D在ABC中，因为ABC123，所以B2A，C3A，又ABC180，所以A30，B60，C90，所以abcsin Asin Bsin Csin 30sin 60sin 901eq r(3)23在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cacos B（2ab）cos A，

29、则ABC的形状是（ ）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形解析：选D已知cacos B（2ab）cos A，由正弦定理得sin Csin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，所以sin（AB）sin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，化简得cos A（sin Bsin A）0，所以cos A0或sin Bsin A0，则A90或AB，故ABC为等腰三角形或直角三角形【第四课时】教学重难点教学目标核心素养测量中的术语理解测量中的基线等有关名词、术语的确切含义直观想象测量距离、高度、角度问题会利用正、余弦定理解决生产实践中的有关

30、距离、高度、角度等问题数学建模【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1什么是基线？2基线的长度与测量的精确度有什么关系？3利用正、余弦定理可解决哪些实际问题？二、新知探究测量距离问题：海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B岛与C岛间的距离是_解析：如图，在ABC中，C180（BA）45，由正弦定理，可得eq f(BC,sin 60)eq f(AB,sin 45)，所以BCeq f(r(3),r(2)105eq r(6)（海里）答案：5eq r(6)海里变条件：在本例中，若“从B岛望C岛和A岛成75的视角”改为“A，C两

31、岛相距20海里”，其他条件不变，又如何求B岛与C岛间的距离呢？解：由已知在ABC中，AB10，AC20，BAC60，即已知两边和两边的夹角，利用余弦定理求解即可BC2AB2AC22ABACcos 6010220221020eq f(1,2)300故BC10eq r(3)即B，C间的距离为10eq r(3)海里eq avs4al()测量距离问题的解题思路求解测量距离问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解构造数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中测量高度问题：如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧

32、一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m解析：由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45又AB600 m，故由正弦定理得eq f(600,sin 45)eq f(BC,sin 30)，解得BC300eq r(2) m在RtBCD中，CDBCtan 30300eq r(2)eq f(r(3),3)100eq r(6)（m）答案：100eq r(6)互动探究：变问法：在本例条件下，汽车在沿直线AB方向行驶的过程中，若测得观察山顶D点的最大仰角为，求tan 的值解：如图，过点C，作CEAB，垂足

33、为E，则DEC，由例题可知，CBE75，BC300eq r(2)，所以CEBCsinCBE300eq r(2)sin 75300eq r(2)eq f(r(2)r(6),4)150150eq r(3)所以tan eq f(DC,CE)eq f(100r(6),150150r(3)eq f(3r(2)r(6),3)eq avs4al()测量高度问题的解题思路高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再

34、依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度测量角度问题：岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行（如图所示），观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75方向且相距10海里的C处，随即以每小时10eq r(3)海里的速度前往拦截（1）问：海监船接到通知时，在距离岛A多少海里处？（2）假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间解：（1）根据题意得BAC45，ABC75，BC10，所以ACB180754560，在ABC中，由eq f(AB,sinACB

35、)eq f(BC,sinBAC)，得ABeq f(BCsinACB,sinBAC)eq f(10sin 60,sin 45)eq f(10f(r(3),2),f(r(2),2)5eq r(6)所以海监船接到通知时，在距离岛A 5eq r(6) 海里处（2）设海监船航行时间为t小时，则BD10eq r(3)t，CD10t，又因为BCD180ACB18060120，所以BD2BC2CD22BCCDcos 120，所以300t2100100t221010teq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，所以2t2t10，解得t1或teq f(1,2)（舍去）所以CD10，所以BCCD，所以CBDeq f(1,2)（180120）30，所以ABD7530105所以海监船沿方位角105航行，航行时间为1个小时（或海监船沿南偏东75方向航行，航行时间为1个小时）eq avs4al()测量角度问题的基本思路（1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，在图形中标出相关的角和距离（2）根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后将解得的结果转化为