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1、经济数学(第二版)目录CONTENTS0数学软件简介1函数2极 限3导数与微分4导数应用5不定积分目录CONTENTS6定积分及其应用7偏导数及其应用8行列式与矩阵9线性方程组10概率论11数理统计 PART0数学软件简介0.1 数学软件Mathematica的基本用法0.2 数学软件MATLAB的基本用法0.1 数学软件Mathematica的基本用法安装了数学软件Mathematica,双击Mathematica图标 ,启动Mathematica系统,计算机屏幕会出现Mathematica的工作窗口, 单击新文档即可进入Mathematica的工作窗口, 称该窗口为Wolfram笔记本.W

2、olfram笔记本成功地把文字、图形、界面等与计算融合在一起:笔记本是按单元组织的,并由右边的方括号指定.双击单元方括号打开或关闭单元组.在两个单元之间点击,就可以获取水平插入条,以便创建一个新的单元.在Wolfram 笔记本中,只需输入内容,然后按Shift+Enter组合键进行计算.0.1.1启动与笔记本文档0.1 数学软件Mathematica的基本用法0.1.2精确数和近似数0.1 数学软件Mathematica的基本用法0.1.2精确数和近似数0.1 数学软件Mathematica的基本用法3.圆周率和自然常数e圆周率和自然常数e是两个重要的常数.例0.1.7求出具有16位有效数字的

3、圆周率的近似值.解:In6=NPi,16(*用Pi表示圆周率*)Out6=3.141592653589793(*这里的3.141592653589793是由系统给出的运算结果,它具有16位有效数字*)0.1.2精确数和近似数0.1 数学软件Mathematica的基本用法在Wolfram 系统中,为了方便计算或保存中间计算结果,常常需要引进变量.变量不仅可以代表一个数值,而且可以作为一个纯粹的符号来使用.变量名通常以小写字母开头,后跟字母或数字,变量名字符的长度不限.0.1.3变量1.变量的名变量=表达式变量1=表达式2.变量的全局赋值变量的临时赋值格式为: exp/.x-a,其表示给表达式e

4、xp中的变量x临时赋以数值a.注意x-a中的箭头“-”是由键盘上的减号及大于号组成的.3.变量的临时赋值0.1 数学软件Mathematica的基本用法系统将表定义为有关联的元素组成的一个整体.用表可以表示数学中的集合、向量矩阵,也可以表示数据库中的一组记录.一维表的表示形式是用花括号括起来的且中间用逗号分开的若干元素.0.1.4表1.表的生成设表b1,b2是结构完全相同的两个表.表b1与b2的和、差、积、商等于其对应元素间的相应运算(分母不能为零).2.表的运算对于一维表b用bi表示它的第i个元素;对于二维表c用c i,j 表示它的第i个分表中第j个元素,用c i 表示二维表c中第i个分表(

5、分量).3.表的元素0.1 数学软件Mathematica的基本用法Solve是解方程或方程组的函数,其形式为Solveeqns, vars,其中eqns可以是单个方程也可以是方程组,单个方程用exp=0(其中exp为关于未知元的表达式) 的形式; 方程组写成用大括号括起来的中间用逗号分隔的若干个单个方程的表,如由两个方程组成的方程组需写成exp1=0,exp2=0;vars为未知元表,其形式为x1,x2,xn.0.1.5解方程0.1 数学软件Mathematica的基本用法Print为输出命令,其形式为Print表达式1, 表达式2,执行Print语句,依次输出表达式1,表达式2,等表达式的

6、计算结果,两表达式之间不留空格,输出完成后换行.通常Print语句先计算出表达式的值,再将表达式的值输出.若想原样输出某个表达式或字符,需要对其加双引号,参见下例中的Print语句.0.1.6Print语句0.1 数学软件Mathematica的基本用法0.1.7平面图形在Mathematica系统中,用Plot绘制平面曲线图形,其格式为:Plotf(x),x,xmin,xmax例0.1.17画出正弦曲线y=sin x 在0,6上的图形. 解:In1=ClearxIn2=PlotSinx,0,6PiOut2= 略0.1.8Which语句Which 语句的一般形式为:Which条件1, 表达式1

7、, 条件2, 表达式2,条件n, 表达式nWhich语句的执行过程:从计算条件1开始,依次计算条件i (i=1,n),直至计算出第一个条件为真时为止,并将该条件所对应的表达式的值作为Which 语句的值.用Which 语句可以方便地定义分段函数.0.2 数学软件MATLAB的基本用法在装有数学软件MATLAB的计算机上,单击MATLAB的图标 ,即可运行MATLAB的程序,并弹出窗口.0.2.1启动0.2 数学软件MATLAB的基本用法在MATLAB命令窗口,在运算表达式中参加运算的数,无论是整数还是分数,只要没要特别说明, MATLAB 语言都假定参加运算的数都是近似值,所以,其运算结果也用

8、近似值表示.0.2.2精确数和近似数1.近似值为了保持精确运算,必须事先对参加运算的数用sym给予说明.在MATLAB中,sym用于创建符号数字、符号变量、符号对象.符号变量的优点是,使用符号变量运算得到的只是一个解析解,例如,在符号变量运算过程中就用pi表示,而不是具体的近似数值3.14159.2.输入的是精确数,输出的也是精确数圆周率和自然常数e是两个重要的常数.例0.2.5求具有16位有效数字的圆周率的近似值.解:vpa(pi,16)ans=3.1415926535897933.圆周率和自然常数e0.2 数学软件MATLAB的基本用法在MATLAB系统中,变量可以用sym或者 syms

9、定义.MATLAB中变量名以字母开头,后接字母、数字或下划线,最多63个字符;区分大小写;关键字和函数名不能作为变量名.0.2.3变量0.2 数学软件MATLAB的基本用法MATLAB是矩阵实验室(Matrix Laboratory)的简称,MATLAB系统最强大的功能是矩阵(由mn个元素构成的具有m行n列的矩阵)运算.这里我们只探讨一维行矩阵,即行向量.0.2.4矩阵1.矩阵的定义对于一维行矩阵b用b(i)表示它的第i个元素(分量).2.矩阵的元素设b1,b2是结构完全相同的两个一维行矩阵,b1与b2的和、差等于其对应元素间的相应运算.3.一维行矩阵的运算0.2 数学软件MATLAB的基本用

10、法solve 是解方程或方程组的函数,其形式为solve(eqns,vars),其中eqns可以是单个方程也可以是方程组,单个方程用exp=0(其中exp为关于未知元的表达式) 的形式; 方程组写成用方括号括起来的中间用逗号分隔的若干个单个方程的集合,如由两个方程组成的方程组应写成exp1=0, exp2=0;vars为未知元表,其形式为x1,x2,x3,.0.2.5解方程0.2 数学软件MATLAB的基本用法fprintf为输出命令,其格式为:fprintf(text format,val),其中,text为需要输出的文本内容,val 为需要输出的变量值,format是对变量值val的显示格

11、式说明.说明val的值为整数时用%d;说明val的值为以科学记数法显示时用%e;说明val的值以浮点数显示时用%f,如果该语句的输出完成后需要换行的话用n说明.0.2.6fprintf语句0.2 数学软件MATLAB的基本用法在MATLB系统中,用plot(x,y)绘制平面曲线y=f(x)的图形,其中x是自变量的取值范围;y是对应于自变量x函数值.自变量x的取值常用如下两种形式给出:(1)x = adb,表示自变量x从a开始,以d为间距,在闭区间a,b上的n个点所构成的一维行矩阵(包含点a,不一定包含点b).(2)x=linspace(x1,x2,n), 表示在闭区间x1,x2 上的n个点所构

12、成的一维行矩阵(包含区间点端点x1,x2),这些点的间距为(x2-x1)/(n-1).0.2.7平面图形0.2 数学软件MATLAB的基本用法和其他高级语言一样,MATLAB语言中也有描述分支结构的条件语句,即if语句,其格式如下:if条件表达式程序模块end或if条件表达式程序模块1else程序模块2End0.2.8if语句 PART第1章函数1.0 学习任务1等额本金还款法还房贷1.1 函数及其性质1.2 初等函数1.3 几种常见的经济函数1.4 用数学软件进行函数运算1.0 学习任务1等额本金还款法还房贷等额本金还款法是在还款期内把贷款总额按还款期数(贷款分几次还清就是几期)均分,每期偿

13、还同等数额的本金和剩余贷款在该期所产生的利息.若贷款总额为b,银行月利率(年利率的1/12)为r,每月一期,总还款期数为n,第k期的还款额记为f(k),请完成如下任务:1.给出计算等额本金还款法第k期的还款额f(k)的表达式.2.若某人购房贷款10万,年利率5%,还款年限5年,请根据等额本金还款法,计算出其每月还款额.对于如上任务,首先需要建立函数模型f(k),为此,我们先复习下函数.函数是微积分研究的对象.本章我们将从分析日常生活和经济现象中常见的变量出发,引入函数的一般定义,并着重介绍经济现象中常用的几个简单函数,研究建立函数模型的方法,为学习微积分打下基础.1.1 函数及其性质1.1.1

14、函数的概念现实世界中各种变化着的量不是孤立的,而是相互联系和相互制约的.这种变量间的相依关系反映到数学上就是函数,它描述了自然现象中量的变化规律.抛开各自的具体含义,可抽象出函数的一般概念.设有两个变量x和y以及非空数集D,如果当变量x在数集D中任意取定一个数值时,变量y按照一定的规律f总有唯一确定的数值与之对应,则称y是x的函数,记作y=f( x), x D, 称变量x是自变量,变量y是函数(或因变量),数集D是函数的定义域,表示对应规律的f是函数的符号.若对于确定的x0D,通过对应规律f,函数y有唯一确定的值y0与之对应,则称y0为y=f(x)在x0处的函数值,记作y_0=y| _(x=x

15、_0 )=f( x_0 ). 函数值的集合,称为函数的值域,记作M.1.1 函数及其性质1.1.2分段函数如果一个函数在自变量的不同范围内,其函数值是分别表示的,则称该函数为分段函数.分段函数是定义域上的一个函数,不要理解为多个函数,它的定义域是各部分的自变量取值集合的并集.求分段函数的函数值f(x0)时,要根据x0所在的范围选用相应的解析式,其图形要在同一坐标系中分段作出.1.1 函数及其性质1.1.3反函数设函数y=f(x)的定义域为D,值域为A,如果对于每一个yA,由方程y=f(x)都能解出唯一的xD,这样就得到一个以y为自变量,x为因变量的函数x=(y),称x=(y)为y=f(x)的反

16、函数.通常把y=f(x)称为直接函数.y=f(x)的反函数有时也记为x=f-1(y).1.1 函数及其性质1.1.4函数的几种特性1.函数的奇偶性设函数y=f(x)的定义域D关于原点对称(即若xD,则必有-xD),若对任意xD,有,(1)f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数;(2)f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数.奇函数的图形关于坐标原点对称;偶函数的图形关于y轴对称.1.1 函数及其性质1.1.4函数的几种特性2.函数的单调性设函数f(x)在数集D上有定义,对于区间内任意两点x1和x2,当x1x2时,(1)如果有f(x1)f(x2),则称函数f(x)在D上单调减少.单调增加

17、或单调减少的函数统称为单调函数.若f(x)在区间I上是单调函数,则称该区间是函数的单调区间.1.1 函数及其性质1.1 函数及其性质1.2 初等函数y=x(为实数)称为幂函数,其定义域、单调性、奇偶性都与指数有关.y=C(C为常数)称为常函数,其定义域为(-,+).常函数是有界函数、偶函数(特别的,y=0也是奇函数),其图像通过点(0,C)且平行于x轴.1.常函数2.幂函数y=ax(a0,a1,a为常数)称为指数函数,其定义域为(-,+),值域为(0,+).3.指数函数1.2 初等函数正弦函数y=sin x,余弦函数y=cos x,正切函数y=tan x,余切函数y=cot x统称为三角函数y

18、=logax(a0,a1,a为常数)称为指数函数,其定义域均为(0,+),值域均为(-,+).4.对数函数5.三角函数反正弦函数y=arcsin x,反余弦函数y=arccos x,反正切函数y=arctan x,反余切函数y=cot x统称为反三角函数.6.反三角函数1.2 初等函数1.2.2复合函数设y=f(u)是u的函数,u=(x)是x的函数,如果将u=(x)代入f(u)所得到的f(x)有意义,则把y称为x的复合函数,记作y=f(x).称u为中间变量,f(u)为外层函数,(x)为内层函数.1.2.3初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算所得到的,并且可以由一个式子表示的

19、函数,称为初等函数.1.3 几种常见的经济函数1.3.1需求函数与价格函数我们假定其他因素暂时保持某种状态不变,只考虑商品的价格对需求量的影响.为此,我们可建立商品的需求量Q与该商品价格p的函数关系,称其为需求函数,记为Q=Q(p).这里,价格p是自变量,取非负值.1.需求函数需求函数Q=Q(p)的反函数就是价格函数,记作p=p(Q).价格函数也反映商品的需求与价格的关系.2.价格函数1.3 几种常见的经济函数1.3 几种常见的经济函数1.3 几种常见的经济函数1.3.4收入函数与利润函数1.需求函数2.利润函数1.3 几种常见的经济函数1.3.5单利模型与复利模型在金融业务中,若某笔存款每期

20、末的利息不作为本金在下期计算利息,该笔存款的总利息就等于计息期满后各期存款所获利息之和,这种利息称为单利.设p是本金,r是每期的计息利率,c是1个计息期满后应付的利息,n是计息期数,I是n个计息期满后应付的单利,A是本利和,求本利和A与计息期数n的函数模型.1.单利模型2.复利模型1.4 用数学软件进行函数运算1.4.1用数学软件Mathematica进行函数运算1.常用函数Expz自然常数e为底的指数函数Logz自然常数e为底的对数函数Logb,z以常数b为底的对数函数Sinz,Cosz正弦函数与余弦函数Tanz,Cotz正切与余切函数Secz,Cscz正割与余割函数ArcSinz,ArcC

21、osz反正弦函数与反余弦函数ArcTanz,ArcCotz反正切与反余切函数ArcSecz,ArcCscz反正割与反余割函数如上三角函数与反三角函数中的参量以弧度为单位.Sqrtz求z的2次方根z(1/n)求z的n次方根当z0时,如上两个函数均有唯一的值;当za其中,fx是以x为自变量的函数或表达式,x-a中的箭头“-”是由键盘上的减号及大于号组成的.求表达式的左极限和右极限时,分别用如下形式实现Limitfx,x-a,Direction-1(左极限)Limitfx,x-a,Direction-1(右极限)2.5.1用数学软件Mathematica进行极限运算在MATLAB系统中,自变量x趋于

22、a时,f的极限用函数limit,其形式如下limit(f,x,a),其中,f是自变量x的函数或表达式.求表达式f的左极限或右极限时,分别用如下形式实现 limit(f,x,a,left) (左极限),limit(f,x,a,right) (右极限).2.5.2用数学软件MATLAB进行极限运算 PART第3章导数与微分3.1 导数3.2 复合函数的求导法则3.3 微分及其应用3.4 边际与弹性3.5 用数学软件求导数3.1 导数3.1.1两个实例3.1 导数3.1.1两个实例3.1 导数3.1.2导数的概念3.1 导数3.1.2导数的概念3.1 导数3.1.2导数的概念3.1 导数4.高阶导数

23、如果函数y=f(x)的导函数f(x)仍可导,则称f(x)的导数为f(x)的二阶导数,记为y或f(x).类似地,可以定义三阶或更高阶导数,并称二阶以上的导数为高阶导数,用y,y(4),y(n)分别表示y的三阶,四阶,n阶导数.3.1.2导数的概念3.1 导数3.1.3可导与连续3.1 导数3.1.4求导公式3.1 导数3.1.5函数和、差、积、商的求导法则3.2 复合函数的求导法则利用导数的四则运算法则和前面已推出的几个基本初等函数的求导公式,能够求一些简单函数的导数,但实际上我们常常遇到许多复合函数,如函数ln sin x,tanx等的求导问题,如何求它们的导数?下面给出复合函数求导的法则.3

24、.3 微分及其应用3.3 微分及其应用2.微分的几何意义3.3.1微分的概念3.3 微分及其应用3.3.2微分公式1.微分基本公式2.函数的和、差、积、商的微分运算法则3.3 微分及其应用3.3.3微分在近似计算中的应用3.4 边际与弹性1.边际的概念2.边际成本3.边际收入3.4.1边际3.4 边际与弹性定理3.4.1最大利润原则是指利润达到最大时的条件,即边际收益等于边际成本.4.边际利润5.最大利润原则3.4.1边际3.4 边际与弹性1.弧弹性与点弹性2.弹性函数3.4.2弹性3.4 边际与弹性3.需求的价格弹性4.供给的价格弹性5.需求价格弹性对总收入的影响3.4.2弹性 PART第4

25、章导数应用4.1 拉格朗日中值定理与洛必达法则4.2 函数的单调性与极值4.3 曲线的凹向与拐点4.4 用数学软件求解导数应用问题4.1 拉格朗日中值定理与洛必达法则4.1.1拉格朗日中值定理4.1 拉格朗日中值定理与洛必达法则4.1.2洛必达法则4.2 函数的单调性与极值定理4.2.1设函数f(x)在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b)内可导:(1)若在(a,b)内f(x)0,则f(x)在闭区间a,b上单调增加;(2)若在(a,b)内f(x)0,函数f(x)=x3在(-,+)内仍是单调增加的.4.2.1函数单调性的判别4.2 函数的单调性与极值1.函数极值的定义 定义4.2.1设函数f(x

26、)在点x0处及其邻域内有定义,若对于x0邻域内的所有x(xx0)恒有f(x0)f(x),则称f(x0)为函数f(x)的极大值,点x0称为函数f(x)的极大值点;若对于x0邻域内所有x(xx0)有f(x0)0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)内是向上凹的;(2)若在区间(a,b)内f(x)0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)内是向下凹的.2.曲线凹向的判别法则4.3 曲线的凹向与拐点4.3.2曲线的拐点曲线的上凹部分与下凹部分的分界点称为曲线的拐点.既然拐点是上凹部分与下凹部分的分界点,则在拐点左右两侧近旁f(x)必然异号,因而在拐点横坐标x处f(x)=0或f(x)不存在.1.曲线凹向的定义

27、 设y=f(x)在区间(a,b)内连续,且除个别点外f(x)存在,则求曲线y=f(x)的拐点步骤如下:(1)先求出f(x),找出在(a,b)内使f(x)=0的点和f(x)不存在的点.(2)用上述各点将区间(a,b)分成若干个小区间,再在每个小区间上考查f(x)的符号.(3)若f(x)在某点x0两侧近旁异号,则(x0,f(x0)是曲线y=f(x)的拐点;若 f(x)在某点x0两侧近旁同号,则(x0,f(x0)不是曲线y=f(x)的拐点.2.曲线拐点的求法4.3 曲线的凹向与拐点4.3.3曲线的渐近线1.水平渐近线2.铅垂渐近线4.3 曲线的凹向与拐点0102034.3.4作函数图形的一般步骤(1

28、)确定函数的定义域及值域(确定图形范围);(3)讨论函数的单调性与极值、曲线的凹向与拐点,并列成表;(2)讨论函数的奇偶性、周期性;04(4)考查曲线的渐近线;05(5)为了使图形描绘得更准确,需要确定曲线与坐标轴的交点,有时还得适当再多补充一些点. PART第5章不定积分5.1 不定积分的概念及性质5.2 不定积分的积分法5.1 不定积分的概念及性质5.1.1原函数与不定积分若在区间I上,有F(x)=f(x),则称在该区间上F(x)为f(x)的一个原函数.我们知道x2是2x的一个原函数,x2+1也是2x的一个原函数,一般地,2x的全部原函数可以用x2+C表示,其中C为任意常数.定义5.1.1

29、定义5.1.25.1 不定积分的概念及性质5.1.2不定积分的性质1.积分与微分运算的互逆性质2.不定积分的运算性质(1)kf(x)dx=k f(x)dx(k0);(2)f(x)g(x)dx= f(x)dx g(x)dx.5.1 不定积分的概念及性质5.1.3不定积分的基本积分公式5.2 不定积分的积分法5.2.1换元积分法1.第一换元积分法2.第二换元积分法t=-1(x)是x=(t)的反函数.这种积分法称为第二换元积分法,它主要解决根式函数的积分.5.1 不定积分的概念及性质5.2.2分部积分法 PART第6章定积分及其应用6.1 定积分的概念与性质6.2 定积分的积分法6.3 定积分的几何

30、应用6.4 定积分在经济上的应用6.1 定积分的概念与性质6.1.2定积分的概念6.1 定积分的概念与性质6.1.3定积分的几何意义6.1 定积分的概念与性质6.1.4定积分的性质0103020406056.1 定积分的概念与性质6.1.5牛顿-莱布尼茨公式6.2 定积分的积分法6.2.1换元积分法1.凑微分法2.第二换元法6.2 定积分的积分法6.2.2分部积分法6.3 定积分的几何应用1.定积分应用的微元法6.3 定积分的几何应用2.用定积分求平面图形的面积 PART第7章偏导数及其应用7.1 多元函数的极限与连续7.2 偏导数7.3 全微分7.4 多元函数的极值7.5 偏导数在经济学中的

31、应用7.1 多元函数的极限与连续7.1.1多元函数1.二元函数的定义类似于二元函数,可以定义三元函数u=f(x,y,z),四元函数u=f(x1,x2,x3,x4)等.二元及二元以上的函数统称为多元函数.2.多元函数的定义7.1 多元函数的极限与连续7.1.2二元函数的极限与连续定义7.1.2定义7.1.37.2 偏导数7.2.1偏导数的定义1.偏增量与全增量2.偏导数7.2 偏导数7.2.2高阶偏导数7.3 全微分7.4 多元函数的极值设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义,若对于该邻域内的任何不同于点(x0,y0)的点(x,y),都有f(x,y)f(x0,y0)成立,则称函

32、数f(x,y)在点(x0,y0)取得极大值(或极小值),极大值和极小值统称为极值.使函数取得极大值(或极小值)的点(x0,y0)称为极大值点(或极小值点),极大值点和极小值点统称为极值点.定义7.4.1定理7.4.1(极值存在的充分条件)若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有二阶连续偏导数,且点(x0,y0)是函数的一个驻点,即fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0.如果记A=fxx(x0,y0),B=fxy(x0,y0),C=fyy(x0,y0),则,(1)当B2-AC0时,点(x0,y0)不是极值点.(2)当B2-AC0时,点(x0,y0)是极值点,此时若A0,则点(

33、x0,y0)是极小值点.(3)当B2-AC=0时,点(x0,y0)可能是极值点也可能不是极值点.定理7.4.27.4.1多元函数的极值7.4 多元函数的极值对于实际问题中的最大值或最小值,如果根据问题本身能够判定它在其定义域内一定有最大值或最小值,并且函数在其定义域内有唯一的驻点,则该点的函数值就是所求的最值.下面我们给出一般步骤:(1)根据实际问题建立函数关系式,确定其定义域;(2)求出驻点;(3)结合问题的实际意义判定,并求出最大值或最小值.7.4.2多元函数的最大值与最小值7.4 多元函数的极值7.4.3条件极值7.5 偏导数在经济学中的应用对多元经济函数,当某一个变量变化,而其余变量在

34、某水平上保持不变时,经济函数的变化率,称为变量的“边际”经济量.一般地,多元成本函数的偏导数称为边际成本,多元收入函数的偏导数称为边际收入,多元利润函数的偏导数称为边际利润.7.5.1边际经济量7.5 偏导数在经济学中的应用7.5.2偏弹性 PART第8章行列式与矩阵8.1 行列式8.2 矩阵的概念8.3 矩阵的运算8.4 矩阵的初等变换与矩阵的秩8.5 逆矩阵8.1 行列式8.1.1二元线性方程组与二阶行列式8.1 行列式8.1.2n阶行列式的定义8.1 行列式8.1.3行列式的性质8.1 行列式8.1.3行列式的性质8.1 行列式8.1.3行列式的性质8.2 矩阵的概念8.2.1引例8.2

35、 矩阵的概念1.零矩阵2.上(下)三角矩阵主对角线以外的元素全是零的方阵称为对角矩阵.3.对角矩阵8.2.2几种特殊的矩阵8.2 矩阵的概念一个矩阵A=(aij)mn称为行阶梯形矩阵,它满足:(1)矩阵的零行(如果存在的话)在矩阵的非零行下方;(2)首非零元素(即非零行左起第一个不为零的元素)的列标随着行标的递增而严格增大.4.单位矩阵5.行阶梯形矩阵首非零元素等于1,并且首非零元素1所在列的其他元素全为零的阶梯形矩阵称为简化行阶梯形矩阵.6.简化行阶梯形矩阵8.2.2几种特殊的矩阵8.3 矩阵的运算定义8.3.1设A=(aij)mn,B=(bij)mn,而且aij=bij(i=1,2,m;j

36、=1,2,n),则称矩阵A与矩阵B相等,记作A=B.就是说,两个行数与列数对应相同且对应位置元素相等的矩阵是相等的.8.3.1矩阵的线性运算8.3 矩阵的运算8.3.1矩阵的线性运算8.3 矩阵的运算12348.3.2矩阵的乘法运算8.4 矩阵的初等变换与矩阵的秩定义8.4.1(1)交换矩阵的第i行(列)与第j行(列)的位置,用符号(i,j)表示;(2)用一个非零常数k乘矩阵的第i行(列),用符号k(i)表示;(3)把矩阵第i行(列)的k倍加到第j行(列)的对应元素上,用符号k(i)+(j)表示,其中ij.定理8.4.1对Amn进行一次初等行(列)变换相当于用相应的m阶(n阶)初等矩阵左(右)

37、乘Amn定义8.4.3矩阵A的行阶梯形矩阵中非零行的数目称为矩阵A的秩,记为r(A).定义8.4.2对单位矩阵E进行一次初等变换后,得到的矩阵称为初等矩阵,三类初等矩阵分别记作En(i,j),En(k(i),En(k(i)+(j).定理8.4.2任意一个矩阵Amn,总可以经过有限次初等行变换化为阶梯形矩阵,进而化为简化阶梯形矩阵12345定义8.4.4对n阶方阵A,若r(A)=n,则称A为满秩矩阵,或非奇异矩阵.68.5 逆矩阵定理8.5.1n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A|0.当|A|0时,称A为非奇异矩阵.因此,上述定理也可以叙述为:n阶方阵A可逆的充分必要条件是A为非奇异矩阵.8.3.

38、1矩阵的线性运算 PART第9章线性方程组9.1 向量组的线性相关性9.2 齐次线性方程组9.2 非齐次线性方程组9.1 向量组的线性相关性9.1.1n维向量定义9.1.1定义9.1.29.1 向量组的线性相关性9.1.2向量组的线性相关性定义9.1.3定义9.1.49.1 向量组的线性相关性9.1.2向量组的线性相关性如果向量组1,2,n,线性相关,而1,2,n线性无关,则向量可由向量组1,2,n线性表示.向量组1,2,s(s2)线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量是其余向量的线性组合.推论1向量组1,2,s(s2)线性无关的充分必要条件是该向量组的每一个向量都不能用其余向量线性表

39、示.推论2一个向量线性相关的充分必要条件是=0;两个向量,线性相关的充分必要条件是与对应分量成比例.推论3含有零向量的向量组一定线性相关.推论4如果向量组1,2,s线性无关,则由该向量组的一部分向量所构成的向量组也线性无关,简称“全体无关,部分无关”.推论5如果向量组1,2,s中的一部分向量构成的向量组线性相关,则1,2,s线性相关,简称“部分相关,全体相关”.定理9.1.2定理9.1.39.1 向量组的线性相关性9.1.3向量组的秩向量组1,2,s中的部分向量所构成的部分向量组1,2,r(rs)满足:(1)1,2,r线性无关;(2)向量组1,2,s中任一向量都可以由部分向量组1,2,r线性表

40、示;则称部分向量组1,2,r为向量组1,2,s的一个极大无关组.定义9.1.5定义9.1.69.2 齐次线性方程组9.2.1齐次线性方程组解的性质若向量组1,2,s是方程组(9.2.2)的s个解,如果满足:(1)1,2,s线性无关;(2)方程组(9.2.2)每个解都能由1,2,s线性表示;则称1,2,s为方程组(9.2.2)的一个基础解系.性质1定义9.2.39.2 齐次线性方程组9.2.2齐次线性方程组的基础解系定义9.2.2性质29.3 非齐次线性方程组9.3.1有解的判定 PART第10章概率论10.1 随机事件与概率10.2 事件的独立性10.3 随机变量及其分布10.4 期望与方差1

41、0.1 随机事件与概率10.1.1随机事件若事件A发生必然导致事件B发生,则称事件B包含事件A,记为BA或AB 若AB且BA,则称事件A和B相等,记为A=B.1.事件的包含与相等10.1 随机事件与概率10.1.1随机事件2.事件的和10.1 随机事件与概率10.1.1随机事件3.事件的积10.1 随机事件与概率10.1.1随机事件“事件A发生而事件B不发生”的事件称为事件A与事件B的差,记为A-B,4.事件的差10.1 随机事件与概率10.1.1随机事件若事件A与事件B不可能同时发生,即AB=,则称事件A与事件B互不相容.对于n个事件A1,A2,An,若事件中任意两两互不相容,即AiAj=(

42、ij),则称A1,A2,An为两两互不相容(或两两互斥)5.互不相容(或互斥)事件10.1 随机事件与概率10.1.1随机事件6.对立事件9.3 非齐次线性方程组如果某随机现象具有如下两个特点:(1)基本事件的总数为有限个;(2)每个基本事件发生的可能性是等同的.则称该随机现象的数学模型为古典概型.定义10.1.1定义10.1.2定义10.1.310.1.2随机事件的概率9.3 非齐次线性方程组10.1.3概率的加法公式1.互不相容事件的加法公式2.任意两事件的加法公式10.2 事件的独立性10.2.1条件概率10.2 事件的独立性10.2.2乘法公式10.2 事件的独立性10.2.3事件的独立性10.2