函数奇偶性的归纳总结

1、函数的奇偶性的归纳总结考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。教学目标：1、理解函数奇偶性的概念；2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法；3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法；4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。教学重点：1、理解奇偶函数的定义；2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。教学难点：1、对奇偶性定义的理解；2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。教学过程：、知识要点：1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数f(X)，如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(-X)f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。一般地

2、，对于函数f(x)，如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(-X)-f(X),那么函数f(x)就叫做奇函数。理解：奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.3、奇偶函数的图象：奇函数图象关于原点成中心对称的函数，偶函数图象关于y轴对称的函数。4、函数奇偶性的性质：具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关

3、于原点对称)。常用的结论：若f(x)是奇函数，且x在0处有定义，则f(0)=0。奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间a,b(0Wab)上单调递增(减)，则f(x)在区间b,a上也是单调递增(减)；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。偶函数f(x)在区间a,b(0Wa0，得xW(g,3U(3,+x).x3【例2】判断下列函数的奇偶性:4一x2定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数.(1).f(x)解：(1).由31x0 x,33；(2)f(x)3sin(丁一2x)；.f(x)茴4一x20，解得12-x-2x,

4、33丰0|x丰0且x丰6定义域为匕0或0 x0)0,(x0)x(1,x),(x0)【例3】判断下列函数的奇偶性：(1).f(x)log(x+Jx2+1)；(2).f(x)0时，一x0,f(一x)，(一x)(1一x)，一x(1一x)，一f(x);当x=0时，_x，0,f(x)，0，f(x);当x0,f(-x)，(-x)E1一(-x)=x(1+x)，一f(x)综上可知，对于任意的实数x，都有f(-x)，-f(x)，所以函数f(x)为奇函数。说明：分段函数判断奇偶性，必分段来判断，只有各段为同一结果时函数才有奇偶性。分段函数判断奇偶性，也可用图象法。2、抽象函数判断其奇偶性：【例4】已知函数f(x)

5、(xGR且x0),对任意的非零实数xx,恒有1,2f(x-x)，f(x)+f(x),判断函数f(x)(xGR且x0)的奇偶性。1212解：函数的定义域为(g,0)(0,+8)，令xx，x2，1，得f，0，令x,兀2，-1，则2f(-1)，f(1),.f(-1)，0,取x,-1,兀2=x，得f(-x)，fl-1)+f(x),二f(-x)，f(x),故函数f(x)(xGR且x0)为偶函数。3、函数奇偶性的应用：(1).求字母的值：ax2+1【例5】已知函数f(x)，aa；(a,b,cgZ)是奇函数，又f，2，f(2)3,bx+c求a,b,c的值.解:由f(-x)，-f(x)得-bx+c，-(bx+

6、c)，：c，0。AF又f(1)，2得a+1，2b，而f(2)3得4+13，2b4a+13，解得-1a2oa+1又agZ，a，0或a，1.若a，0，则b，1电Z，应舍去；若a，1，则b，1gZb=iez,2a，1,b，1,c，0of闊说明：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想(建立方程或不等式，组成混合组)，使问题得解有时也可用特殊值，如几-1)=-几1),得c=0。(2).解不等式：【例6】若fx)是偶函数，当xW0，+w)时，f(x)=xl，求f(x-1)0的解集。分析：偶函数的图象关于y轴对称，可先作出fx)的图象，利用数形结合的方法.解：画图可知fx)VO的解集为x丨一lVxVl,fx

7、1)VO的解集为xI0 x2.答案：xI0 x2说明：本题利用数形结合的方法解题较快、简捷本题也可先求fx)的表达式，再求fx一1)的表达式，最后求不等式的解也可得到结果.(3).求函数解析式：【例7】已知fx)是R上的奇函数，且xW(w,0)时，fx)=xlg(2x),求fx).分析：先设x0,求fx)的表达式，再合并.解：V(x)为奇函数，f(0)=0.当x0时，一x0,f(x)=xlg(2+x)，即一fx)=xlg(2+x),fx)=xlg(2+x)(x0).)_xlg(2x)(x0)。说明：注意自变量在区间上的转化，分段函数的处理和分类讨论的思想紧密相连。三、巩固训练：一、选择题1.若

8、y=f(x)在xw0,+w)上的表达式为y=x(1x)，且fx)为奇函数，则xW(0时fx)等于A.x(1x)B.x(1+x)C.x(1+x)D.x(x1)1xex12已知四个函数：j_log,J_，y=3x+3-x，y=lg(3x+3-x).TOC o 1-5 h z21xex1其中为奇函数的是A.B.C.D.3已知y=(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，fx)=x22x,则在R上fx)的表达式为A.x(x2)B.x(IxI2)C.IxI(x2)D.IxI(IxI2)二、填空题4.已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，且定义域为a1,2ab=.15.若f(x)_+a(xR且x#0)

9、为奇函数，则2x1a.已知f(x)ax7bx+2且f(5)17,则f(5)已知f(x)是定义在(3,3)上的奇函数，当0 x3时,f(x)的图像如右图所示，那么不等式f(x)cosx0,Afx)=(x)(1+x),fx)=x(1+x).fx)=x(l+x).答案：B提示：可运用定义，逐个验算答案：D解析：设x0)、f(x),即f(x)=x(Ixl2)，故答案：B。一x22x(x0)二、填空题14解析：定义域关于原点对称，故a1=2a,a=,31又对于fx)有f(x)=f(x)恒成立，：b=0.答案：,0。31115.解析：特值法：Tf(1)=f(1),+a=(+a),a=。2-1-121-12

10、答案:6.解析：整体思想：f(5)=a(5)7b(5)+2=17二(a575b)=15,.f(5)=a57b5+2=15+2=13.答案：一13。7解析：Jf(x)是定义在(3,3)上的奇函数，补充其图像如图，又不等式f(x)-cosx0同解于f(x)0或f(x)0cosx0cosx0厂20 x1,不等式f(x)-cosx0的解集是，解得2x,-1丿3,或-兀252(0,1),3“,答案：(0,1)厂兀2-e,-12丿三、解答题8解：由x=G(x)21又G(x)(exex)2Rfx)得f(x)=ex.Qf:x)121(ex-e-x)-G(-x),G(x)为奇函数。29证明：令x=y=0，有f(

11、0)+f(0)=2f2(0).J0)0,Af(0)=1.令x=0,fy)+f(y)=2f(0)fy)=2fy).f(y)=f(y).:f(x)是偶函数.归纳：赋值法(代入特殊值)在处理一般函数问题时经常用到.(1)，10.解：又T函数f(x)是偶函数，函数g(x)是奇函数，:.f(一x)二f(x),g(一x)二一g(x),3上式化为f(x)-g(x)二(2),解(1),(2)组成的方程组得一x,3x2一9(xgR,x3)。11.分析：问题的结构特征启发我们设法利用奇偶性来解解：令g(x)=x5+ax3-bx,则g(x)是奇函数，所以g(-2)=g(2),于是f(-2)=g(-2)-&g(-2)=18.所以f(2)=g(2)-8=-g(-2)-8=-26.12解：设h(x)二af(x),bg(x),则h(x)二af(x),bg(x)为奇函数，因为当xg(0,+s)时，F(x)5,所以h(x)=af(x),bg(x)=F(x)一2一3,即F(x)一1,故F(x)在区间(-,0)上的最小值为-1。13解：因为函数f(x)是奇函数，所以f(